山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院2.5.1.矩陣的初等變換線性方程組的一般形式

什么是初等變換?2.5矩陣的初等變換與初等矩陣山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院對(duì)方程組起決定作用的是：系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)所以，此方程組可以用下面的矩陣表示山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院如何解線性方程組？山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院可以用消元法求解：

始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換：（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院若記則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B（方程組的增廣矩陣）的變換．因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院即，求解線性方程組實(shí)質(zhì)上是對(duì)增廣矩陣施行3種初等運(yùn)算：(1)對(duì)調(diào)矩陣的兩行。(2)用非零常數(shù)k乘矩陣的某一行的所有元素。將矩陣的某一行所有元素乘以非零常數(shù)k后加到另一行對(duì)應(yīng)元素上。統(tǒng)稱為矩陣的初等行變換山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院定義1：下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:同理可定義矩陣的初等列變換

．矩陣的初等變換山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院注意：初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．逆變換逆變換逆變換山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院注：每一步變換用“→”表示，不能寫成“﹦”.山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院2.5.2標(biāo)準(zhǔn)形矩陣特點(diǎn)：1、只在“主對(duì)角線”的左上方有非零元素1，其余全為零；2、元素1從左上到右下連續(xù)排列，其個(gè)數(shù)最少為0，最大為min{m,n}山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院定理2.5.1

任何矩陣都可以經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)．例如，兩個(gè)線性方程組同解，是一個(gè)等價(jià)關(guān)系山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院矩陣等價(jià)的性質(zhì)：利用矩陣等價(jià)這一等價(jià)關(guān)系，則可將矩陣進(jìn)行分類.思考：4×3矩陣可以分為幾類？所以，矩陣等價(jià)也是一種等價(jià)關(guān)系山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院2.5.3初等方陣

定義2.5.3由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.

一般的，由三種初等變換得到三種初等矩陣.山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院－1山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院k山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院(3)將E的第j行(i列)的k倍加到第i行(j列)上得到的初等矩陣,記作1問：三類初等矩陣有何共同之處？山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院初等矩陣是可逆的，逆矩陣仍為初等矩陣。山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣?yán)?：計(jì)算E經(jīng)初等變換E經(jīng)初等逆變換山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院(1)對(duì)A進(jìn)行一次行初等變換，相當(dāng)于用一個(gè)m階的初等矩陣左乘A;(2)對(duì)A進(jìn)行一次列初等變換，相當(dāng)于用一個(gè)n階的初等矩陣右乘A;

2.

初等變換和初等矩陣之間的關(guān)系：定理2.5.2于是，定理2.5.1可敘述為：定理2.5.1

任何矩陣都可以經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院（2）初等矩陣與初等變換的關(guān)系（定理2.5.2）能否幫助我們求初等矩陣的逆矩陣？思考：（1）將矩陣A與B等價(jià)用初等矩陣描述？山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院2.5.4矩陣可逆的兩個(gè)充要條件定理2.5.5

n階矩陣A可逆的充要條件是A可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積.注意2：標(biāo)準(zhǔn)形矩陣中只有單位矩陣可逆（行列式不等于零）山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院2.5.5初等行變換法求逆矩陣定理2.5.5

n階矩陣A可逆的充要條件是A可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積.右乘AE左乘若干個(gè)初等矩陣變?yōu)锳左乘若干個(gè)初等矩陣變?yōu)镋A進(jìn)行若干次初等行變換變?yōu)镋E進(jìn)行若干次初等行變換變?yōu)閷?duì)A、E進(jìn)行完全相同的初等行變換，當(dāng)A變成E時(shí)，E變成山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院思考對(duì)矩陣（A,E)做一系列行初等變換，將其左半部分化為單位矩陣E,這時(shí)右半部分就是山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院

解：例3：山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院練習(xí)：用初等行變換求可逆矩陣A的逆矩陣山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院若作初等行變換時(shí),出現(xiàn)全行為0，則矩陣的行列式等于0。結(jié)論：矩陣不可逆!求逆時(shí),若用初等行變換必須堅(jiān)持始終,不能夾雜任何列變換.注：即初等行變換另：利用初等行變換求逆矩陣的方法，還可用于求矩陣山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)