1/15第十三章軸對稱13.3等腰三角形

13.3.1等腰三角形第1課時一、教學目標【知識與技能】掌握等腰三角形的性質(zhì),會運用性質(zhì)進行證明和計算.【過程與方法】經(jīng)歷觀察實驗、猜想證明,發(fā)展合情推理能力和演繹推理能力.【情感、態(tài)度與價值觀】通過同學間的合作與交流,體會在解決問題過程中與他人合作的益處,數(shù)學知識在生活中的用途.二、課型新授課三、課時第1課時，共2課時。四、教學重難點【教學重點】 理解并掌握等腰三角形的定義，探索等腰三角形的性質(zhì)和判定方法；能夠用等腰三角形的知識解決相應(yīng)的數(shù)學問題.【教學難點】 等腰三角形性質(zhì)和判定的探索和應(yīng)用.五、課前準備 教師：課件、三角尺、直尺、圓規(guī)等。學生：三角尺、直尺、圓規(guī)。六、教學過程（一）導入新課出示等腰三角形示例，學生觀看回顧相關(guān)知識（出示課件2）我們知道有兩邊相等的三角形叫等腰三角形,請同學們按下面的要求操作,如圖,把一張長方形的紙按圖中虛線對折,然后沿著虛線剪開,再把它展開,得到一個等腰三角形,通過折疊你發(fā)現(xiàn)了等腰三角形的那些性質(zhì)?（出示課件3）（二）探索新知1.師生互動，探究等腰三角形的性質(zhì)教師問1:把一張長方形的紙片按圖中虛線對折，并按教材要求剪去陰影部分，再把它展開，觀察AC和AB有什么關(guān)系？學生動手操作后回答：AC=AB。教師問2：上述過程得到的△ABC有什么特點？(出示課件5-6)學生回答：兩條邊AC與AB相等，是一個等腰三角形.教師問3：△ABC是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？（出示課件7）學生回答：△ABC是軸對稱圖形，折痕AD所在的直線是它的對稱軸.(3)回顧：什么是等腰三角形，等腰三角形中學過哪些重要線段？教師問4：把活動1中剪出的△ABC沿折痕AD對折，找出其中重合的線段，填入下表：重合的線段重合的角學生觀察討論后并完成下表（出示課件8）重合的線段重合的角

AB與AC∠B與∠CBD與CD∠BAD與∠CADAD與AD∠ADB與∠ADC教師問5：觀察上表，由這些重合的角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？

說一說你的猜想.

學生猜想1：等腰三角形的兩個底角相等.教師問6：如何證明我們的猜想是否正確呢？師生共同解答如下：已知：△ABC中，AB=AC,

求證：∠B=∠C.

教師問7：如何證明兩個角相等呢？學生討論后回答：可以運用全等三角形的性質(zhì)“對應(yīng)角相等”來證.教師問8：這里只有一個三角形，全等三角形需要兩個三角形.如何構(gòu)造兩個全等的三角形？（出示課件9）師生共同討論后解答如下：（出示課件10）方法一：作底邊上的中線.證明：作底邊的中線AD，則BD=CD.

在△BAD和△CAD中AB=AC(已知)，BD=CD(已作)，

AD=AD(公共邊)，∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).教師問9：還有其他的證法嗎？師生討論后得到如下答案：（出示課件11）方法二：作頂角的平分線證明：作頂角的平分線AD，

則∠BAD=∠CAD.

在△BAD和△CAD中AB=AC(已知),∠BAD=∠CAD(已作),AD=AD(公共邊),∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).教師問10：由△BAD≌△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你還可以得到哪些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？學生小組內(nèi)討論后得到如下答案：（出示課件12）解：∵△BAD≌△CAD，由全等三角形的性質(zhì)易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.

又∵∠ADB+∠ADC=180°，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

即AD是等腰△ABC底邊BC上的中線、頂角∠BAC的角平分線、底邊BC上的高線.總結(jié)點撥：（出示課件13）性質(zhì)1:等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角).如圖,在△ABC中,

∵AB=AC(已知),

∴∠B=∠C(等邊對等角).

性質(zhì)2:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(三線合一）.

（出示課件14）數(shù)學語言：如圖,在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，

∴BD=CD,AD⊥BC.（等腰三角形三線合一）

∵AB=AC,BD=CD(已知)，

∴∠1=∠2,AD⊥BC.（等腰三角形三線合一）∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，

∴BD=CD,∠1=∠2.（等腰三角形三線合一）教師問11：畫出任意一個等腰三角形的底角平分線、這個底角所對的腰上的中線和高，看看它們是否重合？

學生作圖如下：教師問12：如果是底角的平分線和他所對的腰上的高、中線具有這個性質(zhì)嗎？學生作圖并且比較后回答：不具有三線合一的性質(zhì).作圖如下：（出示課件15）例1：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).

（出示課件17）師生共同解答如下：分析：（1）找出圖中所有相等的角；∠A=∠ABD,

∠C=∠BDC=∠ABC；（2）指出圖中有幾個等腰三角形？△ABC,△ABD,△BCD.

（3）觀察∠BDC與∠A、∠ABD的關(guān)系，∠ABC、∠C呢？（出示課件18）

∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,

∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A.

（4）設(shè)∠A=x,請把△ABC的內(nèi)角和用含x的式子表示出來.

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°.

出示課件19：解：∵AB=AC，BD=BC=AD，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.

設(shè)∠A=x，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,

從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.

于是在△ABC中，有

∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.

解得x=36°.

∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.

總結(jié)點撥：在含多個等腰三角形的圖形中求角時，常常利用方程思想，通過內(nèi)角、外角之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解.

例2：等腰三角形的一個內(nèi)角是50°，則這個三角形的底角的大小是()（出示課件22）A．65°或50°B．80°或40°

C．65°或80°D．50°或80°

解析：當?shù)妊切蔚捻斀鞘?0°，則這個三角形的底角的大小是（180°-50°）÷2=130°÷2=65°；當?shù)妊切蔚囊粋€底角是50°，則這個三角形的頂角的大小是180°-50°×2=80°，所以底角是65°或50°，故選A.總結(jié)點撥：等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內(nèi)角，則這個角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．例3：已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.（出示課件24）(1)如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；

(2)如圖②，若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，求證：AF⊥BC.

圖②圖②圖①師生共同解答如下：（出示課件25）證明：(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴BG＝CG，DG＝EG，

∴BG–DG＝CG–EG，

∴BD＝CE；

(2)∵BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，

∴BD＋DF＝CE＋EF，

∴BF＝CF.

∵AB＝AC，∴AF⊥BC.

總結(jié)點撥：在等腰三角形有關(guān)計算或證明中，有時需要添加輔助線，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．

（三）課堂練習（出示課件30-35）1.等腰三角形有一個角是90°，則另兩個角分別是（）

A．30°，60°B．45°，45°

C．45°，90°D．20°，70°

2.如圖，在△ABC中，AB=AC，過點A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為（）

A．40°B．30°C．70°D．50°3.(1)等腰三角形一個底角為45°,它的另外兩個角為__________________；

(2)等腰三角形一個角為36°,它的另外兩個角為____________________；

(3)等腰三角形一個角為120°,它的另外兩個角為___________________.

4.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為50°，則底角的大小為___________．5.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，∠B=30°，求∠BAD和∠ADC的度數(shù).

6.如圖，已知△ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線，且∠DBC＝∠F，求證：EC∥DF.

7.A、B是4×4網(wǎng)格中的格點，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，請在圖中標出使以A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形的所有格點C的位置．參考答案：1.B2.A3.(1)45°,90°；(2)72°,72°或36°,108°；（3）30°，30°4.70°或20°5.解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=30°，

∵BD=CD，∴AD⊥BC,

∴∠ADB=∠ADC=90°.

∴∠BAD=90°–∠B=60°.

6.證明：∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE為底角的平分線，

∴∴∠DBC＝∠ECB.

∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.

7.解答如下圖：分別以A、B、C為頂角頂點來分類討論！共8個.（四）課堂小結(jié)今天我們學了哪些內(nèi)容:1.等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角)2.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(三線合一)（五）課前預(yù)習預(yù)習下節(jié)課（13.3.1）77頁到78頁的相關(guān)內(nèi)容。知道等腰三角形的判定定理七、課后作業(yè)1、教材77頁練習1,22、如下圖所示,D為BC上一點,且AB=AC=BD,則圖中∠1與∠2的關(guān)系是()A.∠1=2∠2B.∠1+∠2=180°C.∠1+3∠2=180°D.3∠1-∠2=180°八、板書設(shè)計：九、教學反思：1.本節(jié)課的是等腰三角