標準文檔標準文檔有用大全有用大全傅里葉分析之掐死教程〔〕更2023.06.06Heinrich·6個月前Heinrich·6個月前。12的，但是當時沒有來得及寫完就出國了……于是拖了兩年，嗯，我是拖延癥患者……這篇文章的核心思想就是：要讓讀者在不看任何數(shù)學公式的狀況下理解傅里葉分析?！材呀滩膶懙煤猛嬉稽c會死嗎？會死嗎？〕讀確定會有的覺察?！陨鲜嵌▓鲈姟旅孢M入正題：松、愉快得多……都統(tǒng)一用“正弦波”〔SineWave〕一詞來代表簡諧波。一、什么是頻域域。先舉一個公式上并非很恰當，但意義上再貼切不過的例子：在你的理解中，一段音樂是什么呢？能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：好的！下課，同學們再見。到而已。將以上兩圖簡化：時域： 頻域：而在頻域，只有那一個永恒的音符。所以你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。一首樂曲。里葉級數(shù)〔FourierSerie〕和傅里葉變換(FourierTransformation)，我們從簡潔的開頭談起。二、傅里葉級數(shù)(FourierSeries)的頻譜還是舉個栗子并且有圖有真相才好理解。90嗎？你不會，就像當年的我一樣。但是看看以以下圖：第一幅圖是一個郁悶的正弦波cos〔x〕其次幅圖是2個賣萌的正弦波的疊加cos(x)+a.cos(3x)4到了什么道理？〔只要努力，彎的都能掰直！〕而全部正弦波中下降的局部又抵消了上升到最高處時連續(xù)上升的局部使其變?yōu)椤采系郏何夷茏屇銈儾轮遥俊呈菦]玩耍就開頭有意思起來了。一個角度來看看：在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是全部正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個重量。這些正弦波依據(jù)頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個波的振幅都是不同的。確定有細心的讀者覺察了，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那并不是說，為了組成特別的曲線，有些正弦波成分是不需要的。。好了，關(guān)鍵的地方來了??！“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最根本單元。對于我們最常見的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的根本單元。時域的根本單元就是“1秒”，假設我們將一個角頻率為時域的根本單元就是“1秒”，假設我們將一個角頻率為的正弦波cos〔 t〕“0”cos〔0t〕是向下而不轉(zhuǎn)變波的外形。怎么定義正弦波的吧。始終在旋轉(zhuǎn)的圓想看動圖的同學請戳這里：File:Fourierseriessquarewavecirclesanimation.gif以及這里：File:Fourierseriessawtoothwavecirclesanimation.gif點出去的朋友不要被wikiwiki個模樣了：這是什么驚異的東西？也就是俗稱的頻譜，就是——再清楚一點：0，也就對應了圖中的彩色直線。振幅0動圖請戳：File:Fourierseriesandtransform.gif表達方法，而且，后面還會參與維基沒有表示出來的另一個譜——相位譜。那么你的腦海中會產(chǎn)生一個什么畫面呢？的，當時想想似懂非懂，直到有一天我學到了傅里葉級數(shù)……三、傅里葉級數(shù)〔FourierSeries〕的相位譜上一章的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看。這一章的關(guān)鍵詞是：從下面看。這段相比照較枯燥，已經(jīng)知道了的同學可以直接跳到下一個分割線。來進展信息傳輸。下面大家嘗試一件事：sin〔3x〕+sin〔5x〕的圖形。別說標準不標準了，曲線什么時候上升什么時候下降你都不愿定畫的對吧？好，畫不出來不要緊，我把sin〔3x〕+sin〔5x〕的曲線給你，但是前提是你不知道這個曲線的方程式，現(xiàn)在需要你把sin〔5x〕給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這根本是不行能做到的。但是在頻域呢？則簡潔的很，無非就是幾條豎線而已。為濾波，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到?！策@段有點難度，看不懂的可以直接跳過這段大學數(shù)學瞬間變小學算術(shù)有沒有。傅里葉分析固然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。下面我們連續(xù)說相位譜：沒有提到相位。根底的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，頻率，相位缺一不行，〔振幅譜是不夠的，7的位置離頻率軸有多遠呢？為了看離頻率軸的距離，并不是相位。2Pi或者360差。的相位譜?！?，就是Pi。由于cos〔t+Pi〕=-cos〔t〕，所以Pi所以相位差是周期的，pi3pi，5pi，7pi的值域為(-pi，piPi。最終來一張大集合：四、傅里葉變換〔FourierTransformation〕典型的例子。所謂的公式錯誤在哪里呢？〔離散的〕正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾經(jīng)在學數(shù)字信號處理的時候?qū)戇^一首打油詩：往昔連續(xù)非周期，回憶周期不連續(xù)，任你ZT、DFT，復原不回去?！舱垷o視我渣一樣的文學水平……〕往昔是一個連續(xù)的非周期信號，而回憶是一個周期離散信號。是否有一種數(shù)學工具將連續(xù)非周期信號變換為周期離散信號呢？內(nèi)疚，真沒有。的函數(shù)。這句話比較繞嘴，實在看著費事可以干脆回憶第一章的圖片。一個在頻域非周期的連續(xù)信號。或者我們也可以換一個角度理解：傅里葉傅里葉變換。所以說，鋼琴譜其實而是很多在時間上離散的頻率，但是這樣的一個貼切的比方真的是很難找出其次個來了。呢？你見過大海么？多的那幅圖，我們從頻率較高的方向看。以上是離散譜，那么連續(xù)譜是什么樣子呢？直到變得像波濤起伏的大海：擇了一些讓圖片更美觀的參數(shù)，不然這圖看起來就像屎一樣了。了積分符號。圖片，但是這里需要介紹到一個數(shù)學工具才能然故事連續(xù)，這個工具就是——五、宇宙耍帥第一公式：歐拉公式-1是它真正的意義是什么呢?這里有一條數(shù)軸，在數(shù)軸上有一個紅色的線段，它的長度是13候，它的長度發(fā)生了變化，變成了藍色的線段，而當它乘以-1的時候，就變成180180i呢——90同時，我們獲得了一個垂直的虛數(shù)軸。實數(shù)軸與虛數(shù)軸共同構(gòu)成了一個復數(shù)的平面，也稱復平面。這樣我們就了解到，式歐拉公式盛大登場——這個公式在數(shù)學領域的意義要遠大于傅里葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是由于它的特別形式——當x等于Pi的時候。這個公式在數(shù)學領域的意義要遠大于傅里葉分析，但是e，自然數(shù)10，虛數(shù)ipi，它是這么簡潔，這么秀麗?。　暗枪媚飩冃睦锿挥幸痪湓挘骸背魧沤z……“的涵義：六、指數(shù)形式的傅里葉變換正弦波的疊加螺旋線的疊加在實數(shù)空間的投影。而螺旋線的疊加假設用一個形象的栗子來理解是什么呢？光波牛頓師傅的三棱鏡試驗：意義。但不同的是，傅里葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率范圍有限的0的組合。這里，我們可以用兩種方法來理解正弦波：第一種前面已經(jīng)講過了，就是螺旋線在實軸的投影。另一種需要借助歐拉公式的另一種形式去理解：2，得到：這個式子可以怎么理解呢？以理解為一條順時針旋轉(zhuǎn)的螺旋線。而cos(t)則是這兩條旋轉(zhuǎn)方向不同的螺旋線疊加的一半，由于這兩條螺旋線的虛數(shù)局部相互抵消掉了！束光波，磁場抵消，電場加倍?！擦粢獠皇菑皖l率〕。續(xù)的螺旋線會是什么樣子：這么一個把簡潔的問題搞得很簡潔的東西。沒有顯示出來?！残D(zhuǎn)半徑〕，頻率〔旋轉(zhuǎn)周期〕以及相位。而將全部螺旋線連成平面，就是這幅海螺圖了。了，我們最終用一張圖來總結(jié)一下：好了，傅里葉的故事最終講完了，下面來講講我的故事：這篇文章第一次被寫下來的地方你們確定猜不到在哪，是在一張高數(shù)考試的卷子上。當時為了刷分，我重修了高數(shù)〔上〕，但是后來時間緊壓根沒復習，所以我就抱著裸考的心態(tài)去了考場。但是到了考場我突然意識到，無論如何我都不會比上次考的更好了，所以干脆寫一些自己對于數(shù)學的想法吧。于是用了一個小時左右的時間在試卷上洋洋灑灑寫了本文的第一草稿。你們猜我的了多少分？66分的成績是由于最終我實在C，應當是中了兩道，得到了這貴重的6分。說真的，我很期望那張卷子還在，但是應該不太可能了。那么你們猜猜我第一次信號與系統(tǒng)考了多少分呢？45沒錯，剛剛夠參與補考的。但是我心一橫沒去考，打算重修。由于那個學期在忙其他事情，學習真的就拋在腦后了。但是我知道這是一門很重要的課，無論如何我要吃透它。說真的，信號與系統(tǒng)這門課幾乎是大局部工科課程的根底，尤其是通信專業(yè)。時對中國人就是有種輕視，覺得你的教育不靠譜。所以沒方法，再來一遍吧。這次，我考了總分值，而及格率只有一半。狡猾說，數(shù)學工具對于工科生和對于理科生來說，意義是完全不同的。工科生只要理解了，會用，會查，就足夠了。但是很多高校卻將這些重要的數(shù)學課程教給數(shù)學系的教