第2章連續(xù)控制系統(tǒng)的機理建模

主張從復雜的撲朔迷離的問題中，尋找出最基本的物理過程，然后再運用簡化的數(shù)學方法加以分析，從而把理論與設計結合起來。--哥廷根學派學術風格連續(xù)與離散控制系統(tǒng)整理ppt主要內容概述微分方程及線性近似框圖模型及傳遞函數(shù)狀態(tài)變量模型各種模型間的轉換系列設計舉例整理ppt2.1概述為了分析和控制復雜系統(tǒng)，必須獲得這些系統(tǒng)量化的數(shù)學模型，而此過程就稱為建模。導出一個合理的數(shù)學模型是整個分析過程中最重要的工作！在求解一個新問題時，常常需要建立一個簡化模型，以對問題的解有一般的了解，然后再建立比較完善的數(shù)學模型，并用來對系統(tǒng)進行比較精確的分析。整理ppt系統(tǒng)建模的三種方式機理建模：即“白箱”建模，利用系統(tǒng)的具體結構和其所遵循的內在規(guī)律(物理的、化學的規(guī)律等)經(jīng)嚴格的推導而獲得最終數(shù)學模型的方法。辨識建模：即“黑箱”建模，利用實驗的方法或者通過系統(tǒng)正常運行而獲得其輸入、輸出的數(shù)據(jù)，從而采用能近似替代的模型?！盎蚁洹苯＃荷蟽煞N的結合。整理ppt機理建模的表達形式（一）微分方程(組)表述方式：由于控制系統(tǒng)從本質上來說是動態(tài)的，因此可以用微分方程(組)來描述它們。傳遞函數(shù)表述方式：如果能表示為線性微分方程，則可利用拉普拉斯變換，得到在初始松弛條件下定義的傳遞函數(shù)，它體現(xiàn)了系統(tǒng)的固有屬性而與具體輸入信號無關。經(jīng)典控制理論中是以它為核心對系統(tǒng)進行研究的。整理ppt機理建模的表達形式（二）框圖表達方式：不能獨立地對系統(tǒng)進行分析或綜合，但由于其具有極強的直觀性，因而也作為一種模型方式。狀態(tài)方程表達方式：它是狀態(tài)變量的一階導數(shù)方程組。由于所選的狀態(tài)變量不同，同一系統(tǒng)的狀態(tài)方程可能是不同的，但其最終結果是一致的。整理ppt解決動態(tài)系統(tǒng)問題的方法1.定義系統(tǒng)及其組成部分；2.建立數(shù)學模型并列出相關假設；3.寫成描述模型的微分方程組；4.解方程組，并獲得所需的輸出變量；5.研究所求的解和假設；6.如果有必要，重新分析或重新設計系統(tǒng)。整理ppt2.2.1微分方程系統(tǒng)微分方程的建立步驟：1.列寫原始方程組2.解原始方程組3.化成標準形式設系統(tǒng)的輸入變量為r(t)，輸出變量為c(t)則系統(tǒng)微分方程具有一般形式為：整理ppt建立系統(tǒng)微分方程舉例例2.1系統(tǒng)如圖所示。其中k為彈簧的剛度系數(shù)；f為阻尼器的粘性摩擦系數(shù)；m為物體的質量；F(t)為外施力；c(t)為物體的位移。忽略物體滑動摩擦力。求輸出c(t)與輸入F(t)的微分方程。整理ppt解題過程1.彈簧的彈性力其方向總和位移方向相反。

2.阻尼器的阻尼力其方向總和位移方向相反。

3.根據(jù)牛頓第二定律有：

整理ppt解題過程（續(xù)）4.消去中間變量F1(t)、F2(t)，并整理得。

此方程即為該系統(tǒng)的微分方程。

整理ppt2.2.2物理系統(tǒng)的線性近似疊加原理：兩個不同的作用函數(shù)同時作用于系統(tǒng)的響應，等于兩個作用函數(shù)單獨作用的響應之和。一個系統(tǒng)如果不能應用疊加原理，則系統(tǒng)是非線性的。大部分的物理系統(tǒng)只是在一定范圍內是線性系統(tǒng)。比如阻尼器，低速時是線性的，高速時可能變成與速度平方成正比。彈簧在低頻時，質量可以忽略，高頻時，質量卻是系統(tǒng)重要特性。整理ppt工作點附近的泰勒展開假設函數(shù)在工作范圍內是連續(xù)的，可以在工作點附近使用泰勒級數(shù)，于是有：在相對工作點的偏移量(x-x0)附近的小范圍內是對曲線本身的一個很好的近似。于是，作為合理的近似，上式變?yōu)椋赫韕pt工作點附近的泰勒展開（續(xù)）如果變量y依賴于若干激勵變量：x1,x2,…,xn，那么函數(shù)關系可以寫做:同理利用多元函數(shù)的泰勒展開，忽略高階項后，線性近似寫做：整理ppt線性近似舉例例2.2擺模型：考慮圖(a)所示的擺，質量上的力矩為整理ppt線性近似舉例（續(xù)1）質量的平衡位置是θ0=0o。T和θ之間的非線性關系如圖(b)所示。平衡點處的一階導數(shù)值提供了線性近似，即

其中T0=0于是，有

該近似對±π/4內比較精確。例如，擺在通過±30o時線性模型的響應在實際非線性擺的響應的2℅范圍內。整理ppt2.3框圖模型及傳遞函數(shù)定義：線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時，輸出的拉氏變換和輸入的拉氏變換之比稱為該系統(tǒng)的輸出和輸入間的傳遞函數(shù)。初始條件為零有兩層含義：其一是輸入信號是在研究的時刻(0+)才加入的，其二是輸出在研究時刻之前(0-)是靜止的或稱為平衡狀態(tài)。整理ppt框圖的基本要素和基本連接（一）1.傳輸線：表示了信息的流動方向。2.增益：增益是系統(tǒng)某部分輸出和輸入之間的傳遞函數(shù)。3.比較環(huán)節(jié)：表示兩個或多個信號算術運算關系的一種符號。4.分支：當一個信號送往多處作為輸入時，用分支形式表示。整理ppt框圖的基本要素和基本連接（二）5.增益的串接：多個增益相串接，其總的增益為各增益之積。6.增益的并接：其總增益為各增益之和。整理ppt框圖的基本要素和基本連接（三）7.反饋：其基本形式如下。整理ppt2.3.1系統(tǒng)框圖的建立根據(jù)所給系統(tǒng)的聯(lián)接方式和各部分的物理規(guī)律列寫原始方程組。將原始方程組進行拉氏變換。對每個方程指定其輸出變量并畫出其對應的子方框圖。將各子方框圖聯(lián)接成總方框圖。整理ppt框圖建立的例子例2.3制作例2.1的系統(tǒng)框圖解：將原始方程組進行拉氏變換，得

整理ppt框圖建立的例子（續(xù)1）令C(s)做輸出，則將方程改寫為：其對應的子方框圖如下：整理ppt框圖建立的例子（續(xù)2）根據(jù)F1、F2和C的關系，畫出對應的子框圖，按對應的變量名稱連接，則最終系統(tǒng)框圖為：整理ppt簡單伺服系統(tǒng)舉例例2.4簡單伺服系統(tǒng)，工作原理如下：(1)系統(tǒng)的參考輸入量：輸入電位計電刷臂的角位置r，轉化為電壓整理ppt簡單伺服系統(tǒng)舉例（續(xù)1）(2)輸出電位計電刷臂的角位置c由輸出軸的位置確定，轉化為電壓(3)用一對電位計作為系統(tǒng)的誤差測量裝置，它們可以將輸入和輸出位置轉變?yōu)榕c位置成比例的電信號。(4)電位計輸出端上的誤差電壓被增益常數(shù)K1的放大器放大。放大器的輸出電壓作用到直流馬達的電樞電路上，馬達的勵磁繞組上加有固定電壓。整理ppt簡單伺服系統(tǒng)舉例（續(xù)2）(5)如果出現(xiàn)誤差信號，馬達就會產(chǎn)生力矩，以帶動輸出負載旋轉，并使誤差減小到零。(6)對于固定的勵磁電流，馬達產(chǎn)生的力矩與電樞電流成正比：(7)當電樞旋轉時，在電樞中將感應出一定的電壓，與角速度成正比整理ppt簡單伺服系統(tǒng)舉例（續(xù)3）試求馬達轉角位移θ與誤差電壓ev之間的傳遞函數(shù)，試求這個系統(tǒng)的方框圖。此外，當La可以忽略時，求簡化方框圖。解：電樞控制式直流伺服馬達的速度由電樞電壓控制。電樞電流的微分方程為：整理ppt簡單伺服系統(tǒng)舉例（續(xù)4）馬達力矩的平衡方程為：J0為馬達、負載和折合到馬達軸上的齒輪傳動裝置組合的轉動慣量;b0為馬達、負載和折合到馬達軸上的齒輪傳動裝置組合的黏性摩擦系數(shù)。整理ppt簡單伺服系統(tǒng)舉例（續(xù)5）做拉氏變換，并消去Ia(s)，得傳遞函數(shù)：假設齒輪傳動裝置的傳動比設計為：使得輸出軸的轉數(shù)是馬達軸轉數(shù)的n倍，因此另外，整理ppt簡單伺服系統(tǒng)舉例（續(xù)6）La很小可以忽略不計，傳遞函數(shù)整理ppt2.3.2梅森公式框圖對表示輸入和輸出變量之間關系已經(jīng)足夠了，但相互關系比較復雜的系統(tǒng)，框圖的化簡工作任務繁重，甚至難以完成。梅森公式是梅森在創(chuàng)建信號流圖中提出的求取傳遞函數(shù)的方法，由于信號流圖和框圖并無本質的差別，故本課程以框圖的形式進行介紹。整理ppt2.3.2.1基本概念回路和回路增益：在框圖中由任何一點出發(fā)，沿信息流動方向(箭頭所指方向)經(jīng)過不重復的路徑(每點僅經(jīng)過一次)回到該點，則該路徑稱為一個回路。該回路所經(jīng)過的各增益、比較環(huán)節(jié)符號之積稱為該回路的增益?；ゲ唤佑|回路及其增益：如果兩個回路沒有任何公共點稱為兩個回路之間互不接觸，簡稱兩個互不接觸回路。兩個互不接觸回路各回路增益之積稱為兩個互不接觸回路增益。同理三個回路之間均無公共點稱為三個互不接觸回路，其各回路增益之積稱為三個互不接觸回路增益。以此類推。整理ppt基本概念（二）設系統(tǒng)共有個回路，則：若存在若干個兩個互不接觸回路，所有的兩個互不接觸回路增益之和記為N2(s)；若存在若干三個互不接觸回路，所有的三個互不接觸回路增益之和記為N3(s)；如此類推。約定：一個回路稱自身為一個互不接觸回路，其增益稱為一個互不接觸回路增益。那么具有個回路的系統(tǒng)各種互不接觸回路增益的總和：整理ppt基本概念（三）設系統(tǒng)有個回路，其系統(tǒng)的特征式表示為：前向通道及其增益：由輸入沿信息流動方向不重復地到達輸出的一個途徑稱為一個前向通道。該途徑所經(jīng)諸增益及比較環(huán)節(jié)符號的乘積稱為該前向通道增益。記為整理ppt基本概念（四）前向通道的余子式：對于某個前向通道，在特征式中令與其相接觸的所有回路增益為零，則剩余的式子稱為該前向通道的余子式。記第i條前向通道的余子式為如果一條前向通道和所有回路都接觸，其余子式一定為1；如果一個前向通道和所有回路都不接觸，其余子式一定等于特征式。整理ppt2.3.2.2梅森公式設方框圖的輸入為R(s)，輸出為C(s)，則傳遞函數(shù)為：整理ppt用梅森公式求取傳遞函數(shù)的步驟確定框圖的回路及其增益；確定互不接觸回路及其增益；求取特征式；確定前向通道增益及其余子式；代入梅森公式并整理。整理ppt梅森公式使用舉例（一）例2.5系統(tǒng)方框圖如圖，求L1L2Q1(s)Q2(s)Q3(s)整理ppt梅森公式使用舉例（二）例2.6差動放大器雙端輸出電路如圖，求整理ppt重要結論對于同一個框圖，若所指定的輸出變量為框圖內部的不同變量，但指定的輸入變量均為外輸入變量，則其特征式不變，均為該方框圖所求得的特征式。因此求uo1(s)/us2(s)，不需要重新求特征式。請大家求出前向通道，得到其傳遞函數(shù)。整理ppt2.3.3框圖的等效變換有時為了簡化框圖或者為了使框圖中只存在串、并、反饋基本聯(lián)接形式，需要對原有框圖進行等效變換，即不改變系統(tǒng)特性而改變方框圖的畫法稱為方框圖等效變換。這種變換從本質上講是梅森公式在方框圖內部的使用。整理ppt框圖變換的規(guī)則截取有效方框圖。將所求傳遞函數(shù)作為輸入信號的內部變量點斷開，將形成該輸入信號的相關方框圖去除，若在去除過程中發(fā)現(xiàn)有分支對指定輸出有作用則保留該斷點。對有效方框圖使用梅森公式求取包括斷點在內的所有傳遞函數(shù)。斷點作為有效方框圖的多輸入信號。直接使用梅森公式結果作為增益或將其進行數(shù)學變換成所希望的形式。整理ppt框圖變換舉例例2.7系統(tǒng)框圖如下，對B到A做框圖變換。整理ppt框圖變換舉例（續(xù)1）對其使用梅森公式得：整理ppt框圖變換舉例（續(xù)2）整理ppt2.3.4典型系統(tǒng)的框圖整理ppt閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式既約分式形式

時間常數(shù)形式零極點形式整理ppt閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取1.輸出對于擾動的閉環(huán)傳遞函數(shù)

2.偏差對輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)整理ppt閉環(huán)傳遞函數(shù)的求?。ɡm(xù)1）3.偏差對擾動的閉環(huán)傳遞函數(shù)4.根據(jù)疊加原理，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)整理ppt閉環(huán)傳遞函數(shù)的求?。ɡm(xù)2）5.系統(tǒng)偏差的傳遞函數(shù)整理ppt開環(huán)傳遞函數(shù)在開環(huán)情況下，反饋B(s)對誤差ε(s)間傳遞函數(shù)稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，記為G(s)。注意反饋環(huán)節(jié)也在其中。閉環(huán)系統(tǒng)開環(huán)后框圖整理ppt開環(huán)傳遞函數(shù)的形式與閉環(huán)傳遞函數(shù)相同，開環(huán)傳遞函數(shù)亦可表示成既約分式形式、零極點形式和時間常數(shù)形式。開環(huán)傳遞函數(shù)既約分式中分母的因子稱為開環(huán)極點，分子的因子稱為開環(huán)零點。整理ppt開閉環(huán)之間的關系設典型系統(tǒng)中前向通道增益為：反饋通道增益為：開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：整理ppt開閉環(huán)之間的關系（續(xù)1）前向通道的零點(M(s)的因子)既是開環(huán)零點又是閉環(huán)零點，而反饋通道的零點(P(s)的因子)只是開環(huán)零點而不是閉環(huán)零點。反饋通道的開環(huán)極點(Q(s)的因子)是閉環(huán)零點。說明當研究系統(tǒng)閉環(huán)后零點的影響時，單位反饋和非單位反饋可能有差別。整理ppt開閉環(huán)之間的關系（續(xù)2）系統(tǒng)的特征式：系統(tǒng)的特征多項式是開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)的分子、分母之和：系統(tǒng)的特征方程為：整理ppt2.3.5基本環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)1.比例環(huán)節(jié)：2.積分環(huán)節(jié)：3.微分環(huán)節(jié)：4.惰性環(huán)節(jié)：5.一階微分環(huán)節(jié)：整理ppt基本環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)（續(xù)1）6.二階振蕩環(huán)節(jié)：其中ξ稱為阻尼系數(shù)。二階振蕩環(huán)節(jié)的阻尼系數(shù)一定大于0而小于1。ωn稱為無阻尼振蕩角頻率。T稱為時間常數(shù)并為ωn的倒數(shù)。一對共軛復極點s1、s2整理ppt基本環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)（續(xù)2）7.二階微分環(huán)節(jié)：8.延遲環(huán)節(jié)：整理ppt2.4狀態(tài)變量模型狀態(tài)變量模型可以用于非線性、時變和多變量系統(tǒng)的研究。時變控制系統(tǒng)是指一個或多個系統(tǒng)參數(shù)隨時間而變化的系統(tǒng)。例如：在導彈飛行期間，由于燃料的消耗，導彈的質量會隨著時間的變化而不同。整理ppt2.4.1基本概念狀態(tài)：系統(tǒng)在時間域中運動信息的集合稱為狀態(tài)。狀態(tài)變量：一組變量，這組變量能夠保證一旦給定了系統(tǒng)的初始狀態(tài)和初始時刻的輸入就可以完全確定系統(tǒng)未來的狀態(tài)。狀態(tài)向量：將狀態(tài)變量視為一個向量的分量，則該向量稱為狀態(tài)向量。狀態(tài)空間：由狀態(tài)向量所構成的坐標系稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)空間方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)之間及與系統(tǒng)輸入變量之間關系的一階微分方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。整理ppt2.4.2狀態(tài)空間方程的一般形式系統(tǒng)的輸入向量為：輸出向量為：狀態(tài)向量為：則系統(tǒng)的狀變空間方程一般形式為：整理ppt各矩陣的含義A稱為系統(tǒng)矩陣，為一個n×n矩陣。它表述了系統(tǒng)內部狀態(tài)變量之間的關系。B稱為輸入矩陣，為一個n×m矩陣。它表明輸入對內部狀態(tài)變量的作用情況。C稱為輸出矩陣，為一個k×n矩陣。它表述了輸出與內部狀態(tài)變量之間的關系。D稱為前饋矩陣，為一個k×m矩陣。它表述了輸出與輸入的直接傳遞關系。整理ppt狀態(tài)空間的框圖狀態(tài)空間方程的框圖狀態(tài)方程由于是一階微分方程且每個方程僅有一個狀態(tài)變量的微分，因而用一個積分器來表示該狀態(tài)變量及其導數(shù)。

整理ppt2.4.3狀態(tài)空間方程的建立盡量使用導數(shù)的形式列寫原始方程組?？疾樵挤匠探M，凡有一階導數(shù)的變量設為狀態(tài)變量，若有高階導數(shù)則增設狀態(tài)變量。將原始方程組中各方程利用狀態(tài)變量改寫成只含一階導數(shù)的形式。消掉中間變量使每個方程的左側為狀態(tài)變量的一階導數(shù)，方程右側為狀態(tài)變量和輸入信號，則獲得系統(tǒng)的狀態(tài)方程。將方程左側列寫輸出變量，右側列寫狀態(tài)變量和輸入變量，則獲得輸出方程。整理ppt狀態(tài)空間方程的建立舉例例2.8列寫例2.1的狀態(tài)空間方程解：考查原始方程組中含有位移c(t)的一階導數(shù)，故令狀態(tài)變量為：方程中還有c(t)的二階導數(shù)，故令狀態(tài)變量：因此：整理ppt狀態(tài)空間方程的建立舉例（續(xù)1）表示成矩陣形式：整理ppt狀態(tài)空間方程的建立舉例（續(xù)2）例2.9倒立擺系統(tǒng)：設有一倒立擺安裝在馬達驅動車上。這實際上是一個空間起飛助推器的姿態(tài)控制模型（姿態(tài)控制問題的目的是要把空間助推器保持在垂直位置）?，F(xiàn)只考慮二維問題，即認為倒立擺只在圖所在的平面內運動?？刂屏作用于小車上，假設擺桿的重心位于其幾何中心，試求此系統(tǒng)的數(shù)學模型。

整理ppt狀態(tài)空間方程的建立舉例（續(xù)3）整理ppt狀態(tài)空間方程的建立舉例（續(xù)4）解：設桿偏離垂線的角度為θ，擺桿重心：為了導出系統(tǒng)的運動方程，把小車和擺桿隔離分析受力。(1) 擺桿圍繞其重心的轉動運動：I為擺桿圍繞其重心的轉動慣量為整理ppt狀態(tài)空間方程的建立舉例（續(xù)5）(2) 擺桿重心的水平運動：(3) 擺桿重心的垂直運動：(4) 小車的水平運動：整理ppt狀態(tài)空間方程的建立舉例（續(xù)6）因為必須保持倒立擺垂直，故可假設的量值很小，因此使得把上述方程線性化，后得到：最終化簡后得到的兩個方程，描述了車載倒立擺系統(tǒng)的運動，構成系統(tǒng)的數(shù)學模型。整理ppt狀態(tài)空間方程的建立舉例（續(xù)7）為求狀態(tài)空間，解出定義狀態(tài)變量以θ和x作為輸出變量，u作為輸入變量，則狀態(tài)空間為：整理ppt狀態(tài)空間方程的建立舉例（續(xù)8）整理ppt2.5各種模型間的轉換狀態(tài)空間方程的框圖表示狀態(tài)空間方程和傳遞矩陣整理ppt2.5.1狀態(tài)空間的框圖表示舉例例2.10畫出下面系統(tǒng)的框圖整理ppt2.5.2狀態(tài)空間方程和傳遞矩陣傳遞矩陣的概念：多輸入多輸出系統(tǒng)，在初始條件為零時，可求得其傳遞函數(shù)為：………………………………整理ppt傳遞函數(shù)矩陣的概念……表示成矩陣形式：簡記為：整理ppt由狀態(tài)方程得到傳遞函數(shù)矩陣設系統(tǒng)的狀變空間方程為：在零初始條件下進行拉氏變換有：可得：則傳遞函數(shù)矩陣為：整理ppt狀態(tài)方程得傳遞函數(shù)矩陣舉例例2.12設系統(tǒng)由下列狀態(tài)空間方程描述，求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。整理ppt求傳遞函數(shù)矩陣舉例（續(xù)1）解：由傳遞函數(shù)的表達式對于該問題的A、B、C、D為整理ppt求傳遞函數(shù)矩陣舉例（續(xù)2）整理ppt傳遞函數(shù)矩陣求法通過矩陣運算（書上介紹了Leverrier-Faddeeva遞推算法來求sI-A的逆陣）。由狀態(tài)空間方程畫出其方框圖再運用梅森公式求取閉環(huán)傳遞函數(shù)Hij(s)，從而求出傳遞函數(shù)矩陣。整理ppt系列設計：磁盤驅動器讀入系統(tǒng)整理ppt上一章我們?yōu)榇疟P驅動系統(tǒng)設置了一個初始的目標，將讀入磁頭準確地定位于期望的磁道