一模試卷一、單選題1．已知集合，則（）A． B．C． D．2．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知平面向量的夾角為，且，則（）A． B． C． D．4．安徽徽州古城與四川閬中古城?山西平遙古城?云南麗江古城被稱為中國四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底層部分可近似看作一個正方體.已知該正方體中，點分別是棱的中點，過三點的平面與平面的交線為，則直線與直線所成角為（）A． B． C． D．5．為慶祝中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會勝利閉幕，某高中舉行“獻禮二十大”活動，高三年級派出甲?乙?丙?丁?戊5名學生代表參加，活動結(jié)束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則不同的排法共有（）種．A．40 B．24 C．20 D．126．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．點是曲線的對稱中心B．點是曲線的對稱中心C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的對稱軸7．在三棱錐中，底面，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．8．已知，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、多選題9．已知函數(shù)，則（）A．是奇函數(shù)B．的單調(diào)遞增區(qū)間為和C．的最大值為D．的極值點為10．在平行六面體中，已知，，則（）A．直線與所成的角為B．線段的長度為C．直線與所成的角為D．直線與平面所成角的正弦值為11．已知為坐標原點，點，線段的中點在拋物線上，連接并延長，與交于點，則（）A．的準線方程為B．點為線段的中點C．直線與相切D．在點處的切線與直線平行12．已知函數(shù)和及其導(dǎo)函數(shù)和的定義域均為，若，，且為偶函數(shù)，則（）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．三、填空題13．的展開式中，常數(shù)項為（用數(shù)字作答）.14．已知圓，直線（是參數(shù)），則直線被圓截得的弦長的最小值為.15．已知直線與橢圓交于兩點，線段中點在直線上，且線段的垂直平分線交軸于點，則橢圓的離心率是.16．若過點有3條直線與函數(shù)的圖象相切，則的取值范圍是.四、解答題17．在平面直角坐標系中，銳角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓的交點分別為.已知點的縱坐標為，點的橫坐標為.（1）求的值；（2）記的內(nèi)角的對邊分別為.請從下面兩個問題中任選一個作答，如果多選，則按第一個解答計分.①若，且，求周長的最大值.②若，且，求的面積.18．已知在遞增數(shù)列中，為函數(shù)的兩個零點，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.19．漁船海上外出作業(yè)受天氣限制，尤其浪高對漁船安全影響最大，二月份是某海域風浪最平靜的月份，浪高一般不超過3.某研究小組從前些年二月份各天的浪高數(shù)據(jù)中，隨機抽取50天數(shù)據(jù)作為樣本，制成頻率分布直方圖：（如圖）根據(jù)海浪高度將海浪劃分為如下等級：浪高海浪等級微浪小浪中浪大浪海事管理部門規(guī)定：海浪等級在“大浪”及以上禁止?jié)O船出海作業(yè).（1）某漁船出海作業(yè)除受浪高限制外，還受其他因素影響，根據(jù)以往經(jīng)驗可知：“微浪”情況下出海作業(yè)的概率為0.9，“小浪”情況下出海作業(yè)的概率為0.8，“中浪”情況下出海作業(yè)的概率為0.6，請根據(jù)上面頻率分布直方圖，估計二月份的某天各種海浪等級出現(xiàn)的概率，并求該漁船在這天出海作業(yè)的概率；（2）氣象預(yù)報預(yù)計未來三天內(nèi)會持續(xù)“中浪”或“大浪”，根據(jù)以往經(jīng)驗可知：若某天是“大浪”，則第二天是“大浪”的概率為，“中浪”的概率為；若某天是“中浪”，則第二天是“大浪”的概率為，“中浪”的概率為.現(xiàn)已知某天為“中浪”，記該天的后三天出現(xiàn)“大浪”的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.20．如圖，四棱錐中，為等腰三角形，，.（1）證明：；（2）若，點在線段上，，求平面與平面夾角的余弦值.21．我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點分別為橢圓的左?右頂點.（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點的動直線交雙曲線右支于兩點，若直線的斜率分別為.（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；（ii）求的取值范圍.22．已知函數(shù).（1）若在定義域上具有唯一單調(diào)性，求的取值范圍；（2）當時，證明：.

1．C2．D3．C4．A5．B6．C7．B8．D9．A,B10．A,C11．B,C,D12．A,B,C13．6014．15．16．17．（1）解：因為是銳角，所以在第一象限，又因為在單位圓上，點的縱坐標為，點的橫坐標為，所以，所以，故.（2）解：選①：由（1）中結(jié)論可得，又，由余弦定理可得，即.，，當時，等號成立，，即當為等邊三角形時，周長最大，最大值為6.選②：由（1）可知，則，由正弦定理，可得，故，則.18．（1）解：函數(shù)的零點為3，8，而數(shù)列遞增，則，，因此數(shù)列是以5為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，當時，，而也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式是.（2）證明：由（1）得，因此，而，所以.19．（1）解：記這天浪級是“微浪”為事件，浪級是“小浪”為事件，浪級是“中浪”為事件，浪級是“大浪”為事件.該漁船當天出海作業(yè)為事件，則由題意可知：，..（2）解：依題意可知，的所有可能取值為，，，，則的分布列為0123數(shù)學期望.20．（1）證明：取的中點，連接，如圖，因為，則，又，即有，而，于是四邊形為平行四邊形，又，則，又平面，所以平面，又，因此平面，而平面，所以.（2）解：因為，且平面，則平面，又，則平面，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，又，則，又，則，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，又平面的一個法向量為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.21．（1）解：由題意可設(shè)雙曲線，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）解：（i）設(shè)，直線的方程為，由，消元得.則，且，；或由韋達定理可得，即，，即與的比值為定值.（ii）設(shè)直線，代入雙曲線方程并整理得，由于點為雙曲線的左頂點，所以此方程有一根為，.由韋達定理得：，解得.因為點A在雙曲線的右支上，所以，解得，即，同理可得，由（i）中結(jié)論可知，得，所以，故，設(shè)，其圖象對稱軸為，則在上單調(diào)遞減，故，故的取值范圍為.另解：由于雙曲線的漸近線方程為，如圖，過點作兩漸近線的平行線與，由于點A在雙曲線的右支上，所以直線介于直線與之間（含軸，不含直線與），所以.同理，過點作兩漸近線的平行線與，由于點在雙曲線的右支上，所以直線介于直線與之間（不含軸，不含直線與），所以.由（i）中結(jié)論可知，得，所以，故.22．（1）解：由題意得的定義域為.若在定義域上單調(diào)遞增，則恒成立，得，即在上恒成立，又，當且僅當時等號成立，；若在定