高三下學(xué)期數(shù)學(xué)一模試卷一、單選題1．已知集合，，則（）A． B．C． D．2．的虛部為（）A． B． C．0 D．-13．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這十二個(gè)節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則谷雨日影長為（）A．3.5尺 B．4.5尺 C．5.5尺 D．6.5尺4．已知正方形的邊長為2，，則的值為（）A．-4 B．-3 C．0 D．35．2022年11月初，新冠疫情突襲昭通市魯?shù)榭h，昭通市統(tǒng)一指揮、眾志成城，構(gòu)筑起抗擊疫情的堅(jiān)固堡壘.現(xiàn)有甲、乙等5名醫(yī)務(wù)人員參加某小區(qū)社區(qū)志愿服務(wù)活動，他們被分派到核酸檢驗(yàn)和掃碼兩個(gè)小組，且這兩個(gè)組都至少需要2名醫(yī)務(wù)人員，則甲、乙兩名醫(yī)務(wù)人員不在同一組的分配方案有（）A．8種 B．10種 C．12種 D．14種6．的值為（）A．-1 B．1 C． D．7．已知三棱錐所有的頂點(diǎn)都在球的表面上，若，，，且三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，且，則（）A． B．C． D．二、多選題9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)的一個(gè)周期為B．直線是的一條對稱軸C．點(diǎn)是的一個(gè)對稱中心D．在區(qū)間上單調(diào)遞減10．雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖1，，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線交雙曲線右支于點(diǎn)，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過左焦點(diǎn).若雙曲線的方程為，下列結(jié)論正確的是（）A．若，則B．點(diǎn)到的漸近線的距離為C．當(dāng)過點(diǎn)，光由所經(jīng)過的路程為13D．射線所在直線的斜率為，則11．如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．B．三棱錐的內(nèi)切球的體積為C．三棱錐的體積為D．直線與平面所成角的最大值為12．若過軸上一點(diǎn)最多可作出條直線與函數(shù)的圖象相切，則（）A．可以取到3B．C．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是D．當(dāng)時(shí)，存在唯一的值三、填空題13．某班15名學(xué)生在一次測試中的得分（單位：分）如下：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，17.則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是.14．曲線在點(diǎn)處的切線方程為．15．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，以線段為直徑作圓，該圓的面積的取值范圍為.16．已知橢圓，直線與橢圓在第四象限交于，兩點(diǎn)，與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為，且，，則直線的方程為.四、解答題17．設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使的的最大值.18．已知中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足.從①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件.（1）求角的大小；（2）點(diǎn)在線段的延長線上，且，若，求的面積.19．為了滿足同學(xué)們多元化的需求，某學(xué)校決定每周組織一次社團(tuán)活動，活動內(nèi)容豐富多彩，有書法、象棋、籃球、舞蹈、古風(fēng)漢服走秀、古箏表演等.同學(xué)們可以根據(jù)自己的興趣選擇項(xiàng)目參加，為了了解學(xué)生對該活動的喜愛情況，學(xué)校采用給活動打分的方式（分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分100分），在全校學(xué)生中隨機(jī)選取1200名同學(xué)進(jìn)行打分，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)均在內(nèi)，現(xiàn)將這些數(shù)據(jù)分成6組并繪制出如圖3所示的樣本頻率分布直方圖.附：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（1）請將樣本頻率分布直方圖補(bǔ)充完整，并求出樣本的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）從這1200名同學(xué)中隨機(jī)抽取，經(jīng)統(tǒng)計(jì)其中有男同學(xué)70人，其中40人打分在，女同學(xué)中20人打分在，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并在犯錯(cuò)概率不超過0.100的條件下，能否認(rèn)為對該活動的喜愛程度與性別有關(guān)（分?jǐn)?shù)在內(nèi)認(rèn)為喜歡該活動）？

喜歡不喜歡合計(jì)男同學(xué)女同學(xué)合計(jì)20．如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，且，則在線段上是否存在一動點(diǎn)，使得二面角的大小為45°？若存在，請找出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.21．已知函數(shù)（，），.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.22．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，且.（1）求曲線的方程；（2）過焦點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，直線，與圓的另一交點(diǎn)分別為，，求與的面積之比的最大值.

1．B2．D3．C4．D5．C6．A7．A8．B9．A,B10．B,D11．A,C,D12．A,B,D13．1314．x-4y+1=015．[4π，9π]16．17．（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由于，故解得，所以.（2）解：，由得，解得，由于，所以的最大值是11.18．（1）解：由得：；若選①，則有，由余弦定理得；若選②，由代入上式，得：；若選③，則為直角三角形，，；綜上，；（2）解：由（1）知，，，由余弦定理得：，，在中，由正弦定理得：，，，；綜上，，.19．（1）解：各組數(shù)據(jù)頻率之和為1，故[60，70]組頻率，所以縱坐標(biāo)為.樣本頻率分步直方圖如下圖：樣本平均數(shù).（2）解：

喜歡不喜歡合計(jì)男同學(xué)403070女同學(xué)203050合計(jì)6060120，故沒有把握在犯錯(cuò)概率不超過0.100的條件下認(rèn)為喜愛程度與性別有關(guān).20．（1）證明：是等腰三角形，O是底邊的中點(diǎn)，，又平面平面BCD，平面平面，平面BCD，平面BCD，；（2）解：建立空間直角坐標(biāo)系如下圖：以O(shè)為原點(diǎn)，過O點(diǎn)垂直于BD的直線為x軸，直線BD為y軸，OA為z軸，由于是等邊三角形，OC與x軸的夾角為，所以C點(diǎn)的x坐標(biāo)為，y坐標(biāo)為，即，設(shè)，，（表示E點(diǎn)與D點(diǎn)，此時(shí)二面角為0，），則，，，設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為，則，，令，則，顯然平面BCD的一個(gè)法向量是，則平面BCE與平面BCD的二面角為，，得或（當(dāng)時(shí)，表示點(diǎn)E在AD的延長線上，不符合題意，舍），，即當(dāng)E點(diǎn)在線段AD的靠近A點(diǎn)的三分點(diǎn)時(shí)，二面角為；綜上，存在點(diǎn)E，在靠近A點(diǎn)的線段AD的三分點(diǎn)處.21．（1）解：，，，當(dāng)時(shí)，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令得，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即在上恒成立，，，故，令，，則，因?yàn)?，所以恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，，故存在使得