第六章模糊控制數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一頁(yè)，共132頁(yè)。第六章 模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1）6.1 概述

6.1.1 模糊概念

6.1.2 模糊性與隨機(jī)性6.2 模糊集合

6.2.1 普通集合

6.2.2 模糊集合

6.2.3 模糊集合與普通集合的聯(lián)系2023/4/192第二頁(yè)，共132頁(yè)。第六章 模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（2）6.3 模糊關(guān)系與模糊關(guān)系合成

6.3.1 模糊關(guān)系的基本概念

6.3.2 模糊關(guān)系合成

6.3.3 模糊關(guān)系的性質(zhì)6.4 模糊推理

6.4.1 模糊語(yǔ)言與語(yǔ)言變量

6.4.2 模糊命題與模糊條件語(yǔ)句

6.4.3 模糊推理2023/4/193第三頁(yè)，共132頁(yè)。6.1.1 模糊概念

一些概念在特定的場(chǎng)合有明確的外延，例如國(guó)家、貨幣、法定年齡等。對(duì)于這些明確的概念，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)里常常用經(jīng)典集合來表示。還有一些概念在一些場(chǎng)合不具有明確的外延，例如、年齡大小、冷與熱，風(fēng)的強(qiáng)弱等。這樣的概念，相對(duì)于明確的概念，我們稱之為模糊概念.天氣冷熱年齡大小風(fēng)的強(qiáng)弱2023/4/194第四頁(yè)，共132頁(yè)。雨的大小人的胖瘦個(gè)子高低傳統(tǒng)的集合論在模糊概念面前就顯得軟弱無力了，模糊集合論正是處理模糊概念的有力工具.2023/4/195第五頁(yè)，共132頁(yè)。

客觀世界中的模糊性、不確定性、含糊性等等有多種表現(xiàn)形式。在模糊集合論中主要處理沒有精確定義的這一類模糊性，其主要有兩種表現(xiàn)形式。一是許多概念沒有一個(gè)清晰的外延。例如我們不可能在年齡上劃兩道線，在兩道線內(nèi)就是年輕人，在其外就截然不是年輕人。另一個(gè)是概念本身的開放性(OpenTexture)，例如關(guān)于什么是聰明，我們永遠(yuǎn)不可能列舉出它應(yīng)滿足的全部條件。 因此總是有不確定性存在，由于對(duì)象本身沒有精確的定義，普通的集合論無法被應(yīng)用。2023/4/196第六頁(yè)，共132頁(yè)。經(jīng)典集合論中，一個(gè)元素x要么屬于某個(gè)集合A：x∈A,此時(shí)其特征函數(shù)值為1，要么x不屬于某個(gè)集合A：x?A,此時(shí)其特征值為0.而模糊概念中沒有這種非此即彼的現(xiàn)象，L.A.Zadeh在模糊集合論中提出，將特征函數(shù)的取值由二值邏輯{0,1}擴(kuò)大到閉區(qū)間[0,1]，用一個(gè)隸屬函數(shù)μa(x)表示x∈A的程度，μa(x)的取值在0～1之間。2023/4/197第七頁(yè)，共132頁(yè)。6.1.2

模糊性與隨機(jī)性模糊集合研究的是不確定性，這種不確定性是事物本身形態(tài)和類屬的不確定性。例：降雨量另一種不確定性——

隨機(jī)性。隨機(jī)性是在事件是否發(fā)生的表現(xiàn)出來的不確定性，而事件本身的形態(tài)和類屬是確定的。例投擲硬幣2023/4/198第八頁(yè)，共132頁(yè)。模糊與概率的差別：CA口極渴的人飲用哪杯液體？2023/4/199第九頁(yè)，共132頁(yè)。CA啤酒鹽酸1）模糊隸屬函數(shù)表示物體（對(duì)象）對(duì)不精確定義性質(zhì)的相似程度。2）概率把信息轉(zhuǎn)變?yōu)槭录l(fā)生或出現(xiàn)的頻度。2023/4/1910第十頁(yè)，共132頁(yè)。隨機(jī)性——

外在的不確定性，模糊性－－內(nèi)在的不確定性。概率論方法，事件出現(xiàn)的可信度[0,1]中的一個(gè)數(shù)，關(guān)于它出現(xiàn)的知識(shí)的一個(gè)測(cè)量；模糊性－—對(duì)象無精確定義。必須要有一個(gè)函數(shù)X→[0,1],即隸屬函數(shù)來刻畫它。從信息觀點(diǎn)看，隨機(jī)性只涉及信息的量，模糊性關(guān)系到信息的意義、信息的定性。模糊性是一種比隨機(jī)性更深刻的不確定性，模糊性的存在比隨機(jī)性的存在更為廣泛。2023/4/1911第十一頁(yè)，共132頁(yè)。6.2.1 普通集合集合的概念回顧：論域，元素，集合的概念集合的運(yùn)算等2023/4/1912第十二頁(yè)，共132頁(yè)。以上集合的運(yùn)算可以用圖解來表示，稱為文氏圖(Veitch圖)，如下圖所示

集合運(yùn)算示意圖2023/4/1913第十三頁(yè)，共132頁(yè)。集合的運(yùn)算性質(zhì) 設(shè)A、B、C∈P(X)，其交、并等運(yùn)算具有以下性質(zhì)(注意到它們是成對(duì)出現(xiàn)的)；冪等律 A∪A=A, A∩A=A交換律 A∩B=B∪A,A∩B=B∩A結(jié)合律 (A∩B)∪B=B分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)同一律 A∪Ω=Ω, A∩Ω=A

A∪?=?,A∩?=?復(fù)原律 (AC)C=A2023/4/1914第十四頁(yè)，共132頁(yè)?；パa(bǔ)律 A∪AC=Ω, A∩AC=?對(duì)偶性（也稱”De-Morgan律”）

(A∪B)C=AC∩BC

(A∩B)C=AC∪BC

2023/4/1915第十五頁(yè)，共132頁(yè)。特征函數(shù) 設(shè)A是論域X上的集合，記

(6-10)

為集合A的特征函數(shù)，如圖示：2023/4/1916第十六頁(yè)，共132頁(yè)。式（6-10）表明，對(duì)于任給x∈X，都有唯一確定的特征函數(shù)μA(x)∈{0,1}與之對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為映射。我們可以將A表示為

μA(x)：X→{0,1}

上式表明μA(x)是從X到{0,1}的一個(gè)映射，它唯一確定了集合A，

A＝{x|μA(x)=1}

特征函數(shù)μA(x)表征了元素x對(duì)集合A的隸屬程度.

當(dāng)μA(x)=1時(shí)，表示x完全屬于A； 當(dāng)μA(x)=0時(shí)，表示x完全不屬于A。

2023/4/1917第十七頁(yè)，共132頁(yè)。6.2.2

模糊集合模糊集合的概念 定義6.1模糊集合：設(shè)X是論域，X上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)用μA(x)來表示，即

μA(x)：X→[0,1]

對(duì)于x∈X，μA(x)稱為x對(duì)A的隸屬度，而μA(x)稱為隸屬函數(shù)。模糊集合A：抽象的東西，函數(shù)μA(x)：具體的，因此，我們只能通過μA(x)來認(rèn)識(shí)和掌握A。2023/4/1918第十八頁(yè)，共132頁(yè)。

例6-1 以年齡為論域，取X＝[0,200]。Zadeh給出“年輕”的模糊集Y，其隸屬函數(shù)是

1, 0≤x≤25 Y(x)= , 25<x≤100 Y的圖像用隸屬函數(shù)μY(x)表示，如圖所示。

.2023/4/1919第十九頁(yè)，共132頁(yè)。2。模糊集合的表達(dá)方式有以下幾種：向量表示法 當(dāng)論域X為有限點(diǎn)集，即X＝{x1,x2,…,xn}時(shí)，X上的模糊集可以用向量A來表示，即

A＝(μ1,μ2,…μn)

這里μi＝A(xi),i=1,2,…,n。一般地，若一向量的每個(gè)坐標(biāo)都在[0,1]之中，則稱其為模糊向量。在向量表示法中，隸屬度為零的項(xiàng)不能省略。2023/4/1920第二十頁(yè)，共132頁(yè)。Zadeh表示法 給定有限論域X＝{x1,x2,…,xn}，A為X上的模糊集合，其中并不表示“分?jǐn)?shù)”，而是論域中地元素xi與其隸屬度A(xi)之間地對(duì)應(yīng)關(guān)系?！埃碧?hào)也不表示求和，而是表示將各項(xiàng)匯總，表示集合概念。若μi＝0，可以略去該項(xiàng)。

2023/4/1921第二十一頁(yè)，共132頁(yè)。序偶表示法 將論域中的元素xi與隸屬度A(xi)構(gòu)成序偶來表示A，則

A={(x1,A(x1)),(x2,A(x2)),…,(xn,A(xn))}此種方法隸屬度為零的項(xiàng)可不列入2023/4/1922第二十二頁(yè)，共132頁(yè)。例6-2 設(shè)X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},以A表示“小的數(shù)”，分別寫出上述三種模糊集合的表示方式。Zadeh表示法：

為了簡(jiǎn)略起見，常常把A(xi)=0的部分省去，即向量表示法：A=(1,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,,0,0,0)序偶表示法：A={(1,1)(2,0.9)(3,0.7)(4,0.5)(5,0.3)(6,0.1)} 2023/4/1923第二十三頁(yè)，共132頁(yè)。例6-2 設(shè)X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},以A表示“小的數(shù)”，分別寫出上述三種模糊集合的表示方式。Zadeh表示法：

為了簡(jiǎn)略起見，常常把A(xi)=0的部分省去，即向量表示法：A=(1,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,,0,0,0)序偶表示法：A={(1,1)(2,0.9)(3,0.7)(4,0.5)(5,0.3)(6,0.1)} 2023/4/1924第二十四頁(yè)，共132頁(yè)。隸屬函數(shù)普通集合用特征函數(shù)來刻劃，模糊集合用隸屬函數(shù)作定量描述。特征函數(shù)的值域?yàn)榧蟵0,1}，隸屬函數(shù)的置于為區(qū)間[0,1]。隸屬函數(shù)是特征函數(shù)的擴(kuò)展和一般化。圖6-4表示了兩種函數(shù)的關(guān)系。2023/4/1925第二十五頁(yè)，共132頁(yè)。2023/4/1926第二十六頁(yè)，共132頁(yè)。隸屬度函數(shù)MATLAB表示一、幾種典型的隸屬函數(shù)在Matlab中已經(jīng)開發(fā)出了11種隸屬函數(shù)，即雙S形隸屬函數(shù)（dsigmf）、聯(lián)合高斯型隸屬函數(shù)（gauss2mf）、高斯型隸屬函數(shù)（gaussmf）、廣義鐘形隸屬函數(shù)（gbellmf）、II型隸屬函數(shù)(pimf)、雙S形乘積隸屬函數(shù)（psigmf）、S狀隸屬函數(shù)（smf）、S形隸屬函數(shù)（sigmf）、梯形隸屬函數(shù)（trapmf）、三角形隸屬函數(shù)（trimf）、Z形隸屬函數(shù)（zmf）。2023/4/1927第二十七頁(yè)，共132頁(yè)。

在模糊控制中應(yīng)用較多的隸屬函數(shù)有以下6種隸屬函數(shù)。（1）高斯型隸屬函數(shù)高斯型隸屬函數(shù)由兩個(gè)參數(shù)和c確定：其中參數(shù)b通常為正，參數(shù)c用于確定曲線的中心。Matlab表示為

2023/4/1928第二十八頁(yè)，共132頁(yè)。(2)廣義鐘型隸屬函數(shù)廣義鐘型隸屬函數(shù)由三個(gè)參數(shù)a，b，c確定：其中參數(shù)b通常為正，參數(shù)c用于確定曲線的中心。Matlab表示為2023/4/1929第二十九頁(yè)，共132頁(yè)。(3)S形隸屬函數(shù)

S形函數(shù)sigmf(x,[ac])由參數(shù)a和c決定：其中參數(shù)a的正負(fù)符號(hào)決定了S形隸屬函數(shù)的開口朝左或朝右，用來表示“正大”或“負(fù)大”的概念。Matlab表示為2023/4/1930第三十頁(yè)，共132頁(yè)。（4）梯形隸屬函數(shù)梯形曲線可由四個(gè)參數(shù)a，b，c，d確定：其中參數(shù)a和d確定梯形的“腳”，而參數(shù)b和c確定梯形的“肩膀”。Matlab表示為：2023/4/1931第三十一頁(yè)，共132頁(yè)。(5)三角形隸屬函數(shù)三角形曲線的形狀由三個(gè)參數(shù)a，b，c確定：其中參數(shù)a和c確定三角形的“腳”，而參數(shù)b確定三角形的“峰”。Matlab表示為2023/4/1932第三十二頁(yè)，共132頁(yè)。（6）Z形隸屬函數(shù)這是基于樣條函數(shù)的曲線，因其呈現(xiàn)Z形狀而得名。參數(shù)a和b確定了曲線的形狀。Matlab表示為有關(guān)隸屬函數(shù)的MATLAB設(shè)計(jì)，見著作：樓順天，胡昌華，張偉，基于MATLAB的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)-模糊系統(tǒng)，西安：西安電子科技大學(xué)出版社，20012023/4/1933第三十三頁(yè)，共132頁(yè)。例6.6隸屬函數(shù)的設(shè)計(jì)：針對(duì)上述描述的6種隸屬函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。M為隸屬函數(shù)的類型，其中M=1為高斯型隸屬函數(shù)，M=2為廣義鐘形隸屬函數(shù)，M=3為S形隸屬函數(shù)，M=4為梯形隸屬函數(shù)，M=5為三角形隸屬函數(shù)，M=6為Z形隸屬函數(shù)。Chap3_2.m。2023/4/1934第三十四頁(yè)，共132頁(yè)。模糊集合的運(yùn)算定義6.6 設(shè)A、B為X中的兩個(gè)模糊集，隸屬函數(shù)分別為μA和μB，則模糊集A和B的并集A∪B，交集A∩B和補(bǔ)集AC的運(yùn)算可通過它們的隸屬函數(shù)來定義。并集 μA∪B(x)=μA(x)∨μB(x)

其中“∨”表示二者比較后取大值。交集 μA∩B(x)=μA(x)∧μB(x)

其中“∧”表示二者比較后取小值。補(bǔ)集 μAc（x）=1-μA(x)

2023/4/1935第三十五頁(yè)，共132頁(yè)。對(duì)與模糊集合的并、交和補(bǔ)的運(yùn)算，可以用圖6-6加以說明。2023/4/1936第三十六頁(yè)，共132頁(yè)。例6-3 設(shè)論域X={x1,x2,…,xn}則：

2023/4/1937第三十七頁(yè)，共132頁(yè)。定義6.7 設(shè)A、B為X中的兩個(gè)模糊集，隸屬函數(shù)分別為μA和μB，則模糊集A和B的代數(shù)積(A·B)、代數(shù)和(A+B)、有界和(A⊕B)、有界積(A⊙B)可通過它們的隸屬函數(shù)定義如下：代數(shù)積A·B

μA·B(x)=μA(x)×μB(x)代數(shù)和A+B

μA＋B(x)=μA(x)+μB(x)-μA(x)·

μB(x)有界和A⊕B

μA⊕B(x)=(μA(x)+μB(x))∧1 =min(A(x)+B(x),1)有界差A(yù)?B

μA?B(x)=(μA(x)-μB(x))∨0 2023/4/1938第三十八頁(yè)，共132頁(yè)。有界積A⊙B

μA⊙B(x)=(μA(x)+μB(x)-1)∨0 =max(0,A(x)+B(x)-1)式中max為取大值運(yùn)算。上述運(yùn)算可以用圖6-7來說明。不難看出，代數(shù)積與代數(shù)和是一對(duì)運(yùn)算形式，有界和與有界積是一對(duì)運(yùn)算形式，這兩對(duì)模糊集運(yùn)算各有長(zhǎng)短。在模糊信息的表達(dá)和處理重究竟選用哪一對(duì)么根據(jù)實(shí)際的要求，通過實(shí)踐的檢驗(yàn)加以確定。2023/4/1939第三十九頁(yè)，共132頁(yè)。2023/4/1940第四十頁(yè)，共132頁(yè)。6.2.3 模糊集合與普通集合 的聯(lián)系當(dāng)我們?cè)谔幚韺?shí)際問題的某個(gè)時(shí)刻，要對(duì)模糊概念有個(gè)明確的認(rèn)識(shí)和判決時(shí)，要判斷某個(gè)元素對(duì)模糊集的明確歸屬，這就要求模糊集與普通集合可以依據(jù)某種法則相互轉(zhuǎn)換。模糊集合的截集，分解定理描述了模糊集合與普通集合之間的關(guān)系。λ截集…分解定理…2023/4/1941第四十一頁(yè)，共132頁(yè)。λ截集…

模糊集合A本身是一個(gè)沒有確定邊界的集合,但是如果約定，凡x對(duì)A的隸屬度到達(dá)或超過某個(gè)λ水平者才算是A的成員，那么模糊集合A就變成了普通集合Aλ。 定義6.8 設(shè)A∈F(X)，任取λ∈[0,1],記 Aλ={x∈X：A(x)≥λ}

稱Aλ為A的λ截集，其中λ稱為閾值或置信水平。又記

Aλ＋

={x∈X：A(x)>λ}

稱Aλ＋

為A的λ強(qiáng)截集。2023/4/1942第四十二頁(yè)，共132頁(yè)。圖6-8給出了λ1，λ2(λ1>λ2)對(duì)應(yīng)的λ截集Aλ1，Aλ2(Aλ1?Aλ2)圖形。圖6-8(b)，(c)為Aλ1，Aλ2

的特征函數(shù)描述。2023/4/1943第四十三頁(yè)，共132頁(yè)。當(dāng)λ=1時(shí)，得到的最小水平截集A1稱為模糊集A的核，當(dāng)λ=0＋時(shí)，得到最大的水平截集稱為A的支集，記為

SupA={x|x∈X,μA(x)>0}

若A的核A1非空，則稱A為正規(guī)模糊集，否則稱為非正規(guī)模糊集。例6-4 設(shè)A=(0.5,0.8,0.7,1,0.2)是有限論域X上的一個(gè)模糊集，于是

2023/4/1944第四十四頁(yè)，共132頁(yè)。例6-4設(shè)A=(0.5,0.8,0.7,1,0.2)是有限論域X上的一個(gè)模糊集，于是2023/4/1945第四十五頁(yè)，共132頁(yè)。由向量表示，即以特征函數(shù)方式來表示：應(yīng)該注意到，Aλ是不模糊的。2023/4/1946第四十六頁(yè)，共132頁(yè)。分解定理

分解定理說明，任何一個(gè)模糊集可由一類普通集合套來表示。 定義6.9 設(shè)A是普通集合，λ∈[0,1]，做數(shù)量積運(yùn)算，得到一個(gè)特殊的模糊集λA,其隸屬函數(shù)為分解定理：設(shè)A為論域X上的模糊集合，Aλ是A的截集，則有2023/4/1947第四十七頁(yè)，共132頁(yè)。例6-5 設(shè)2023/4/1948第四十八頁(yè)，共132頁(yè)。2023/4/1949第四十九頁(yè)，共132頁(yè)。將模糊集合表示為一系列截集（確定性的）之和（利用熟悉知識(shí)理解相對(duì)新的知識(shí)）2023/4/1950第五十頁(yè)，共132頁(yè)。6.3 模糊關(guān)系與模糊關(guān)系合成集合論中的“關(guān)系”抽象地刻劃了事物的“精確性”的聯(lián)系，而模糊關(guān)系則從更深刻的意義上表現(xiàn)了事物間更廣泛的聯(lián)系。模糊關(guān)系的抽象更接近與人的思維。模糊關(guān)系理論是許多應(yīng)用原理和方法的基礎(chǔ)。模糊關(guān)系的基本概念，模糊矩陣的表示方法及其運(yùn)算，模糊關(guān)系的合成。2023/4/1951第五十一頁(yè)，共132頁(yè)。6.3.1 模糊關(guān)系的基本概念關(guān)系的基本知識(shí) 定義6.10 集合的笛卡兒積：給定集合X和Y，由全體(x,y)(x∈X,y∈Y)組成的集合，叫做X與Y的笛卡兒積(或稱直積)，記做X×Y，

X×Y={(x,y)|(x∈X,y∈Y)}

例6-6 設(shè)X={0,1}，Y={a,b,c}，則

X×Y={(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c)} Y×X={(a,0),(a,1),(b,0),(b,1),(c,0),(c,1)}

一般地， X×Y≠Y×X2023/4/1952第五十二頁(yè)，共132頁(yè)。定義6.11 關(guān)系：存在集合X和Y，它們地笛卡兒積X×Y的一個(gè)子集R叫做X到Y(jié)的二元關(guān)系，簡(jiǎn)稱關(guān)系: R?X×Y

序偶(x,y)是笛卡兒積X×Y的元素，它是無約束的組對(duì)，若給組對(duì)以約束，便體現(xiàn)了一種特定的關(guān)系。受到約束的序偶則形成了X×Y的一個(gè)子集。 若X=Y，則稱R是X中的關(guān)系。如果(x,y)∈R，則稱X和Y有關(guān)系R，記作 xRy;2023/4/1953第五十三頁(yè)，共132頁(yè)。如果(x,y)?R，則X和Y沒有關(guān)系，記作 也可用特征函數(shù)表示為當(dāng)X和Y都是有限集合時(shí)，關(guān)系可以用矩陣來表示，稱關(guān)系矩陣。設(shè)X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn}，則R可以表示為 2023/4/1954第五十四頁(yè)，共132頁(yè)。

例6-7 設(shè)X=Y={1,2,3,4,5,6}，X×Y中的X>Y的關(guān)系可用關(guān)系矩陣R表示，由例中可見，矩陣中的元素或等于1或等于0，將這種矩陣稱為布爾矩陣。2023/4/1955第五十五頁(yè)，共132頁(yè)。模糊關(guān)系的概念模糊關(guān)系是指笛卡兒積上的模糊集合，表示多個(gè)集合的元素間所具有的某種關(guān)系的程度.定義6.14 所謂X，Y兩集合的笛卡兒積

X×Y={(x,y)|(x∈X,y∈Y)}

中的一個(gè)模糊關(guān)系R，是指以X×Y為論域的一個(gè)模糊子集，序偶(x,y)的隸屬度為。 在實(shí)軸的閉區(qū)間[0,1]取值，它的大小反映了(x,y)具有關(guān)系R的程度。2023/4/1956第五十六頁(yè)，共132頁(yè)。設(shè)X是m個(gè)元素構(gòu)成的有限論域，Y是n個(gè)元素的有限論域。對(duì)于X到Y(jié)的一個(gè)模糊關(guān)系R，可以用一個(gè)m×n階矩陣表示為或2023/4/1957第五十七頁(yè)，共132頁(yè)。我們稱一個(gè)矩陣是模糊矩陣，如果它的每個(gè)元素屬于[0,1]。令Fm×n表示m×n階模糊矩陣的全體。在有限論域之間，普通集合與布爾矩陣建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，模糊關(guān)系與模糊矩陣建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，通常都把模糊矩陣和模糊關(guān)系看作是同一回事，均以R表示。

2023/4/1958第五十八頁(yè)，共132頁(yè)。模糊關(guān)系的運(yùn)算由于模糊矩陣本身是表示一個(gè)模糊關(guān)系的子集R，因此根據(jù)模糊集的并、交、補(bǔ)運(yùn)算的定義，模糊矩陣也可看作相應(yīng)的運(yùn)算.設(shè)模糊矩陣R和Q是X×Y上的模糊關(guān)系，

R=(rij)m×n，Q=(qij)m×n(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)。模糊矩陣的并、交、補(bǔ)運(yùn)算為模糊矩陣并模糊矩陣交模糊矩陣補(bǔ)2023/4/1959第五十九頁(yè)，共132頁(yè)。例6-8設(shè)

則2023/4/1960第六十頁(yè)，共132頁(yè)。矩陣的截陣2023/4/1961第六十一頁(yè)，共132頁(yè)。例6-9 設(shè)X={x1,x2,

x3}，Y={y1,y2,y3,

y4}，X×Y中的R為則或用截矩陣表示為2023/4/1962第六十二頁(yè)，共132頁(yè)。小結(jié)模糊集合定義模糊關(guān)系運(yùn)算2023/4/1963第六十三頁(yè)，共132頁(yè)。復(fù)習(xí)與講解模糊集合定義模糊關(guān)系運(yùn)算講解1）模糊關(guān)系合成2）模糊推理2023/4/1964第六十四頁(yè)，共132頁(yè)。6.3.2 模糊關(guān)系合成模糊關(guān)系合成是指，由第一個(gè)集合和第二個(gè)集合之間的模糊關(guān)系及第二個(gè)集合和第三個(gè)集合之間的模糊關(guān)系得到第一個(gè)集合和第三個(gè)集合之間的模糊關(guān)系的一種運(yùn)算。模糊關(guān)系的合成，因使用的運(yùn)算不同而有各種定義。下面給出常用的max-min合成法。2023/4/1965第六十五頁(yè)，共132頁(yè)。定義6.15 設(shè)R是X×Y中的模糊關(guān)系，S是Y×Z中的模糊關(guān)系，所謂R和S的合成是指下列定義在X×Z上的模糊關(guān)系Q，記做

Q=R⊙S或這里∧代表取小(min)，∨代表取大(max)，故式(6-33)定義的合成稱為max-min合成。當(dāng)R是X中的模糊關(guān)系時(shí)，記R=R°R,Rn=Rn-1°

R。2023/4/1966第六十六頁(yè)，共132頁(yè)。定義6.16

設(shè)R=[rij]m*l,S=[sjk]l*n，定義

Q=R°S=[qik]m*n其中，稱Q為模糊矩陣R和S的合成，

qik=∨(rij∧sjk)；i=1,2,…,m；

j=1,2,…,l; k=1,2,…,n;2023/4/1967第六十七頁(yè)，共132頁(yè)。例6-10 設(shè)則2023/4/1968第六十八頁(yè)，共132頁(yè)。如上例所示，R°S有意義，而S°R沒有意義。2023/4/1969第六十九頁(yè)，共132頁(yè)。6.3.3 模糊關(guān)系的性質(zhì)自反性 定義6.17 設(shè)R是X中的模糊關(guān)系，若對(duì) ，都有，則稱R為具有 自反性的模糊關(guān)系。對(duì)應(yīng)于自反關(guān)系的模糊 矩陣的對(duì)角元素為1。2023/4/1970第七十頁(yè)，共132頁(yè)。對(duì)稱性定義6-18 設(shè)R∈F(X×Y)，RT為R的轉(zhuǎn)置，這里RT∈F(X×Y)，且滿足

關(guān)系的轉(zhuǎn)置有以下性質(zhì)：

2023/4/1971第七十一頁(yè)，共132頁(yè)。

定義6.19 設(shè)R∈F(X×X)，若RT＝R，則稱為對(duì)稱模糊關(guān)系。在有限論域中時(shí)，稱為對(duì)稱模糊矩陣。 例6-11 設(shè)

R是自反的對(duì)稱模糊矩陣，而Q具有自反性但不具有對(duì)稱性。(書上錯(cuò)誤）2023/4/1972第七十二頁(yè)，共132頁(yè)。傳遞性 定義6-20 設(shè)R∈F(X×X)，即R是X中的模糊關(guān)系。若R滿足

R°R?R

則稱R為傳遞的模糊關(guān)系。 可見傳遞性關(guān)系包含著它與它自己的關(guān)系合成。對(duì)于傳遞性關(guān)系可以等價(jià)的表示為

2023/4/1973第七十三頁(yè)，共132頁(yè)。例6-12 設(shè)可見R是傳遞的。2023/4/1974第七十四頁(yè)，共132頁(yè)。

定義6.21 設(shè)R是X中的模糊關(guān)系，若R具有自反性和對(duì)稱性，則R稱為模糊相似關(guān)系。若R同時(shí)具有自反性、對(duì)稱性和傳遞性，則稱R是模糊等價(jià)關(guān)系。 利用模糊等價(jià)關(guān)系對(duì)事物進(jìn)行分類，叫做模糊聚類分析。這是一種新的數(shù)量分類方法，是對(duì)人腦模糊聚類的一種數(shù)學(xué)描寫。2023/4/1975第七十五頁(yè)，共132頁(yè)。6.3.4 模糊變換 模糊變換：是指給定兩個(gè)集合之間的一個(gè)模糊關(guān)系，據(jù)此將一個(gè)集合上的模糊子集經(jīng)運(yùn)算得到另一個(gè)集合上的模糊子集的過程。在控制工程中，通過模糊變換可以從輸入的模糊量求出所需的輸出模糊量。模糊變換擴(kuò)張?jiān)?023/4/1976第七十六頁(yè)，共132頁(yè)。模糊變換 在線性代數(shù)中，給出矩陣A=(aij)和列向量X，則可得

Y=AX (6-37)

其中Y是列向量，亦即Y中的元素可按下式計(jì)算：

2023/4/1977第七十七頁(yè)，共132頁(yè)。

在模糊情形，設(shè)A和B分別是模糊集X和Y中的模糊子集，給定一個(gè)模糊矩陣

R∈F(X×Y)，R=[rij]，0≤rij≤1 A=(x1,x1,…,

xn) 0≤rij≤1

如果把線性變化中的乘法換成“∧”，加法換成“∨”，并把A寫在R之前，即

A°R=B (6-38)

其結(jié)果B實(shí)際上是模糊子集X和模糊關(guān)系矩陣R的合成。

A°R=B稱為模糊變換，它把X中的模糊集變?yōu)閅上的模糊集，實(shí)際的是論域的轉(zhuǎn)換。2023/4/1978第七十八頁(yè)，共132頁(yè)。例如：模糊子集B可由合成運(yùn)算得到，即

2023/4/1979第七十九頁(yè)，共132頁(yè)。模糊變換具有廣泛的應(yīng)用背景，可用圖6-9來表示?？刂葡到y(tǒng)：若R表示的是某一種控制系統(tǒng)輸入與輸出之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，由輸入A就可以得到對(duì)應(yīng)的輸出B=A°R，——E，CE—>U近似推理：若R表示的是某種邏輯因果關(guān)系，則模糊變換就是一種模糊推理?！鞖饩C合評(píng)判：若R表示的是對(duì)一件商品各因素綜合評(píng)判的總的關(guān)系矩陣，則任意輸入一組對(duì)各因素的權(quán)重分配的A，就可得到的結(jié)果B=A°R。2023/4/1980第八十頁(yè)，共132頁(yè)。擴(kuò)張?jiān)矶x：模糊集合A經(jīng)過f映射成f(A),而A和f(A)的相應(yīng)元素的隸屬度保持不變，也即使模糊集合A的元素隸屬度可以通過映射，無保留地傳遞到模糊集合f(A)的相應(yīng)元素中。對(duì)于普通集合，如果存在映射

f：X→Y若集合A?X，則稱f(A)={f(x)|x∈A}為A在f下的象。若存在集合B?Y，則稱f(B)={x|f(x)∈R}為B在f下的原象。2023/4/1981第八十一頁(yè)，共132頁(yè)。定義6.22 設(shè)有映射

f：X→Y，且A是X中的模糊集合，記A在f下的象為f(A)，它是Y中的模糊集合，且具有如下隸屬函數(shù)：

(6-39)2023/4/1982第八十二頁(yè)，共132頁(yè)。例如，若 ，則由映射f作用之后有f(A)，也即A的象，有當(dāng)f是一一映射時(shí)，式(6-39)可簡(jiǎn)化為2023/4/1983第八十三頁(yè)，共132頁(yè)。例6-13 設(shè)X={x1,x2,x3,x4,x5,x6}，

Y={y1,y2,y3,y4}。映射

f：X→Y，它具有

f(x1)=y3

f(x2)=y2

f(x3)=y2 f(x4)=y1

f(x5)=y2 f(x6)=y3

f-1

(y1)={x4}

f-1

(y2)={x2,x3,x5}

f-1

(y3)={x1,x6}

f-1

(y4)=Φ若

2023/4/1984第八十四頁(yè)，共132頁(yè)。則2023/4/1985第八十五頁(yè)，共132頁(yè)。

例6-14 設(shè)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，

f是立方運(yùn)算。設(shè)A是“小的”模糊概念，它是X中的模糊集合，定義為

按式(6-40)，有

2023/4/1986第八十六頁(yè)，共132頁(yè)。why

模糊控制器設(shè)計(jì)何工作的需要。

圖模糊控制器的組成框圖2023/4/1987第八十七頁(yè)，共132頁(yè)。6.4 模糊推理

6.4.1模糊語(yǔ)言與語(yǔ)言變量自然語(yǔ)言的模糊性人的自然語(yǔ)言的主要特征就是它的模糊性。帶有模糊性的語(yǔ)言稱之為模糊語(yǔ)言。自然語(yǔ)言的模糊性在語(yǔ)音、語(yǔ)義和語(yǔ)法等方面都有表現(xiàn)。2023/4/1988第八十八頁(yè)，共132頁(yè)。語(yǔ)言變量和語(yǔ)言值語(yǔ)言變量指以自然或人工語(yǔ)言的詞、詞組或句子作為值的變量。 例如在模糊控制中的“偏差”、“偏差變化率”等，它是一種定量地、形式地描述自然語(yǔ)言地一種模糊變量。語(yǔ)言變量的值稱為語(yǔ)言值，一般為自然或人工語(yǔ)言的詞、詞組或句子。 例如“極大”、“很大”、“大”、“較大”、“偏大”、“中”、“偏小”、“較小”、“小”、“很小”、“極小”等作為語(yǔ)言變量“偏差”、“變化率”的值。2023/4/1989第八十九頁(yè)，共132頁(yè)。語(yǔ)言變量對(duì)應(yīng)的以數(shù)為值的數(shù)值變量叫做基礎(chǔ)變量。 例如，語(yǔ)言變量“年紀(jì)”對(duì)應(yīng)的以0,1,2,…100作為值的數(shù)值變量為語(yǔ)言變量“年紀(jì)”的基礎(chǔ)變量。2023/4/1990第九十頁(yè)，共132頁(yè)。日常生活中的例子－－－人的年齡。 令a代表人的年齡，已知甲18歲，乙56歲，丙75歲，是把a(bǔ)當(dāng)作一個(gè)取具體數(shù)字為值的變量，記作A，它以“很年輕”、“有點(diǎn)老”、和“相當(dāng)老”這類詞為值。 若以T(A)記A的所有語(yǔ)言值構(gòu)成的集合，則

T(A)={…，較年輕，年輕，很年輕，…， 不太年輕，不年輕，很不年輕，…， 有點(diǎn)老，相當(dāng)老，…，不很老，不老，…，不年輕也不老，…}2023/4/1991第九十一頁(yè)，共132頁(yè)。圖6-10是以年齡為語(yǔ)言變量的五元體結(jié)構(gòu)圖2023/4/1992第九十二頁(yè)，共132頁(yè)。6.4.2模糊命題與模糊條件語(yǔ)句模糊命題在數(shù)理邏輯中，命題是一個(gè)意義明確，可以確定真假的陳述句。一切沒有判斷內(nèi)容、無法分辨真假的句子都不能作為命題。然而，有些陳述句并非都是可以有確定性判斷的，例如他很年輕?！澳贻p”是一個(gè)模糊概念。命題的取值已不是單純的“真”和“假”，而是真假的程度如何。因此，對(duì)于含有模糊概念的對(duì)象，只能采用基于模糊集合論的模糊邏輯來描述。2023/4/1993第九十三頁(yè)，共132頁(yè)。模糊命題是指含有模糊概念，具有某種真實(shí)程度的陳述句。模糊命題的標(biāo)識(shí)符通常用大寫字母P,Q,R…表示，例如：

P：該熔煉爐是個(gè)高溫體；

Q：100比1大得多。模糊命題也有性質(zhì)命題和關(guān)系命題之分，上例中前者是模糊性質(zhì)命題，后者是模糊關(guān)系命題。 表征模糊命題真是程度的量叫模糊命題的真值，其取值范圍為區(qū)間[0,1]。2023/4/1994第九十四頁(yè)，共132頁(yè)。模糊命題的一般形式為

P：“h是A”(或hisA)

其中h是個(gè)體變?cè)?，它屬于論域H，即h∈H；A是某個(gè)模糊概念所對(duì)應(yīng)的模糊集合。模糊命題的真值，由該變?cè)獙?duì)模糊集合的隸屬程度表示，定義為

P=μA(h)2023/4/1995第九十五頁(yè)，共132頁(yè)。在模糊命題中，“isA”部分是表示一個(gè)個(gè)體模糊性質(zhì)或多個(gè)個(gè)體之間的模糊關(guān)系的部分，叫模糊謂詞。模糊命題之間有析取、合取、取非運(yùn)算，定義如下： 設(shè)有模糊命題P：pisA，Q：qisB，則析取P?Q，其真值為合取P?Q，其真值為取非Ac，其真值為模糊命題真值之間的運(yùn)算，也就是其相應(yīng)隸屬函數(shù)之間的運(yùn)算。2023/4/1996第九十六頁(yè)，共132頁(yè)。模糊條件語(yǔ)句模糊控制是建立在一系列模糊控制規(guī)則基礎(chǔ)上的。這些規(guī)則是人對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制時(shí)的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。 例:控制一個(gè)燃燒爐的進(jìn)氣閥門開關(guān)的大小，可以根據(jù)燃燒爐內(nèi)的溫度和前室壓力的大小進(jìn)行判斷?？偨Y(jié)成語(yǔ)言規(guī)則有，“若溫度很高，或壓力超過正常，則閥門小開”，“若溫度高，且壓力正常，則閥門半開”……。其中“高”、“很高”、“正?！?、“超過正?！薄ⅰ靶￠_”、“半開”等詞均為模糊詞，這些帶模糊詞的條件語(yǔ)句就成了模糊條件語(yǔ)句。2023/4/1997第九十七頁(yè)，共132頁(yè)。在模糊控制中，控制規(guī)則常用下面幾種條件語(yǔ)言的形式表示。簡(jiǎn)單模糊條件語(yǔ)句；多重簡(jiǎn)單模糊條件語(yǔ)句；多維模糊條件語(yǔ)句；多重多維模糊條件語(yǔ)句；2023/4/1998第九十八頁(yè)，共132頁(yè)。簡(jiǎn)單模糊條件語(yǔ)句句型為“若x是a，則y是b”的一種條件語(yǔ)句.

其中x，y均為語(yǔ)言變量；

a，b分別為語(yǔ)言變量的值。 我們用模糊命題，A表示“x是a”，B表示“y是b”，A和B為不同論域上的模糊集合。 則簡(jiǎn)單模糊條件語(yǔ)句可表示為

“若 A 則 B”

或 “IF A THEN B”語(yǔ)句的“若……”部分稱為前件(或條件部分)，“則……”

部分稱為后件(或結(jié)論部分)。具有“x是a”句型的語(yǔ)句稱為模糊判斷句，其中x為語(yǔ)言變量，a為該語(yǔ)言變量的一個(gè)值。2023/4/1999第九十九頁(yè)，共132頁(yè)。在普通的二值邏輯中，這是“若……則”

(IF……THEN)的條件命題，集合論中用“→”表示。如A→B，通常稱A蘊(yùn)涵B，它的真值表如下：ABA→B111100011001

從真值表中可以看出，在二值邏輯中,“IF……THEN”這種蘊(yùn)涵邏輯有邏輯公式：(6-41)2023/4/19100第一百頁(yè)，共132頁(yè)。若有命題A(x)，x∈X,B(y),y∈Y,根據(jù)式(6-41)，則在X×Y上的二元關(guān)系A(chǔ)→C可用特征函數(shù)表示如下： 上式推廣到模糊情形，即A→B是X×Y上的一個(gè)二元模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為(6-42)(6-43)2023/4/19101第一百零一頁(yè)，共132頁(yè)。例6-15 設(shè)若A則B，R=A→B是“若x小則y大”的模糊關(guān)系，求解R。由下式：2023/4/19102第一百零二頁(yè)，共132頁(yè)?？伤愠瞿：P(guān)系R：R21＝（1－0.5)∨（0.5∧0.0)=0.52023/4/19103第一百零三頁(yè)，共132頁(yè)。多維模糊條件語(yǔ)句

(importantinFuzzyControl)

句型為“若x1是a1且x2是a2，…，且xn是an,則y是b”的一種條件語(yǔ)句，其中“x1是a1”,…，“

xn是an”，“

y是b”均為模糊判斷句。在模糊控制中，應(yīng)用最多的是一類二維模糊語(yǔ)句，一般用A表示偏差，B表示偏差變化率，C表示控制量，語(yǔ)句形式為

”若A且B則C”

或“IFAandBTHENC”2023/4/19104第一百零四頁(yè)，共132頁(yè)。若A∈F(X)，B∈F(Y)，C∈F(Z)，采用Mamdani定義，則有三元模糊關(guān)系R：

R＝(A×B)→C即R＝(A×B)×C其隸屬函數(shù)為：下面我們通過一個(gè)例子來說明三元模糊關(guān)系的運(yùn)算過程。2023/4/19105第一百零五頁(yè)，共132頁(yè)。例6-16已知求“IFAandBTHENC”的模糊關(guān)系R。求解：首先求R1＝A×B；把R1排成向量R1T；計(jì)算R＝R1T×C；

2023/4/19106第一百零六頁(yè)，共132頁(yè)。首先求R1＝A×B，即2023/4/19107第一百零七頁(yè)，共132頁(yè)。把二元關(guān)系R1排成列向量形式R1T。2023/4/19108第一百零八頁(yè)，共132頁(yè)。三元模糊關(guān)系R可以計(jì)算如下：由2023/4/19109第一百零九頁(yè)，共132頁(yè)。多重多維模糊條件語(yǔ)句自己看2023/4/19110第一百一十頁(yè)，共132頁(yè)。6.4.3模糊推理模糊推理的基本概念推理是根據(jù)一定的原則，從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷引伸出一個(gè)新判斷的思維過程。常用三段論（演繹推理）大前提→小前提→結(jié)論2023/4/19111第一百一十一頁(yè)，共132頁(yè)。但是“三段論”的嚴(yán)謹(jǐn)又局限了它的使用范圍，在大前提A→B之下，若小前提不是A，而是A的偏離A*，則結(jié)論如何呢？“三段論”不適用。要解決模糊性問題的推理，需要用模糊推理的方法。模糊推理又稱模糊邏輯推理，是指已知模糊命題(包括大前提和小前提),推出新的模糊命題作為結(jié)論的過程。2023/4/19112第一百一十二頁(yè)，共132頁(yè)?？梢?，模糊推理是一種近似推理，近似推理問題的提法有兩種形式：已知模糊蘊(yùn)涵關(guān)系“若A則B”，A∈F(X),B∈F(Y)，又知一個(gè)A*，A*∈F(X),問能推出B*？已知模糊蘊(yùn)涵關(guān)系“若A則B”，A∈F(X),B∈F(Y)，又知一個(gè)B*，B*∈F(X),問能推出A*？L.A.Zadeh在1973年對(duì)于模糊命題“若A則B”，利用模糊關(guān)系的合成運(yùn)算提出了一種近似推理的方法，稱為“關(guān)系合成推理法”

(CompositionRuleofInference,CRI)2023/4/19113第一百一十三頁(yè)，共132頁(yè)。關(guān)系合成推理法(CRI)關(guān)系合成推理法，簡(jiǎn)稱CRI法，是實(shí)際控制中應(yīng)用較廣的一種模糊推理算法。這種方法的原理可表述為：用一個(gè)模糊集合表述大前提中全部模糊條件語(yǔ)句前件的基礎(chǔ)變量和后件的基礎(chǔ)變量間的關(guān)系；用一個(gè)模糊集合表述小前提；進(jìn)而用基于模糊關(guān)系的模糊變換運(yùn)算給出推理結(jié)果.2023/4/19114第一百一十