8.7雙曲線（1）【復(fù)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握雙曲線的定義,理解雙曲線的第二定義.2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.能掌握a、b、c之間的關(guān)系,會(huì)由其中的兩個(gè)求出第三個(gè).4.能根據(jù)a、b、c的值寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.5.會(huì)運(yùn)用定義法、待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合等方法解題.【知識(shí)回顧】1.定義:平面內(nèi),與定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于0小于|F1F2|)的點(diǎn)軌跡叫做雙曲線.定點(diǎn)F1、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距.第二定義:平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離的比是常數(shù)e(e>1)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.定點(diǎn)叫做雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),定直線叫做與該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn)和兩條準(zhǔn)線).常數(shù)e叫雙曲線的離心率.【說明】在第一定義中,必須強(qiáng)調(diào)差的絕對(duì)值(記為2a),不但要小于|F1F2|(記為2c),且要大于零,當(dāng)2a=2c時(shí),軌跡是兩條射線;當(dāng)2a>2c時(shí),軌跡不存在.在第二定義中要注意點(diǎn)F不在直線l上否則軌跡是兩條相交直線;若已知雙曲線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線時(shí),必須說明是否為對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,否則不符合第二定義中的條件.2.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識(shí)(1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式:左邊是兩個(gè)分式的平方差,右邊是1.(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足c2=a2+b2.(3)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,a>0、b>0,但a不一定大于b;且當(dāng)a=b時(shí),稱為等軸雙曲線.(4)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,如果x2的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在x軸上;如果y2的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在y軸上.(5)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是由三個(gè)參數(shù)a、b、c及焦點(diǎn)位置唯一確定,即只要知道三個(gè)參數(shù)a、b、c的值,就可以寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【例題精解】【解】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程知:a=4,b=3由雙曲線定義知:雙曲線的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值是2a題中點(diǎn)P到較遠(yuǎn)的焦點(diǎn)距離為10,則到另一焦點(diǎn)的距離為10-2a=10-8=2另:此題為選擇題,由雙曲線定義,到另一焦點(diǎn)的距離較小,選項(xiàng)中只有A小,選A.【解】△ABF2的周長(zhǎng)看作三條線段|AB|、|AF2|、|BF2|的和,根據(jù)雙曲線的定義得|AF2|-|AF1|=2a=6

①|(zhì)BF2|-|BF1|=2a=6

②①+②得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=12即|AF2|+|BF2|=12+(|AF1|+|BF1|)=12+12=24所以周長(zhǎng)L=|AF2|+|BF2|+|AB|=12+24=36【點(diǎn)評(píng)】利用雙曲線的定義解有關(guān)雙曲線問題是最基本也是最重要的方法,這一點(diǎn)要加以重視.【分析】此題將雙曲線的定義隱藏在標(biāo)準(zhǔn)方程中.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,各部分都以平方的形式出現(xiàn),且一正一負(fù).而此題分母中是以一次式出現(xiàn)的,只要m-1、m+3異號(hào)即可.【解】由分析知:(m-1)(m+3)<0,解不等式得:-3<m<1∴m的取值范圍是(-3,1)【同步訓(xùn)練】【答案】D一、選擇題1.方程x2-y2=-1表示 (

) A.焦點(diǎn)在x軸的雙曲線 B.圓 C.兩條直線 D.焦點(diǎn)在y軸的雙曲線【答案】A【答案】D3.若θ是第三象限角,方程x2+y2sinθ=cosθ表示的曲線是(

) A.焦點(diǎn)在x軸的橢圓 B.焦點(diǎn)在y軸的橢圓 C.焦點(diǎn)在x軸的雙曲線 D.焦點(diǎn)在y軸的雙曲線