中國人民大學(xué)附中特級教師梁麗平-高考數(shù)學(xué)綜合能力題30講第09講-數(shù)列綜合問題Doc521資料分享網(wǎng)(D)–資料分享我做主！Doc521資料分享網(wǎng)(D)–資料分享我做主！數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講9數(shù)列綜合問題100080北京中國人民大學(xué)附中梁麗平題型預(yù)測在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點處設(shè)計試題是近年來高考命題的特點．?dāng)?shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，不僅本身成為高考考查的重點，而且常常與不等式、函數(shù)、解析幾何等知識綜合在一起，成為高考命題的熱點．范例選講例1已知函數(shù)，點，是函數(shù)圖像上的兩個點，且線段的中點的橫坐標(biāo)為．（Ⅰ）求證：點的縱坐標(biāo)是定值；（Ⅱ）若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列的前m項的和；（Ⅲ）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 講解：這是一道函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合問題．對于（Ⅰ），直接驗證即可；對于（Ⅱ），觀察的構(gòu)成：，當(dāng)時，因為（），所以，需且只需對任意恒成立．即：對恒成立．記（）．∵，∴（）的最大值為，∴．點評：對于“恒成立”的問題，往往采用分離變量的方法，轉(zhuǎn)化為求某一函數(shù)的最值．例2已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱．（Ⅰ）試用含的代數(shù)式表示函數(shù)的解析式，并指出它的定義域；（Ⅱ）數(shù)列中，，當(dāng)時，．?dāng)?shù)列中，，．點在函數(shù)的圖像上，求的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點作傾斜角為的直線，則在ｙ軸上的截距為，求數(shù)列的通項公式．講解：本題條件繁多，內(nèi)容涉及解析幾何、函數(shù)、數(shù)列多個方面，因此，我們首先需要仔細(xì)閱讀題目，并根據(jù)題設(shè)理清思路，從繁雜的條件中選取有用的信息，把握問題的實質(zhì)：實際上，本題的實質(zhì)仍然是數(shù)列問題，解析幾何和函數(shù)只是起到一種偽裝的作用．（Ⅰ）由題可知：與函數(shù)互為反函數(shù)，所以，，（Ⅱ）因為點在函數(shù)的圖像上，所以，(*)在上式中令可得：，又因為：，，代入可解得：．所以，，(*)式可化為：①（Ⅲ）直線的方程為：，，在其中令，得，又因為在ｙ軸上的截距為，所以，=結(jié)合①式可得：②由①可知：當(dāng)自然數(shù)時，，，兩式作差得：．結(jié)合②式得：③ 在③中，令，結(jié)合，可解得：，又因為：當(dāng)時，，所以，舍去，得．同上，在③中，依次令，可解得：，．猜想：．下用數(shù)學(xué)歸納法證明．（1）時，由已知條件及上述求解過程知顯然成立．（2）假設(shè)時命題成立，即，則由③式可得：把代入上式并解方程得：由于，所以，，所以，不符合題意，應(yīng)舍去，故只有．所以，時命題也成立．綜上可知：數(shù)列的通項公式為點評：演繹和歸納是解決數(shù)列問題的常用方法；解決綜合題的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，然后各個擊破．高考真題（1995年全國高考）設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,是其前n項和,（Ⅰ）證明:()＜；（Ⅱ）是否存在常數(shù)c＞0,使得[lg(－c)＋lg(－c)]＜lg(－c)成立?并證明你的結(jié)論.（1999年全國高考）已知函數(shù)的圖象是自原點出發(fā)的一條折線,當(dāng)n≤y≤n＋1(n＝0,1,2,…)時,該圖象是斜率為的線段(其中正常數(shù)≠1),設(shè)數(shù)列由＝(＝1,2,…)定義（Ⅰ）求和的表達(dá)式；（Ⅱ）求的表達(dá)式,并寫出其定義域；（Ⅲ）證明的圖象與的