第四周第一次課矩陣運(yùn)算第1頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二回顧

線性方程組的初等變換Guass消元法矩陣，系數(shù)矩陣，增廣矩陣增廣矩陣的初等行變換階梯形矩陣，簡化階梯形矩陣如何判斷方程組解的個數(shù)？第2頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二四.階梯形線性方程組的三種基本類型

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

2x3=8x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

1

例如:x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

0

有唯一解有無數(shù)解無解第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

第3頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

2x3=8有唯一解

(A,b)的非零行數(shù)記為r(A,b);~~

A的非零行數(shù)記為r(A);~~~~1

32-1

0-5-3

50028=[A,b]其增廣矩陣為~~則有r(A,b)=r(A)=3=未知元的個數(shù)~~~第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

第4頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

0

有無數(shù)解其增廣矩陣為12

1

1

2

0014300000=[A,b]~~則有r(A,b)=r(A)=2<未知元的個數(shù)~~~第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

第5頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二其增廣矩陣為12

1

1

2

0014300001=[A,b]~~x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

1

無解則有r(A,b)≠r(A)~~~第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

第6頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二考察一般的n元方程組a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bs其增廣矩陣經(jīng)過若干次初等行變換一定可以化成一個（簡化）階梯形矩陣(A,b)。(A,b)=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………as1

as2…asnbss<,=,or,>n~~第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

第7頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二答案：不會超過未之量個數(shù)n

；

思考1：在最后的階梯形矩陣中,非零

行的個數(shù)r(A,b)至多會有多少個？（A,b）~~~~

事實上也不會超過原先方程組中方程的個數(shù)s.

即不會超

過min(n,s).第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

第8頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二思考2：在最后的階梯形矩陣中,r(A)和r(A,b)的關(guān)系如何？（A,b）~~~~~r(A,b）≠r(A)~~~r(A,b）=

r(A)~~~答案:(1)(2)r(A,b）=

r(A)+1

~~~只可能是只可能是r(A,b）=

r(A)<n

~~~r(A,b）=

r(A)=n

~~~矛盾方程出現(xiàn)，方程組無解方程組有無窮多解方程組有唯一解第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

第9頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

特殊情形:(齊次線性方程組有非零解的一個充分條件)定理1.4.當(dāng)s<n時,齊次線性方程組有非零解,且通解中至少含有ns個自由未知量.a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0

…as1x1+as2x2+…+asnxn=0第10頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二第一章行列式和線性方程組的求解§1.4線性方程組的求解

更特殊的情形:定理1.5.齊次線性方程組有非零解a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0

…an1x1+an2x2+…+annxn=0a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=0.第11頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二證明定理1.5：注意到將系數(shù)矩陣化為一個階梯形矩陣，中間只用到這些初等行變換：(1)對換變換:ri

rj,

(2)倍乘變換:ri

k,其中k

0,

(3)倍加變換:ri+krj.第12頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二

第二章矩陣第一節(jié)

矩陣的代數(shù)運(yùn)算

第13頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二§2.0矩陣的基本概念一.歷史“矩陣

(matrix)”這個詞首先是英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特(Sylvester)使用的.他為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式

(determinant)而發(fā)明了這個術(shù)語.JamesJosephSylvester(1814.9.3~1897.3.15)

第14頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二西爾維斯特問題平面上給定n個點(n≥3)。如果過其中任意兩點的直線都經(jīng)過這些點中的另一個點，那么，這n個點在同一條直線上。第15頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二英國數(shù)學(xué)家凱萊(Cayley)被公認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者.他首先把矩陣作為一個獨立的數(shù)學(xué)概念,并發(fā)表了一系列關(guān)于這個題目的文章.Arthur

Cayley(1821.8.16~1895.1.26)

第二章矩陣§2.0矩陣概念第16頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二例1.某廠家向新百,中央,大洋三個商場發(fā)送產(chǎn)品.2001801901001201001501601401801501502050302516201616

甲乙丙丁單價重量二.實例第二章矩陣§2.0矩陣概念第17頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二例2.四個城市間的單向航線如圖所示.1423若用aij表示從i市到j(luò)市航線的條數(shù),則上圖信息可表示為a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34

a41

a42

a43

a44第二章矩陣§2.0矩陣概念第18頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二例2.四個城市間的單向航線如圖所示.1423若用aij表示從i市到j(luò)市航線的條數(shù),則上圖信息可表示為a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34

a41

a42

a43

a44即0111100001001010第二章矩陣§2.0矩陣概念第19頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二三.定義1.mn矩陣

元素(element/entry)aij(1i

m,1

j

n)a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn元素都是實數(shù)——實矩陣(real~)元素都是復(fù)數(shù)——復(fù)矩陣(complex~)行(row)列(column)第二章矩陣§2.0矩陣概念n階方陣:nn矩陣2.方陣(squarematrix)第20頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二3.向量(vector)行向量(columnvector)[a1,a2,…,an]列向量(rowvector)a1a2…an第i分量

(ithcomponent)ai(i=1,…,n)n–維(n–dimensional)

第二章矩陣§2.0矩陣概念第21頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二4.同型(same-sized):行數(shù)相等,列數(shù)也相等5.兩個矩陣相等(equal)

A=[aij]mn與B=[bij]mn相等:對1im,1jn,aij

=bij都成立記為A=B.大前提:同型

第二章矩陣§2.0矩陣概念第22頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二四.幾種特殊的矩陣

1.對稱矩陣(symmetricmatrix)則稱A為對稱矩陣.若矩陣A=[aij]mn滿足:122110

1

0

x

31

30m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n)第二章矩陣§2.0矩陣概念第23頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二2.對角矩陣(diagonalmatrix)主對角線

對角矩陣

diag(d1,d2,…,dn).a11

a12…a1n

a21

a22…a2n

an1

an2…ann…………(leading/main/principaldiagonal)d10…00d2…000…dn…………簡記為第二章矩陣§2.0矩陣概念第24頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二3.數(shù)量矩陣/純量矩陣(scalarmatrix)diag[k,k,…,k]——數(shù)量矩陣/純量矩陣.4.單位矩陣(identitymatrix)稱為n階單位矩陣.

2000200023003例如:En

或In=10…001…000…1nn……

……第二章矩陣§2.0矩陣概念第25頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二5.反對稱矩陣則稱A為反對稱矩陣(antisymmetricmatrix/若矩陣A=[aij]mn滿足:022

001

1103

1

30m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n),skew–symmetricmatrix).第二章矩陣§2.0矩陣概念第26頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二6.零矩陣(zeromatrix)有時,加下標(biāo)指明其階數(shù).通常用O表示零矩陣.0000000000000000000例如,上述零矩陣分別可以記為:O2,O23,O3.零矩陣——元素全為零.第二章矩陣§2.0矩陣概念第27頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二第二章矩陣§2.1矩陣的基本運(yùn)算§2.1矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲200180190乙100120100第一次產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲220185200乙105120110第二次產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲乙兩次累計:420例3.第28頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二§2.1矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲200180190乙100120100第一次產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲220185200乙105120110第二次產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲乙兩次累計:420365例3.第二章矩陣§2.1矩陣的基本運(yùn)算第29頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二§2.1矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲200180190乙100120100第一次產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲220185200乙105120110第二次產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲乙兩次累計:420365390例3.第二章矩陣§2.1矩陣基本運(yùn)算第30頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二§2.1矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲200180190乙100120100第一次產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲220185200乙105120110第二次產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲乙兩次累計:420365390205例3.第二章矩陣§2.1矩陣的基本運(yùn)算第31頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二§2.1矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲200180190乙100120100第一次產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲220185200乙105120110第二次產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲乙兩次累計:420365390205240例3.第二章矩陣§2.1矩陣的基本運(yùn)算第32頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二§2.1矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲200180190乙100120100第一次產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲220185200乙105120110第二次產(chǎn)品發(fā)到各商場的數(shù)量ABC甲乙兩次累計:420365390205240210例3.第33頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二§2.1矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法420365390205240210A+B=200180190100120100A=(1)大前提:同類型

(2)具體操作:對應(yīng)元素相加

第34頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二§2.1矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法A=[aij]mn與B=[bij]mn的和:C=[cij]mn=[aij+bij]mn.注:

①

設(shè)矩陣A=(aij)mn,記

A=(aij)mn,——A的負(fù)矩陣.②設(shè)A,B是同型矩陣,則它們的差定義為A+(B).記為AB.即A

B=A+(B).第35頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二2.數(shù)乘設(shè)矩陣A=(aij)mn,數(shù)k與A的乘積定義為

(kaij)mn,記為kA.

注:矩陣的線性運(yùn)算即kA

=ka11

ka12…ka1nka21

ka22…ka2n

…………kam1

kam2…kamn加法數(shù)乘|kA|=?第36頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二3.性質(zhì)設(shè)A,B,C,O是同型矩陣,k,l是數(shù),則(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB,(9)kA=O當(dāng)且僅當(dāng)k=0或

A=O線性空間第37頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二二.矩陣的乘積例4.某廠家向A,B,C三個代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.A=2050302516201616

B=20018019010012010015016014018015015020200+50100+30150+251801800018150167501048010240968018000第38頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二例5.四個城市間的單向航線如圖所示.

若aij表示從i市直達(dá)j市航線的條數(shù),

則右圖可用矩陣表示為1423A=(aij)=0111100001001010從i市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到達(dá)j市航線的條數(shù)=?第39頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二乘法原理加法原理④①②③①①a11

a11

a12

a21

a13

a31

a41

a14

a11a11

a12a21

a13a31

a14a41

b11=.+++1423第40頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二乘法原理加法原理④①②③②③a21

a13

a22

a23

a33

a23

a24

a43

a21a13

a22a23

a23a33

a24a43

b23=.+++1423第41頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二例5.四個城市間的單向航線如圖所示.

若aij表示從i市直達(dá)j市航線的條數(shù),

則右圖可用矩陣表示為1423A=(aij)=0111100001001010B=(bij)=21100111100002111234ijbij=ai1a1j+ai2a2j+ai3a3j+ai4a4j.從i市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到達(dá)j市航線的條數(shù)=?第42頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二定義A=(aij)ms與B=(bij)sn的乘積是一個mn矩陣C=(cij)mn,其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=aikbkj.k=1s記為C=AB.稱AB為“以A左乘B”或“以B右乘A”.=a11

a12

a13a21

a22

a23b11

b12

b21

b22b31

b32如a11b11+a12b21+a13b31

a11b12+a12b22+a13b32

a21b11+a22b21+a23b31

a21b12+a22b22+a23b32第43頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二2.矩陣乘積的特殊性

(1)只有當(dāng)矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)時,

乘積AB才有意義.

a11

a12

a13a21

a22

a23b11

b12

b21

b22b31

b32如有意義；a11

a12

a13a21

a22

a23b11

b12

b21

b22b31

b32如有意義；a11

a12

a13a21

a22

a23b11

b12

b13

b21

b22b23

b31

b32b33

但

沒有意義；第44頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二2.矩陣乘積的特殊性(2)若A是一個mn矩陣,與B是一個nm矩陣,

則AB和BA都有意義.但AB是一個m階方

陣,BA是一個n階方陣.當(dāng)mn時,AB與BA談不上相等不相等.

即使m=n,AB與BA是同階方陣也未必相等.

例如:第45頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二例(1)A=B=

(2)A=B=(3)A=B=分別求乘積AB和BA。1122241

210011122

1

2121232,-1,1第46頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二以下現(xiàn)象也應(yīng)引起注意(3)

A≠O且B≠O時，AB可能會等于零矩陣第47頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二問題：矩陣A

和B的乘積何時可交換，即

AB=BA?第48頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二對角矩陣

diag(d1,d2,…,dn).d1

d2

dn…簡記為例假設(shè)對角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn),矩陣A=(aij)n×n.求乘積DA及AD，并比較這兩個矩陣的元素的特點。第49頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二考慮上例中矩陣乘積的如下幾個極端情形：D=:=E,

En或I,In

1

1

1…D的主對角元素d1,d2,…,dn互不相等，

并且AD=DA

A滿足什么條件？

d

d

d…(2)D

=:=dE(3)A=diag(a11,a22,…,ann)第50頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)k是數(shù),矩陣A,B,C使以下各式中一端有意義,則另一端也有意義并且等式成立:(1)(AB)C=A(BC),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(kA)B=k(AB).3.性質(zhì)轉(zhuǎn)置第51頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二4.方陣A的正整數(shù)冪(power)A1=A,A2=AA,…,Ak+1=AkA.但即使A與B是同階方陣,也未必成立!容易驗證AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl(AB)k=AkBk第52頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二例如A=1

100,B=1

010,AB=2

000,A2=1

100=A,B2=1

010=B,(AB)2=4

000,A2B2=AB=2

000,第53頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二注:①

若AB=BA,則(AB)k=AkBk.②

A=0

100,B=1

000,AB=0

000,BA=0

100,AB

BA,但(AB)k=AkBk成立.第54頁，共62頁，2023年，2月20日，星期二5.方陣的多項式

A——方陣——方陣A的多項式(polynomial).f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0

f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E

f(x)——多項式注意!!!

請參見教材53