判斷函數(shù)極限是否存在的方法判斷函數(shù)極限是否存在是微積分中的一個(gè)重要問(wèn)題，它涉及到了HeineCauchy數(shù)列極限法數(shù)列極限法是判斷函數(shù)極限是否存在的一種基本方法。它的基本思路是利用函數(shù)在某一點(diǎn)附近的數(shù)列逼近函數(shù)極限的性質(zhì)，來(lái)判斷函數(shù)極限是否存在。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)列極限法適用于具有連續(xù)性和有限性質(zhì)的函數(shù)。具體來(lái)說(shuō)，如果函數(shù)f(x)在x0趨近于x0{x_n{f(x_n)}逐漸趨Lf(xx0L即：limx->x0f(x)=L當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意一個(gè)趨近于x0的數(shù)列{x_n},都有l(wèi)imn->∞f(x_n)=Lf(x)=(x^2-1)/(x-1)x=1我們可以取一個(gè)數(shù)列{1.1,1.01,1.001,…}，通過(guò)計(jì)算，得到這些數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為{2.1,2.01,2.001,…}，顯然這些函數(shù)值逐漸趨近于2。因此，我們可以斷言：limx->1(x^2-1)/(x-1)=2夾逼定理夾逼定理是常用的一種判斷函數(shù)極限是否存在的方法。它的基本思路是將我們要研究的函數(shù)夾在兩個(gè)已知的函數(shù)之間，這兩個(gè)函數(shù)的極限都已經(jīng)被證明存在，并且它們的極限相等，那么我們就可以得到這個(gè)函數(shù)的極限存在，并且等于這個(gè)相同的極限。夾逼定理適用于那些比較難直接處理的函數(shù)。例如：limx->0xcos(1/x)我們可以將這個(gè)函數(shù)夾在兩個(gè)函數(shù)之間：-limx->0|x|<=limx->0xcos(1/x)<=limx->0|x|其中|x|是x的絕對(duì)值。這兩個(gè)函數(shù)都是基本函數(shù)，它們的極限分別為0。因此，根據(jù)夾逼定理，我們可以得到：limx->0xcos(1/x)=0單調(diào)有界原理單調(diào)有界原理是判斷函數(shù)極限是否存在的一個(gè)重要定理。它的基本思路是：如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減）那么它在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的極限存在。因?yàn)槿绻粋€(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增并且有上界，那么它在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的極限無(wú)論如何也不會(huì)超過(guò)這個(gè)上界，而且如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減并且有下界，那么它在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的極限無(wú)論如何也不會(huì)低于這個(gè)下界。例如，考慮函數(shù)f(x)=sin(x)/x在區(qū)間(0,1]上的極限問(wèn)題。顯然，這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，并且有上下界，因?yàn)椋?<sin(x)<x(0<x<=1)因此，根據(jù)單調(diào)有界原理，可以得到這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的極限是存在的。HeineHeine路是:如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)x0這個(gè)函數(shù)在x0x0的數(shù)列的極限。即：如果函數(shù)f(x)在x0x0的極限存在，并且：limx->x0f(x)=limn->∞f(x_n)其中{x_n}是任意一個(gè)滿足x_n趨近于x0的數(shù)列。f(x)=x^2*sin(1/xx=0-1<=sin(1/x)<=1因此，對(duì)于任何一個(gè)x，都有-x^2<=x^2*sin(1/x)<=x^2從而，f(x)x=0Heine可以得到：limx->0sin(x)/x=0CauchyCauchy準(zhǔn)則是判斷函數(shù)極限是否存在的一種較為嚴(yán)格的方法。它的基本思路是：如果對(duì)于任意一個(gè)正數(shù)ε，都存在另一個(gè)正數(shù)δ，使得只要函數(shù)的自變量x和x0的距離小于δ，那么函數(shù)的值f(x)和f(x0)的差的絕對(duì)值就小于ε，那么函數(shù)在x0處的極限就存在。即：ε，δ，0<|x-x0|<δ有|f(x)-f(x0)|<ε，那么函數(shù)f(x)在x0例如，考慮函數(shù)f(x)=1/x在x=0處的極限問(wèn)題。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意的正數(shù)ε，只要取δ=ε，就有：|1/x|=1/|x