1.4三元一次方程組

三元一次方

年級(jí)七年級(jí)學(xué)科數(shù)學(xué)主題主備教師

程

課型新授課課時(shí)1時(shí)間

1．了解三元一次方程組的概念；

教學(xué)目標(biāo)

2．掌握用代入法和加減法解三元一次方程組．

教學(xué)

掌握用代入法和加減法解三元一次方程組．

重、難點(diǎn)

導(dǎo)學(xué)方法啟發(fā)式教學(xué)、小組合作學(xué)習(xí)

導(dǎo)學(xué)步驟導(dǎo)學(xué)行為（師生活動(dòng)）設(shè)計(jì)意圖

回顧舊設(shè)表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了三次，如圖所

從學(xué)生已有的

知，示，那么這三種物體的質(zhì)量分別為多少克？

知識(shí)入手，引入

引出新課

課題

合作探究引出研究本節(jié)

探究點(diǎn)一：三元一次方程組的解法課要學(xué)習(xí)知識(shí)

【類型一】一般方程組的求解的必要性，清楚

5x＋3y＝25①，新知識(shí)的引出

解方程組：2x＋7y－3z＝19②，是由于實(shí)際生

3x＋2y－z＝18③.

新知探索活的需要

解析：先用加減消元法把方程②、③中z消去，得到一個(gè)

關(guān)于x，y的二元一次方程，然后和方程①聯(lián)立得方程組，求

學(xué)生積極參與

出x、y，再將x、y的值代入③求出z的值．

學(xué)習(xí)活動(dòng)，為學(xué)

解：③×3－②得：7x－y＝35，變形后，代入①得：5x

生動(dòng)腦思考提

＋3(7x－35)＝25，解得x＝5；把x＝5代入①得：25＋3y＝

供機(jī)會(huì)，發(fā)揮學(xué)

25，y＝0；把x＝5，y＝0代入②得：2×5－3z＝19，解得z

生的想象力和

創(chuàng)造性

1

x＝5，

＝－3.原方程組的解為y＝0，

z＝－3.

體現(xiàn)教師的主

方法總結(jié)：解三元一次方程組的方法：①首先利用代入法

導(dǎo)作用

或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，

消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元

一次方程組；②然后解這個(gè)二元一次方程組，求出這兩個(gè)未知

數(shù)的值；③再把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)

系數(shù)比較簡單的方程，得到一個(gè)關(guān)于第三個(gè)未知數(shù)的一元一次

方程；④解這個(gè)一元一次方程，求出第三個(gè)未知數(shù)的值；⑤最

后將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫在一起即可．

【類型二】對(duì)稱方程組的求解

學(xué)以致用，

x＋y＝1，

舉一反三

解方程組：y＋z＝2，

z＋x＝3.

解析：三個(gè)式子相加再除以2得：x＋y＋z＝3，用這個(gè)式

教師給出準(zhǔn)確

子分別減去方程組中的每個(gè)方程，即可求得x、y、z的值，得

概念，同時(shí)給學(xué)

到方程組的解．

生消化、吸收時(shí)

x＋y＝1①，

解：y＋z＝2②，①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝6，即x間，當(dāng)堂掌握

z＋x＝3③，

例題＋y＋z＝3④，④－①，得z＝2，④－②，得x＝1，④－③，例2由學(xué)生口

精講x＝1，答，教師板書，

得y＝0，∴方程組的解是y＝0，

z＝2.

方法總結(jié)：解三元一次方程組時(shí)，如果方程組中的三個(gè)未

知數(shù)，每個(gè)未知數(shù)的系數(shù)和與其他未知數(shù)的系數(shù)和相同，可考

慮把幾個(gè)方程相加，再除以一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，然后把這個(gè)方程分

別與每個(gè)方程相減即可．

探究點(diǎn)二：三元一次方程組的應(yīng)用

【類型一】三元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用

某單位職工在植樹節(jié)時(shí)去植樹，甲、乙、丙三個(gè)小

2

1

組共植樹50株，乙組植樹的株數(shù)是甲、丙兩組的和的，甲組

4

植樹的株數(shù)恰是乙組與丙組的和，問每組各植樹多少株？

解析：題中有三個(gè)等量關(guān)系：①甲組植樹的株數(shù)＋乙組植

樹的株數(shù)＋丙組植樹的株數(shù)＝50；②乙組植樹的株數(shù)＝(甲組

1

植樹的株數(shù)＋丙組植樹的株數(shù))×；③甲組植樹的株數(shù)＝乙組

4

植樹的株數(shù)＋丙組植樹的株數(shù)．根據(jù)這三個(gè)等量關(guān)系可列出三

元一次方程組，求出方程組的解即可．

解：設(shè)甲組植樹x株，乙組植樹y株，丙組植樹z株．由

x＋y＋z＝50，

x＝25，

1

題意，得y＝（x＋z）×，解得y＝10，

4

z＝15.

x＝y(tǒng)＋z，

答：甲組植樹25株，乙組植樹10株，丙組植樹15株．

方法總結(jié)：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)三組等量關(guān)系列出三元

一次方程組，然后用代入消元法或加減消元法求出方程組的

解．

【類型二】利用三元一次方程組求值

x＋2y＝3，

已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的

3x＋5y＝m＋2

解滿足x＋y＝0，求m的值．

解析：把已知方程組與x＋y＝0組成三元一次方程組，再

解之即可．

x＋2y＝3，

解：根據(jù)題意得3x＋5y＝m＋2，解這個(gè)方程組得

x＋y＝0，

x＝－3，

y＝3，

m＝4.

方法總結(jié)：根據(jù)二元一次方程組的解求值，一般有兩種方法：

一是直接組成三元一次方程組求解；二是把其中較簡單的兩個(gè)

方程重新組成二元一次方程組，把求得的解代入另一個(gè)方程即

3

可求得字母的值．

1.解方程組時(shí),①+②可消去未

知數(shù),得到一個(gè)二元一次方程.檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)

效果，學(xué)生獨(dú)立

完成相應(yīng)的練

2.已知方程組則x+y+z=.

習(xí)，教師批閱部

課堂檢測3.已知甲、乙、丙三人各有一些錢,其中甲的錢數(shù)是乙的錢數(shù)

分學(xué)生，讓優(yōu)秀

的2倍,乙的錢數(shù)比丙的錢數(shù)多1元,丙的錢數(shù)比甲的錢數(shù)少

生幫助批閱并

11元.三人共有元.

為學(xué)困生講解.

4.李紅在做這樣一個(gè)題目:在等式y(tǒng)=ax2+bx+c中,當(dāng)x=1

時(shí),y=6;當(dāng)x=2時(shí),y=21;當(dāng)x=-1時(shí),y=0;當(dāng)x=-2時(shí),y等于多

少?她想,在求y值之前應(yīng)先求a,b,c的值,你認(rèn)為她的想法對(duì)

嗎?請(qǐng)你幫她求出a,b,c及y的值.

1．三元一次方程組的解法：

總結(jié)提升加減消元法或代入消元法，化三“元”為二“元”．

2．三元一次方程組的應(yīng)用

1.4三元一次方程組

（一）知識(shí)回顧（三）例題解析（五）課堂小結(jié)

板書設(shè)計(jì)

（二）探索新知例1、例2

（四）課堂練習(xí)練習(xí)設(shè)計(jì)

本課作業(yè)教材P22練習(xí)1、2

本課教育

評(píng)注（實(shí)

際教學(xué)效

果及改進(jìn)

設(shè)想）

4

5

七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每題只有一個(gè)答案正確）

1．三條直線相交于一點(diǎn)，則

A．90°B．120°C．140°D．180°

【答案】D

【解析】根據(jù)對(duì)頂角相等和平角的定義，即可得到答案.

【詳解】解：如圖：

∵∠AOF與∠3是對(duì)頂角，

∴∠AOF=∠3，

∵，

∴，

故選擇：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)頂角相等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握對(duì)頂角相等和平角的定義．

2．已知點(diǎn)M(2m﹣1，1﹣m)在第四象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是()

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】根據(jù)第四象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)列出關(guān)于m的不等式組，求出m的取值范圍，并在數(shù)軸上表示出

來即可．

【詳解】解：∵點(diǎn)M（2m-1，1-m）在第四象限，

6

2m10①

∴

1m0②

由①得，m＞0.5；

由②得，m＞1，

在數(shù)軸上表示為：

故選：A．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式組的解集，熟知實(shí)心圓點(diǎn)與空心圓點(diǎn)的區(qū)別是解答此題的關(guān)鍵．

3．下列各組數(shù)中，是二元一次方程2x3yl的解的是（）

x1x1x1x1

A．B．C．D．

y1y1y1y1

【答案】B

【解析】將各選項(xiàng)的x，y的值代入方程進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可.

x1

【詳解】解：A.，方程左邊＝2﹣3＝﹣1≠1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

y1

x1

B.，方程左邊＝﹣2+3=1=右邊，故本選項(xiàng)正確；

y1

x1

C.，方程左邊＝﹣2﹣3=﹣5≠1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

y1

x1

D.，方程左邊＝2+3＝5≠1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

y1

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二元一次方程的解，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).

4．下列運(yùn)算正確的是()

A．a(chǎn)2?a3＝a5B．a(chǎn)2+a2＝a4C．a(chǎn)3÷a＝a3D．(a2)4＝a6

【答案】A

【解析】結(jié)合同底數(shù)冪的除法和加法、冪的乘方與積的乘方的概念和運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可

【詳解】A.a2?a3＝a5,本選項(xiàng)正確;

7

B.a2+a2＝2a2，本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C.a3÷a＝a2,本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D.(a2)4＝a8,本選項(xiàng)錯(cuò)誤。

故選A

【點(diǎn)睛】

此題考查同底數(shù)冪的除法和加法、冪的乘方與積的乘方，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵

5．若多邊形的邊數(shù)增加一條，則它的外角和（）

A．增加180°B．不變C．增加360°D．減少180°

【答案】B

【解析】依據(jù)多邊形的外角和都等于360o，與邊數(shù)多少無關(guān)即可得出答案.

【詳解】根據(jù)多邊形的外角和定理：多邊形的外角和都等于360o，與邊數(shù)多少無關(guān)，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是多邊形的外角和知識(shí)，仔細(xì)審題，分清外角和和內(nèi)角和的區(qū)別.

2x4

6．不等式組的解集，在數(shù)軸上表示正確的是（）

x11

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】分析：先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集，即可得出選項(xiàng)．

2x＞4①

詳解：

x11②

∵解不等式①得：x＞-2，

解不等式②得：x≤2，

∴不等式組的解集為-2＜x≤2，

在數(shù)軸上表示為，

故選：B．

點(diǎn)睛：本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，能根據(jù)不等式的解集得出不等式

8

組的解集是解此題的關(guān)鍵．

7．為了解我校1200名學(xué)生的身高，從中抽取了200名學(xué)生對(duì)其身高進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，則下列說法正確的是

（）

A．1200名學(xué)生是總體B．每個(gè)學(xué)生是個(gè)體

C．200名學(xué)生是抽取的一個(gè)樣本D．每個(gè)學(xué)生的身高是個(gè)體

【答案】D

【解析】總體是指考查的對(duì)象的全體，個(gè)體是總體中的每一個(gè)考查的對(duì)象，樣本是總體中所抽取的一部分

個(gè)體，而樣本容量則是指樣本中個(gè)體的數(shù)目．我們?cè)趨^(qū)分總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，這四個(gè)概念時(shí)，

首先找出考查的對(duì)象．從而找出總體、個(gè)體．再根據(jù)被收集數(shù)據(jù)的這一部分對(duì)象找出樣本，最后再根據(jù)樣

本確定出樣本容量

【詳解】A.1200名學(xué)生的身高是總體，錯(cuò)誤；

B.每個(gè)學(xué)生的身高是個(gè)體，錯(cuò)誤；

C.200名學(xué)生的身高是抽取的一個(gè)樣本，錯(cuò)誤；

D.每個(gè)學(xué)生的身高是個(gè)體，正確；

故選D．

【點(diǎn)睛】

本題考查了總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，解題的關(guān)鍵是掌握總體、個(gè)體與樣本的考查對(duì)象是相同的，所

不同的是范圍的大小．樣本容量是樣本中包含的個(gè)體的數(shù)目，不能帶單位

x1

1x

8．不等式組2的解集在數(shù)軸上表示為（）

3x1

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無

解了確定不等式組的解集．

x1

【詳解】解：解不等式＞1-x，得：x＞1，

2

解不等式3-x≥1，得：x≤2，

則不等式組的解集為1＜x≤2，

故選：C．

【點(diǎn)睛】

9

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式得解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大，同小取小，

大小小大中間找，大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵，另外注意在數(shù)軸上表示解集時(shí)，若邊界點(diǎn)

含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集為空心點(diǎn)．

9．如果一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，且內(nèi)角和為1440°，那么這個(gè)多邊形的每個(gè)外角是（）

A．30°B．36°C．40°D．45°

【答案】B

【解析】設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，它的內(nèi)角和可以表示成（n-2）?180°，就得到關(guān)于n的方程，求出邊數(shù)

n．然后根據(jù)多邊形的外角和是360°，多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等即每個(gè)外角也相等，這樣就能求出多邊形

的一個(gè)外角．

【詳解】設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，

根據(jù)題意得：（n-2）?180°=1440°，

解得n=10；

那么這個(gè)多邊形的一個(gè)外角是360°÷10=36°，

即這個(gè)多邊形的一個(gè)外角是36°．

故選B．

【點(diǎn)睛】

考查了多邊形內(nèi)角與外角的關(guān)系．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，求邊數(shù)的問題就可以轉(zhuǎn)化為解方程的問題來

解決．

10．為了了解我縣5000多名七年級(jí)學(xué)生的期末數(shù)學(xué)成績，任意抽取500名七年級(jí)學(xué)生的期末數(shù)學(xué)成績進(jìn)

行統(tǒng)計(jì)分析，這個(gè)問題中，500是（）

A．總體B．樣本C．個(gè)體D．樣本容量

【答案】D

【解析】總體是指考查的對(duì)象的全體，個(gè)體是總體中的每一個(gè)考查的對(duì)象，樣本是總體中所抽取的一部分

個(gè)體，而樣本容量則是指樣本中個(gè)體的數(shù)目．由此即可解答.

【詳解】在這個(gè)問題中，樣本是抽取500名七年級(jí)學(xué)生的期末數(shù)學(xué)成績，樣本容量為500，故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了總體、個(gè)體與樣本．總體、個(gè)體與樣本的考查對(duì)象是相同的，所不同的是范圍的大小，樣本容

量是樣本中包含的個(gè)體的數(shù)目，不能帶單位，難度適中．

二、填空題題

11．已知關(guān)于x的方程3a﹣x＝x+2的解為2，則代數(shù)式a2+1＝______

【答案】5

10

【解析】把x=2代入方程，即可求出a，把a(bǔ)的值代入求出即可．

【詳解】把x=2代入方程3a-x=x+2，

得：3a-2=4，

解得：a=2，

所以a2+1=22+1=5，

故答案為5

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的應(yīng)用，能求出a的值是解此題的關(guān)鍵．

12．“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”揭示了三角形的一個(gè)外角與它的兩個(gè)內(nèi)角之間

的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)?zhí)剿鞑懗鋈切螞]有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)外角與它的第三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系：_______.

【答案】三角形沒有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)外角之和等于與它們都不相鄰的一個(gè)內(nèi)角加上180°

【解析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理整理即

可得解.

【詳解】

解：如圖，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠1=∠A+∠ACB，∠2=∠A+∠ABC，

∴∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠1+∠2=∠A+180°，

∴三角形沒有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)外角之和等于與它們都不相鄰的一個(gè)內(nèi)角加上180°.

故答案為：三角形沒有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)外角之和等于與它們都不相鄰的一個(gè)內(nèi)角加上180°..

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵是解題的關(guān)

鍵，作出圖形更形急直觀.

13．關(guān)于x,y的方程2xm13yn15是二元一次方程，則mn__________．

【答案】-2.

【解析】根據(jù)二元一次方程的定義，可得x和y的指數(shù)分別都為1，列關(guān)于m、n的方程，然后求解即可．

【詳解】根據(jù)二元一次方程的定義，

11

m11,n11,

解得m0,n2.

所以mn022.

【點(diǎn)睛】

本題考查二元一次方程的定義.含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元

一次方程.

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)(x，y)，規(guī)定以下兩種變化：

①f(x，y)(x，y)．如f(1，2)(1，2)；

②gx，yx，2y．

根據(jù)以上規(guī)定：

（1）g1，2（___________）；

（2）fg2，1（___________）

【答案】（1，0）（﹣2，3）

【解析】（1）根據(jù)所給規(guī)定進(jìn)行進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)所給規(guī)定進(jìn)行進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】解：（1）∵g（x，y）＝（x，2﹣y）

∴g（1，2）＝（1，2﹣2）＝（1，0）

故答案為：（1，0）

（2）∵g（2，﹣1）＝（2，3）且f（x，y）＝（﹣x，y）

∴f（g（2，﹣1））＝f（2，3）＝（﹣2，3）

故答案為：（﹣2，3）

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是正確理解題目意思．

15．如圖，函數(shù)y=-2x和y=ax+4的圖象相交于A（m，3），則關(guān)于x的不等式0＜ax+4＜-2x的解集是______．

3

【答案】-6＜x＜-

2

12

3

【解析】先把A(m,3)代入y2x得到A(,3)，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入yax4求出a，接著計(jì)算出直

2

線yax4與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后找出直線yax4在x軸上方且在直線y2x的下方所對(duì)應(yīng)的

自變量的范圍即可．

33

【詳解】當(dāng)y3時(shí)，2x3，解得x，則兩直線的交點(diǎn)A坐標(biāo)為A(,3)

22

332

把A(,3)代入yax4得a43，解得a

223

2

當(dāng)y0時(shí)，x40，解得x6，則直線yax4與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0)

3

3

由函數(shù)圖象可知，當(dāng)6x時(shí)，0ax42x

2

3

故答案為：6x．

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系從函數(shù)的角度看，就是尋求使

一次函數(shù)ykxb的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線

ykxb在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．

16．（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，1），以原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑畫半圓與x軸交于點(diǎn)

P（2，0）和Q（n，0）．則n的值為________；

（2）若a、b滿足3ab7，s2ab，則s的取值范圍是____________．

14

【答案】-7s

-23

【解析】（1）由圓的性質(zhì)得到：OPOQ2,從而可得答案，

（2）分別用含有b,a的代數(shù)式表示s，利用b,a的非負(fù)性，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可得答案．

【詳解】解：（1）由題意得：OPOQ2,

Q在數(shù)軸上原點(diǎn)的左邊，

n＜0,

n2,

13

故答案為：2.

（2）3ab7，

b73a,

s2ab2a(73a)5a7,

a0,5a0,

5a77,

即：s7,

3ab7，

7b

a,

3

142b3b145b

s2ab,

333

b0,

5b

0,

3

145b14

.

33

14

即：s,

3

14

綜上：-7s，

3

14

故答案為：-7s．

3

【點(diǎn)睛】

本題考查的是數(shù)軸上利用距離相等來表示點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，同時(shí)考查了利用非負(fù)數(shù)的非負(fù)性求解代數(shù)式的最大

值與最小值，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

17．如圖，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么圖中與∠AGE相等的角(不包括∠AGE)

有_____個(gè)．

14

【答案】5；

【解析】由AB∥CD∥EF，可得∠AGE=∠GAB=∠DCA；由BC∥AD，可得∠GAE=∠GCF；又因?yàn)?/p>

AC平分∠BAD，可得∠GAB=∠GAE；根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠AGE=∠CGF．所以圖中與∠AGE相等的

角有5個(gè)．

【詳解】∵AB∥CD∥EF，

∴∠AGE=∠GAB=∠DCA；

∵BC∥AD，

∴∠GAE=∠GCF；

又∵AC平分∠BAD，

∴∠GAB=∠GAE；

∵∠AGE=∠CGF.

∴∠AGE=∠GAB=∠DCA=∠CGF=∠GAE=∠GCF.

∴圖中與∠AGE相等的角有5個(gè)。

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角及角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意仔細(xì)觀察圖形并找出全部答案是解

題關(guān)鍵.

三、解答題

18．（用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）如圖，車站O位于兩條公路OA，OB的交匯處，

在公路OB上還有一個(gè)車站C，現(xiàn)要在兩條公路之間修一個(gè)中轉(zhuǎn)站P，使它到兩條公路的距離相等，且到

兩個(gè)車站的距離也相等．請(qǐng)你在圖中作出點(diǎn)P的位置．

【答案】見解析

【解析】作∠AOB的角平分線和線段OC的垂直平分線，它們的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)．

【詳解】解：如圖所示：點(diǎn)P即為所求．

15

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)，正確掌握尺規(guī)作圖的步驟是解題關(guān)鍵．

19．如圖①，AD∥BC，∠A=∠BCD，E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，試回答下列問題：

（1）求證：AB∥CD；

（2）如圖①，若點(diǎn)E在B、C兩點(diǎn)之間，DM平分∠ADE，DN平分∠CDE，試探索∠MDN與∠B的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖②，在（2）的條件下，若點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)，（2）中的結(jié)論是否仍成立，若成立，請(qǐng)說明理由，

若不成立，求出∠MDN與∠B的比值.

1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠MDN=∠B（3）成立.

2

【解析】（1）由AD∥BC的∠A+∠B=180°，根據(jù)∠A=∠BCD知∠BCD+∠B=180°。

（2）根據(jù)AD∥BC、AB∥CD得∠ADC=∠B，由角平分線知∠MDE=1/2∠ADE、∠NDE=1/2∠EDC,將∠MDE+∠NDE

可得

（3）根據(jù)AD∥BC、AB∥CD，得∠ADC=∠B，角平分線知∠MDE=1/2∠ADE、∠NDE=1/2∠EDC，將∠MDE-∠NDE

可得

【詳解】（1）因?yàn)锳D∥BC所以∠A+∠B=180°，根據(jù)∠A=∠BCD知∠BCD+∠B=180°，所以AB∥CD。

1

（2）∠MDN=∠B

2

理由：∵AD∥BC

∴∠BCD+∠ADC=1800

又∵∠BCD+∠B=1800

∴∠ADC=∠B

∵DM，DN分別平分∠ADE，∠CDE

16

11

∴∠MDE=∠ADE，∠NDE=∠CDE

22

11

∴∠MDE+∠NDE=（∠ADE+∠CDE）=∠ADC

22

1

即∠MDN=∠B

2

（3）成立.

理由：∵AD∥BC

∴∠BCD+∠ADC=1800

又∵∠BCD+∠B=1800

∴∠ADC=∠B

∵DM，DN分別平分∠ADE，∠CDE

11

∴∠MDE=∠ADE，∠NDE=∠CDE

22

11

∴∠MDE－∠NDE=（∠ADE—∠CDE）=∠ADC

22

1

即∠MDN=∠B

2

【點(diǎn)睛】平行線的性質(zhì)和判定。

20．某商場為了吸引顧客，設(shè)計(jì)了可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤（如圖所示，轉(zhuǎn)盤被均勻地分成20個(gè)扇形），并規(guī)

定：顧客每購買200元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)．如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅色、黃

色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得200元、100元、50元的購物券，憑購物券可以在該商場繼續(xù)購

物．若小明的爸爸購物245元，請(qǐng)解答下列問題：

（1）求小明的爸爸此次購物獲得購物券的概率是多少？

（2）小明的爸爸此次購物獲得哪種購物券的概率最大？請(qǐng)說明理由．

1

【答案】（1）；（2）小明爸爸獲得50元購物券的概率最大．

2

17

【解析】(1)由轉(zhuǎn)盤被均勻地分成20份，其中1個(gè)紅色、3個(gè)黃色、6個(gè)綠色區(qū)域，利用概率公式計(jì)算可得；

(2)分別計(jì)算獲得200、100、50元的概率即可得．

【詳解】(1)因?yàn)樾∶靼职值南M(fèi)額在200元到400元之間，因此可以獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，轉(zhuǎn)盤被均

勻地分成20份，其中1個(gè)紅色、3個(gè)黃色、6個(gè)綠色區(qū)域，

1361

所以小明的爸爸此次購物獲得購物券的概率是；

202

(2)小明爸爸獲得50元購物券的概率最大，

1

理由：P＝，

(獲得200元購物券)20

3

P＝，

(獲得100元購物券)20

63

P＝，

(獲得50元購物券)2010

133

∵＜＜，

202010

∴小明爸爸獲得50元購物券的概率最大．

【點(diǎn)睛】

本題考查了概率公式的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

21．閱讀下面材料：

2019年4月底，“百年器象——清華大學(xué)科學(xué)博物館籌備展”上展出了一件清華校友捐贈(zèng)的歷史文物“Husun

型六分儀”（圖①），它見證了中國人民解放軍海軍的發(fā)展歷程.六分儀是測量天體高度的手提式光學(xué)儀器，

它的主要原理是幾何光學(xué)中的反射定律.觀察測者手持六分儀（圖②）按照一定的觀測步驟（圖③顯示的

是其中第6步）讀出六分儀加油弧標(biāo)尺上的刻度，再經(jīng)過一定計(jì)算得出觀察測點(diǎn)的地理坐標(biāo).

請(qǐng)大家證明在使用六分儀測量時(shí)用到的一個(gè)重要結(jié)論（兩次反射原理）.

已知：在圖④所示的“六分儀原理圖”中，所觀測星體記為S，兩個(gè)反射鏡面位于A,B兩處，B處的鏡面

的在直線FBC自動(dòng)與0刻度線AE保持平行（即BC//AE），并與A處的鏡面所在直線NA交于點(diǎn)C，

18

SA所在直線與水平線MB交于點(diǎn)D，六分儀上刻度線AC與0刻度線的夾角EAC，觀測角為

SDM.（請(qǐng)注意小貼士中的信息）

求證：SDM2

請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上完成對(duì)紫結(jié)論的以下填空及后續(xù)證明過程（后續(xù)證明無需標(biāo)注理由）.

證明：∵BC//AE

∴CEAC（）

∵EAC

∴C（）

∵SANCAD（）

又∵BACSAN（小貼士已知），

∴BADBACCAD2.

∵FBA是的外角，

∴FBABACC（）.

即.

補(bǔ)全證明過程：（請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上完成）

【答案】見解析；

【解析】由BC//AE得C，再由三角形的外角的性質(zhì)得與22SDM，進(jìn)而可

得結(jié)論.

【詳解】證明：如圖

∵BC//AE

∴CEAC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵EAC

19

∴C（等量代換）

∵SANCAD（對(duì)頂角相等）

又∵BACSAN（小貼士已知），

∴BADBACCAD2.

∵FBA是ABC的外角，

∴FBABACC（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和）.

即.

∵FBMDBC

又∵DBCABF

∴ABMFBAFBM2

∵ABM是ABD的外角

∴ABMBADSDM.

即22SDM

∴SDM222()2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

22．將下列各式分解因式:

1x25x6；28x28x2；3a2(xy)b2(yx).

【答案】(1)x6x1；（2）22x12；(3)xyabab

【解析】（1）直接運(yùn)用十字相乘法分解即可；

（2）首先提取公因式2，然后利用完全平方公式分解即可；

（3）首先對(duì)原式變形，再提取公因式，然后利用平方差公式繼續(xù)分解即可.

【詳解】解：1原式x6x1

2原式24x24x1

22x12

3原式a2xyb2xy

xya2b2

20

xyabab

【點(diǎn)睛】

此題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵.

23．閱讀下列材料解決問題:

將下圖一個(gè)正方形和三個(gè)長方形拼成一個(gè)大長方形，觀察這四個(gè)圖形的面積與拼成的大長方形的面積

之間的關(guān)系.

∵用間接法表示大長方形的面積為:x2pxqxpq，用直接法表示面積為:(xp)(xq)

∴x2pxqxpq(xp)(xq)

于是我們得到了可以進(jìn)行因式分解的公式:x2pxqxpq(xp)(xq)

(1)運(yùn)用公式將下列多項(xiàng)式分解因式:

①x23x4，②m28m15;

(2)如果二次三項(xiàng)式“a2abb2”中的“”只能填入有理數(shù)1,2,3,4，并且填入后的二次三項(xiàng)式能

進(jìn)行因式分解，請(qǐng)你寫出所有的二次三項(xiàng)式.

【答案】（1）①(x4)(x1)；②(m-3)(m-5)；（2）a22abb2,a23ab2b2，

a24ab3b2,a24ab4b2

【解析】（1）根據(jù)閱讀材料中的結(jié)論分解即可；

（2）找出能用公式法及十字相乘法分解的多項(xiàng)式即可．

【詳解】(1)①x23x4=(x4)(x1)；

m28m15=(m-3)(m-5)；

（2）a22abb2,a23ab2b2，a24ab3b2,a24ab4b2

【點(diǎn)睛】

此題考查因式分解的應(yīng)用，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵

21

24．解不等式x3(x2)2．

【答案】x1

【解析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得.

【詳解】x3(x2)2

x3x62

x3x26

4x4

x1

【點(diǎn)睛】

本題考查一元一次不等式的解法.先去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，得不等式解集.

25．如圖，四邊形ABCD是正方形，其中A（2，1），B（4，1），C（4，3），將這個(gè)正方形向左平移

3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得正方形ABCD．

（1）畫出平移后的正方形ABCD；

（2）寫出點(diǎn)D和點(diǎn)D′的坐標(biāo)；

（3）寫出線段AA與CC的位置和大小關(guān)系．

【答案】（1）見解析；（2）D的坐標(biāo)（2，3），D′的坐標(biāo)（-1，4）；（3）線段AA與CC的位置關(guān)系是平

行，大小關(guān)系是相等

【解析】（1）利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)規(guī)律寫出A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A＇、B＇、C＇的坐標(biāo)，然后根據(jù)正方形性質(zhì)

畫出圖形即可；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)平移的規(guī)律寫出D＇的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)平移性質(zhì)直接可得答案．

【詳解】解：（1）見下圖，

根據(jù)平移規(guī)律可知：

A＇的橫坐標(biāo)為：2-3=-1，縱坐標(biāo)為：1+1=2，

∴A＇(-1,2)

22

同理，B＇(1,2)，C＇(1,4),

根據(jù)四邊形的性質(zhì)以及A＇、B＇、C＇的坐標(biāo)畫出正方形A＇B＇C＇D＇,

∴正方形A＇B＇C＇D＇就是所求作的四邊形；

（2）根據(jù)圖形和四邊形的性質(zhì)可知：D(2,3)，

根據(jù)題意，D＇的橫坐標(biāo)為：2-3=-1，縱坐標(biāo)為：3+1=4，

故D＇的坐標(biāo)為：(-1,4)；

（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可知：A＇A∥C＇C，A＇A=C＇C．

【點(diǎn)睛】

本題考查了圖形的平移與坐標(biāo)的變化，理解平移前后對(duì)應(yīng)線段平行（重合）且相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行（重

合）且相等是解題關(guān)鍵．

23

24

七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每題只有一個(gè)答案正確）

1．平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)P1,2，則點(diǎn)P在（）

A．第—象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】B

【解析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)即可解答.

【詳解】∵點(diǎn)P（-1，2），

∴P點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中所在的位置是：第二象限．

故選B．

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面直角坐標(biāo)系中各象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知平面直角坐標(biāo)系中各象限點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)是解題關(guān)

鍵．

2．在下列實(shí)數(shù)中，最小的是（）

A．5B．2C．0D．3

【答案】A

【解析】根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較的法則進(jìn)行比較即可．

【詳解】∵5>3>2>0

∴?5＜?2＜0＜3，

∴這四個(gè)數(shù)中最小的是?5．

故選A．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大?。龑?shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)

數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而?。?/p>

3．已知a＜b，下列變形正確的是()

A．a(chǎn)﹣3＞b﹣3B．2a＜2b

C．﹣5a＜﹣5bD．﹣2a+1＜﹣2b+1

【答案】B

【解析】運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)求解即可．

【詳解】由a＜b，可得：a﹣3＜b﹣3，2a＜2b，﹣5a＞﹣5b，﹣2a+1＞﹣2b+1，

25

故選B．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意不等號(hào)的開口方向．

4．下列各式從左到右的變形中，為因式分解的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】根據(jù)因式分解的定義即可判斷.

【詳解】A.，為整式的運(yùn)算，故錯(cuò)誤；

B.，還含有加法，故錯(cuò)誤；

C.是因式分解；

D.，還含有加法，故錯(cuò)誤；

故選C.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟知因式分解的定義.

5．下列命題中，假命題是（）

A．如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

B．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

C．兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

D．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

【答案】C

【解析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．

∵如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，

∴選項(xiàng)A是真命題；

∵在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，

∴選項(xiàng)B是真命題；

∵兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角不一定互補(bǔ)，

∴選項(xiàng)C是假命題；

∵兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，

26

∴選項(xiàng)D是真命題.

故選：C.

點(diǎn)睛：本題主要考查真假命題.理解真假命題的概念是解題的關(guān)鍵之所在.

6．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交邊BC于點(diǎn)D，DE∥AB交邊AC于點(diǎn)E,若∠B=46°，∠C=54°，

則∠ADE的大小為

A．40°B．45°C．50°D．54°

【答案】A

【解析】由平行線的性質(zhì)可知：∠ADE=∠BAD，求出∠BAD即可．

【詳解】∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°，

又∵AD平分∠BAC，

1

∴∠BAD=∠BAC=40°，

2

∵DE∥AB，

∴∠ADE=∠BAD=40°，

故選A．

【點(diǎn)睛】

考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí).

xa0

7．若關(guān)于x的一元一次不等式組無解，則a的取值范圍是()

12xx2

A．a(chǎn)≥1B．a(chǎn)>1

C．a(chǎn)≤－1D．a(chǎn)<－1

【答案】A

xa0①

【解析】{，

12xx2②

由①得，x<1，

由②得，x>a，

∵此不等式組無解，

∴a?1.

27

故選A.

點(diǎn)睛：此題主要考查了已知不等式的解集，求不等式中另一未知數(shù)的問題.可以先將另一未知數(shù)當(dāng)做已知

處理，求出解集與已知解集比較，進(jìn)而求得另一個(gè)未知數(shù).求不等式的公共解，要遵循以下原則：同大取

較大，同小取較小，大小小大中間找，大大小小解不了.

8．小明為準(zhǔn)備體育中考，每天早晨堅(jiān)持鍛煉，某天他慢跑到江邊，休息一會(huì)后快跑回家，能大致反映小

明離家的距離y（m）與時(shí)間x（s）的函數(shù)關(guān)系圖象是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】先根據(jù)已知條件，確定出每一時(shí)間段的函數(shù)圖形，再把圖象結(jié)合起來即可求出結(jié)果．

【詳解】∵他慢跑離家到江邊，

∴隨著時(shí)間的增加離家的距離越來越遠(yuǎn)，

∵休息了一會(huì)，

∴他離家的距離不變，

又∵后快跑回家，

∴他離家越來越近，直至為0，

∵去時(shí)快跑，回時(shí)慢跑，

∴小明離家的距離y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是A．

故選：A．

【點(diǎn)睛】

考查了函數(shù)的圖象問題，在解題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況確定出函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．

9．如圖，∠B=∠C，∠A=∠D，下列結(jié)論：①AB∥CD；②AE∥DF；③AE⊥BC；④∠AMC=∠BND，其

中正確的結(jié)論有（）

A．①②④B．②③④C．③④D．①②③④

【答案】A

【解析】分析：根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)分析判斷.

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詳解：①因?yàn)椤螧＝∠C，所以AB∥CD，則①正確；

②因?yàn)锳B∥CD，所以∠A＝∠AEC，

因?yàn)椤螦＝∠D，所以∠AEC＝∠D，所以AE∥DF，則②正確；

③不能得到∠AMB是直角，所以③錯(cuò)誤；

④因?yàn)锳E∥DF，所以∠AMC＝∠FNC，

因?yàn)椤螰NC＝∠BND，所以∠AMC＝∠BND，則④正確.

故選A.

點(diǎn)睛：本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)及平行線的判定與性質(zhì)，性質(zhì)的題設(shè)是兩條直線平行，結(jié)論是同

位角相等，或內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是由直線的位置關(guān)系(平行)到角的數(shù)量關(guān)系的過程；

判定與性質(zhì)正好相反，是對(duì)直線是否平行的判定，因而角之間的數(shù)量關(guān)系(同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角

相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ))是題設(shè)，兩直線平行是結(jié)論，是一個(gè)由角的數(shù)量關(guān)系到平行的過程．

10．生物學(xué)研究表明,人體內(nèi)某種細(xì)胞的形狀可近似地看作球體,它的直徑約為0.00000156m.把0.000001

56用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．1.56108B．1.56106C．0.156106D．0.156108

【答案】B

【解析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)

變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n