第五章IIR數(shù)字濾波器理論和設(shè)計(jì)第一頁(yè)，共45頁(yè)。主要內(nèi)容5.1IIR濾波器簡(jiǎn)介5.2脈沖響應(yīng)不變法ImpulseInvariance

5.4原型變換法Analog-DigitalTransformation

5.3雙線性變換法BilinearTransformation2023/4/172第二頁(yè)，共45頁(yè)。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程濾波器設(shè)計(jì)的三個(gè)步驟(basicsteps)：分析設(shè)計(jì)需求：濾波器類型/基本參數(shù)(specification)

（1）低通/高通/帶通/帶阻（2）邊界頻率/通帶和阻帶衰減（3）通帶紋波特性利用因果穩(wěn)定系統(tǒng)函數(shù)逼近設(shè)計(jì)需求，這種傳遞函數(shù)分為IIR和FIR傳遞函數(shù)通過有限精度的運(yùn)算實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)函數(shù)2023/4/173第三頁(yè)，共45頁(yè)。5.1IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法一個(gè)N階IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：H(z)的設(shè)計(jì)目的：確定系數(shù)ai和bi或零極點(diǎn)ci和di，從而保證濾波器滿足設(shè)計(jì)需求。IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的三種設(shè)計(jì)方法：零極點(diǎn)位置累試法利用模擬濾波器的理論利用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)2023/4/174第四頁(yè)，共45頁(yè)。數(shù)字濾波器基本技術(shù)指標(biāo)phase-frequencyAmplitude-frequency輸入信號(hào)各頻率成分的衰減輸入信號(hào)各頻率成分在時(shí)間上的延時(shí)

過渡帶通帶阻帶3dB通帶截止頻率通帶內(nèi)最大衰減阻帶內(nèi)最小衰減歸一化后：2023/4/175第五頁(yè)，共45頁(yè)。2023/4/176第六頁(yè)，共45頁(yè)。單位圓內(nèi)的極點(diǎn)頻譜中的峰值單位圓內(nèi)的零點(diǎn)頻譜中的谷值1濾波器設(shè)計(jì)方法（1）簡(jiǎn)單濾波器零極點(diǎn)位置累試法頻響的幾何表示法GeometricevaluationPole-zerodiagram

2023/4/177第七頁(yè)，共45頁(yè)。模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法：簡(jiǎn)單嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式設(shè)計(jì)參數(shù)已表格化可以利用設(shè)計(jì)軟件（2）利用模擬濾波器的理論設(shè)計(jì)原理：設(shè)計(jì)需求AF的Ha(s)DF的H

(z)常用方法：脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法ImpulseInvarianceBilinearTransformation2023/4/178第八頁(yè)，共45頁(yè)。（3）利用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)Optimization循環(huán)嘗試的方法進(jìn)行參數(shù)設(shè)置最優(yōu)化準(zhǔn)則運(yùn)算量大直接型、級(jí)聯(lián)型2023/4/179第九頁(yè)，共45頁(yè)。2用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器遵循的兩個(gè)原則（1）S平面的虛軸

j映射到z平面的單位圓上ejw

上（頻響模擬：Ha(s)H(z)）（2）Ha(s)的因果穩(wěn)定性經(jīng)映射后H(z)仍保持，即：s平面左半平面Re[s]<0（模擬域因果穩(wěn)定條件）

映射到z平面單位圓內(nèi)|z|<1（數(shù)字域因果穩(wěn)定條件）

。2023/4/1710第十頁(yè)，共45頁(yè)。5.2脈沖響應(yīng)不變法（時(shí)域方法）時(shí)域采樣定理的應(yīng)用SamplingTheorem1.變換關(guān)系

ImpulseInvariantMethod使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，讓h(n)正好等于ha(t)的采樣值，即：h(n)=ha(t)|t=nT若已知模擬濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)Ha(s)，則所求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：h(n)=[L-1[(Ha(s)]|t=nT]2023/4/1711第十一頁(yè)，共45頁(yè)。2.數(shù)字濾波器與模擬濾波器頻響的關(guān)系DF的頻響是AF頻響的周期延拓。若AF的頻響是帶限的，且:此時(shí)DF的頻響才能不失真地恢復(fù)AF頻響。脈沖響應(yīng)不變法的頻率坐標(biāo)變換是線性的，變換不改變線性特性。

實(shí)際模擬濾波器的頻響是非帶限的頻譜混疊

為了減小失真，應(yīng)減小T，提高折疊頻率2023/4/1712第十二頁(yè)，共45頁(yè)。3.脈沖響應(yīng)不變法的改進(jìn)Improvement為了減小失真，應(yīng)減小T，但DF的增益會(huì)很大：故，采用下式修正：4.脈沖響應(yīng)不變法的適用范圍

（1）為了減小混疊，折疊頻率處衰減要大低通、帶通（2）模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)是單階極點(diǎn)，且分母階次高于分子階次。（用部分分式表達(dá)傳遞函數(shù)）2023/4/1713第十三頁(yè)，共45頁(yè)。數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)模擬濾波器S平面的極點(diǎn)數(shù)字濾波器z平面的極點(diǎn)2023/4/1714第十四頁(yè)，共45頁(yè)。Z平面與S平面的映射關(guān)系系統(tǒng)穩(wěn)定的條件2023/4/1715第十五頁(yè)，共45頁(yè)。脈沖響應(yīng)不變法的特點(diǎn)（a）能夠保持模擬濾波器的時(shí)域瞬態(tài)信號(hào)（b）線性的數(shù)字頻率和模擬頻率關(guān)系（c）Ha()必須在上嚴(yán)格帶限，否則數(shù)字頻域內(nèi)將出現(xiàn)混疊失真。注意：Ha()不嚴(yán)格帶限或ha(t)變化不平穩(wěn)，而設(shè)計(jì)要求高時(shí)，則不宜采用此方法。另外，此方法不能直接設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器。2023/4/1716第十六頁(yè)，共45頁(yè)。Z平面與S平面的映射關(guān)系：多值映射系統(tǒng)穩(wěn)定的條件2023/4/1717第十七頁(yè)，共45頁(yè)。5.3雙線性變換法BilinearTransformation（1）基本思想：AF的Ha(s)DF的H

(z)一般模擬濾波器的基本單元是積分器1/s。設(shè)法利用某種數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來代替此基本單元。2023/4/1718第十八頁(yè)，共45頁(yè)。脈沖響應(yīng)不變法缺點(diǎn)：頻譜混疊采用非線性頻率壓縮方法，將整s平面壓縮到窄帶s1范圍內(nèi)。正切變換s平面虛軸壓縮到s1平面的虛軸。2023/4/1719第十九頁(yè)，共45頁(yè)。Imageoflefthalfplanes-平面與z-平面之間的映射關(guān)系雙曲正切雙線性變換關(guān)系A(chǔ)FDF2023/4/1720第二十頁(yè)，共45頁(yè)。（2）相位變換的非線性關(guān)系drawback2023/4/1721第二十一頁(yè)，共45頁(yè)。雙線性變換時(shí)的頻率非線性變化頻率的畸變可以通過預(yù)畸來加以校正2023/4/1722第二十二頁(yè)，共45頁(yè)。（3）Z平面與S平面的映射關(guān)系只考慮S平面的虛軸與z平面單位圓的映射關(guān)系一一對(duì)應(yīng)不存在頻域混疊失真非線性關(guān)系相頻特性失真2023/4/1723第二十三頁(yè)，共45頁(yè)。（4）雙線性變換法的特點(diǎn)Features（a）變換后無頻率混疊失真，對(duì)Ha()無帶限要求；（b）非線性的數(shù)字頻率和模擬頻率關(guān)系；（c）設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，可直接代換；（d）頻率的畸變可以通過預(yù)畸來加以校正；濾波器瞬態(tài)響應(yīng)impulseinvariance

其他情況bilineartransformation2023/4/1724第二十四頁(yè)，共45頁(yè)。（5）使用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器基本步驟確定技術(shù)指標(biāo)技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換：數(shù)字模擬

脈沖響應(yīng)不變法：=T

雙線性變換法：實(shí)現(xiàn)模擬濾波器設(shè)計(jì)將模擬濾波器數(shù)字濾波器2023/4/1725第二十五頁(yè)，共45頁(yè)。脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法2023/4/1726第二十六頁(yè)，共45頁(yè)。5.4原型變換常見濾波器的理想幅頻特性原型變換：模擬低通濾波器各種類型數(shù)字濾波器原型濾波器——模擬低通濾波器2023/4/1727第二十七頁(yè)，共45頁(yè)。1.變換方法（1）低通變換步驟：確定數(shù)字濾波器的性能要求，確定各臨界頻率值{k}。由變換關(guān)系將{k}映射到模擬域，得出AF的臨界頻率{k}。按照臨界頻率值{k}設(shè)計(jì)模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)。通過變換將Ha(s)轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的H(z)。2023/4/1728第二十八頁(yè)，共45頁(yè)。例：采樣周期T=250us，要求用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃斯低通濾波器，其3dB截止頻率為fc=1KHz。解：已知巴特沃斯濾波器傳遞函數(shù)為：第一步：臨界數(shù)字頻率第二步：臨界模擬頻率第三步：求Ha(s)，N=3，c=1第四步：求H

(z)2023/4/1729第二十九頁(yè)，共45頁(yè)。（2）高通、帶通、帶阻變換

a.設(shè)計(jì)方案模擬原型模擬高通、帶通、帶阻數(shù)字HP,BP,BS模擬原型數(shù)字高通、帶通、帶阻b.具體變換截止頻率為1(rad/s)的低通濾波器轉(zhuǎn)換成一個(gè)LPF/HPF/BPF/BSF的變換Ha(s)Ha(s1)H

(z)低通低通低通高通低通帶通低通帶阻頻率變換2023/4/1730第三十頁(yè)，共45頁(yè)。2）直接變換

低通變換映射關(guān)系2023/4/1731第三十一頁(yè)，共45頁(yè)。2）直接變換

高通變換映射關(guān)系高通是低通頻率關(guān)系的倒置2023/4/1732第三十二頁(yè)，共45頁(yè)。

高通原型變換2023/4/1733第三十三頁(yè)，共45頁(yè)。2）直接變換

帶通變換變換關(guān)系映射關(guān)系2023/4/1734第三十四頁(yè)，共45頁(yè)。2）直接變換

帶阻變換變換關(guān)系映射關(guān)系帶阻是帶通頻率關(guān)系的倒置2023/4/1735第三十五頁(yè)，共45頁(yè)。3）Z-plane變換法同屬原型變換法由數(shù)字低通原型濾波器設(shè)計(jì)各種所需的數(shù)字濾波器。從映射的角度看，原型數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)所需數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Hd(Z)從一個(gè)z平面另一個(gè)Z平面從一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)另一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)2023/4/1736第三十六頁(yè)，共45頁(yè)。濾波器的變換公式和設(shè)計(jì)公式（NextPage）映射要遵循的原則：保持穩(wěn)定性，由一個(gè)平面的單位園內(nèi)到另一個(gè)平面的單位園內(nèi)。頻響特性滿足一個(gè)要求，由一個(gè)平面的單位園上映射到另一個(gè)平面的單位園上。實(shí)際上是單位園上的旋轉(zhuǎn)如：低通高通就是旋轉(zhuǎn)2023/4/1737第三十七頁(yè)，共45頁(yè)。低通低通低通高通低通帶通低通帶阻參數(shù)的確定g(z-1)變換關(guān)系2023/4/1738第三十八頁(yè)，共45頁(yè)。數(shù)字濾波器的變換低通高通、帶通和帶阻2023/4/1739第三十九頁(yè)，共45頁(yè)。5.5模擬濾波特性的逼近DF指標(biāo)AF技術(shù)指標(biāo)AF系統(tǒng)函數(shù)DF系統(tǒng)函數(shù)濾波器的特性實(shí)際特性是對(duì)理想特性的逼近典型逼近：巴特沃斯逼近切比雪夫逼近橢圓逼近2023/4/1740第四十頁(yè)，共45頁(yè)。三種低通濾波特性的逼近巴特沃斯逼近切比雪夫逼近橢圓逼近2023/4/1741第四十一頁(yè)，共45頁(yè)。三種濾波器的比較幅頻特性：

巴特沃斯—整個(gè)頻帶內(nèi)單調(diào)下降；切比雪夫—通帶內(nèi)等紋波振動(dòng)，過渡帶/阻帶單調(diào)下降；橢圓—除過渡帶外，通帶和阻帶都等紋波振動(dòng)過渡帶特性：

巴特沃斯—最差；（相同條件下，階數(shù)最高）切比雪夫—居中；橢圓—最陡；（相同條件下，階數(shù)最低）設(shè)計(jì)復(fù)雜性和參數(shù)敏感性：巴