第三章

導(dǎo)數(shù)反其應(yīng)用

§3.1變化率與導(dǎo)數(shù)

§3.1.1變化率問(wèn)題

§3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

［課標(biāo)解讀］

1.通過(guò)具體的自然現(xiàn)象，認(rèn)識(shí)函數(shù)的平均變化率.

2.了解瞬時(shí)速度與平均速度的關(guān)系，進(jìn)而了解瞬時(shí)變化率與平均變化率的

關(guān)系，知道瞬時(shí)變化率即為導(dǎo)數(shù).(難點(diǎn))

3.理解并掌握導(dǎo)數(shù)的定義，并體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵.(重點(diǎn))

I課前預(yù)習(xí)案?核心素養(yǎng)養(yǎng)成|---------------

，教材知識(shí)知理三三三三三三三三三三三三三

1.函數(shù)y==/(*)從Xi到x2的平均變化率

⑴定義式：§

(2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比.

⑶意義：刻畫(huà)函數(shù)值在區(qū)間X21上變化的快慢.

2.函數(shù)y=/(x)在x=*o處的瞬時(shí)變化率

Ajf（x（＞+△"）-f（X。）

定義式

Ax_

瞬時(shí)變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時(shí)，平均變化率趨

實(shí)質(zhì)

近的值

3.導(dǎo)數(shù)的概念

Ajf（xo+Ax）-f（即））

定義式

△xAx

記法—或y'|x=x()

實(shí)質(zhì)函數(shù)y=/(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是y=/(x)在x=xn處的瞬時(shí)變化率

?核心要點(diǎn)探究三三三三三三三三三三三三三三三

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的平均變化率

0。42

探究1:觀察右圖，回答下列問(wèn)題，明確平均變化率的定義.

⑴圖中已知的兩點(diǎn)分別是(和，危3)與(*2,m3),在區(qū)間［勺，M］上，自變

量的改變量是工二且，函數(shù)值的改變量是/(X2)—/U1).

(2)根據(jù)(1)中的內(nèi)容考慮，此函數(shù)在區(qū)間［X］,M］的平均變化率是什么？

提示由圖結(jié)合⑴可知，此函數(shù)在區(qū)間［?,町］上的平均變化率為

必一31

Ayf—f(xi)

探究2：據(jù)平均變化率的定義及表達(dá)式人，回答下列問(wèn)

△x必一X1

題：

⑴表達(dá)式中Ax,Ay的取值情況是怎樣的？

提示Ax是自變量從xi到處的增量，可以用Xi+Ax代替必，Ax可以是

正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，但不能為零，Ay是相應(yīng)函數(shù)值的增量，它可以為正，也

可以為負(fù)，也可以為零，當(dāng)/(x)為常數(shù)函數(shù)時(shí)，△)=().

(2)函數(shù)y=Ax)從內(nèi)到x2的平均變化率/=>(?)-，5)的幾何意義是

4XX2-X\

什么？

提示連接函數(shù)圖像上對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的割線(xiàn)的斜率.

知識(shí)點(diǎn)二物體在某一時(shí)刻的平均速度、瞬時(shí)速度與函數(shù)的瞬時(shí)變化率與

導(dǎo)數(shù)

探究1:根據(jù)平均速度與瞬時(shí)速度的定義探究以下問(wèn)題：

(1)如何計(jì)算物體的平均速度？

提示一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=s(f),則它在出，打］這個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均速度

(2)如何計(jì)算物體的瞬時(shí)速度？

提示瞬時(shí)速度：一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=s(f),則它在to時(shí)刻的瞬時(shí)速度

s(訪(fǎng)+Af)-s(4)

△/,

探究2：根據(jù)函數(shù)的瞬時(shí)變化率與在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義，回答下列問(wèn)題：

(1)瞬時(shí)變化率與平均變化率的關(guān)系是什么？它們的物理意義分別是什么？

提示瞬時(shí)變化率是平均變化率在Ax無(wú)限趨近于0時(shí)，先無(wú)限趨近的值;

瞬時(shí)變化率的物理意義是指物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，平均變化率的物理意義是指

物體運(yùn)動(dòng)的平均速度.

(2)瞬時(shí)變化率與函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是什么？

提示函數(shù)在某點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率就是函數(shù)在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

|鏢堂探究案?核心素養(yǎng)提升|---------------

題型一求函數(shù)的平均變化率

［例1］求函數(shù)y=/(x)=3f+2在區(qū)間［孫，孫+△幻上的平均變化率，并求

當(dāng)x(,=2,Ax=0.1時(shí)平均變化率的值.

【自主解答】函數(shù)y=f(x)=3x2+2在區(qū)間［xo,必+△幻上的平均變化率

為于(xo+Ax)-于(*())_［3(x()+Ax)2+2］—(3/+2)_

''(xo+Ax)—Ax

6x()?Ax+3(Ax)2

--------藪-------=6xo+3Ax.

當(dāng)x(,=2,Ax=0.1時(shí)，函數(shù)7=3爐+2在區(qū)間［2,2.1］上的平均變化率為6X2

+3X0.1=12.3.

?規(guī)律總結(jié)

求平均變化率可根據(jù)定義代入公式直接求解，解題的關(guān)鍵是弄清自變量的

增量與函數(shù)值的增量Ay,求平均變化率的主要步驟是：

(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量Aj=/(xi)—/(xo).

(2)再計(jì)算自變量的改變量Ax=xi—x0.

△-/Go)

(3)得平均變化率

AxXi-x()

o變式訓(xùn)練

1.求y=2f+i在xo到xo+之間的平均變化率，并求刈=1,△*=；時(shí)

函數(shù)的平均變化率的值.

解析當(dāng)自變量從Xo變到Xo+Ax時(shí)，函數(shù)的平均變化率為

f(x+Ax)—f(xo)[2(x()+Ax)2+l]—(2x?+l)

------0-------；---------------=--------------------；---------------------=4x+2Ax.

△xAx0

當(dāng)Xo=l,時(shí)，函數(shù)的平均變化率的值為4Xl+2x1=5.

題型二求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

[例2](1)函數(shù)y=正在》=1處的導(dǎo)數(shù)為.

⑵如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)由定點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t的位移函數(shù)為y=f(t)=t3+3,

①當(dāng)fi=4,△f=0.01時(shí)，求Ay和比值

②求4=4時(shí)的導(dǎo)數(shù).

Ay41+Ax-1______1_____

【自主解答】(l)Ay=、l+Ax-l,

A*-Ax-^1+Ax+1，

1_1

^1+Ax+12,

所以y%=i=；.

(2)①△y=#i+Af)-/Ui)=34?△/+3tl?(Af)2+(Af)3,故當(dāng)6=4)

LAj

=0.01時(shí),Aj=0.481201,大=48.1201.

②詈=[3力+3fl?Af+(A/)2]=3zt=48,

故函數(shù)y=/+3在/i=4處的導(dǎo)數(shù)是48,即V%=4=48.

【答案】(1)|(2)見(jiàn)自主解答

?規(guī)律總結(jié)

1.求函數(shù)尸/1(X)在點(diǎn)力處的導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟

求函數(shù)的增量

2.瞬時(shí)變化率的幾種變形形式

/(孫+Ax)—/(xo)

Ax

_f(Xo-Ax)-f(Xo)

—△x

_f(M+〃AX)-f(Xo)

71Ax

_f(x()+AX)—f(xp-AX)

2Ax

=ra。).K

。變式訓(xùn)練

2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)求函數(shù)y=f+3在x=l處的導(dǎo)數(shù)；

(2)求函數(shù)在x=a(aW0)處的導(dǎo)數(shù).

解析(l)Ay=/U+△%)-/U)=[(l+Ax)2+3]—(12+3)=2Ax+(Ax)2,???

△j2Ax+(Ax)2

/=-----X--------=2+Ax.

△xAx

??yf|x=i=(24-Ax)=2.

(2)Ay=/(a+Ax)-/(a)

11〃一(a+Ax)

a+Axaa(a+Ax)

Ax

a(a+Ax)?

.Aj&x.L]

*Axa(a+Ax)Axa(a+Ax)

=-

"k=a=-a(a+Ax)7*

題型三求瞬時(shí)速度

29+3(/-3)2,00<3,

［例3］若一物體的運(yùn)動(dòng)方程為5=

3/+2,。3,

(路程單位：m,時(shí)間單位：s).求：

(1)物體在f=3s到t=5s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；

⑵物體在t=ls時(shí)的瞬時(shí)速度.

【解析】(1)因?yàn)锳s=3X52+2-(3X32+2)=48,Z=2,所以物體在t

As48

到，這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為

=3s=5sx△;t=5=/24(in/s).

⑵因?yàn)锳s=29+3］(l+At)-3f-29-3義(1一3)2=3(-)2—12—,所以其

3(A'L12kt=3AtT2,則物體在t=ls時(shí)的瞬時(shí)速度為

,As

s'(1)=—=(3Af-12)=-12(m/s).

?規(guī)律總結(jié)

1.求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟

(1)求時(shí)間改變量△，和位移改變量△$=$(%+Ao—sao).

__Ac

(2)求平均速度v=-.

(3)求瞬時(shí)速度，當(dāng)△，無(wú)限趨近于0時(shí)，*無(wú)限趨近于常數(shù)2即為瞬時(shí)速

度.

2.求言(當(dāng)Ax無(wú)限趨近于0時(shí))的極限的方法

⑴在極限表達(dá)式中，可把△工作為一個(gè)數(shù)來(lái)參與運(yùn)算.

(2)求出普的表達(dá)式后，無(wú)限趨近于0就是令△*=(),求出結(jié)果即可.

O變式訓(xùn)練

3.一個(gè)小球自由下落，它在下落3秒時(shí)的速度是多少？并說(shuō)明它的意義(重

力加速度為9.8m/s2).

解析自由落體的運(yùn)動(dòng)公式是(其中g(shù)是重力加速度)，

3,,△S

△S=S(3+A/)-S(3)=4.9(3+A0-4.9X32=29.4Ar+4.9(A0,"^7=29.4

+4.9Ar.

..As

所以0=A7=(29.4+4.9At)=29.4(m/s).

說(shuō)明在第3秒附近小球以29.4m/s的速率下降.

I短蠹補(bǔ)救案?核心素養(yǎng)培優(yōu)|---------------

易錯(cuò)誤區(qū)(七)導(dǎo)數(shù)的概念理解不明

O典題示例

［典例］已知人幻在x=x(,處的導(dǎo)數(shù)為4,貝J/5+2A?T(X。'=

于(xo+2Ax)-/Go)

【解析】

△x

f(xo+2Ax)—/Go)

X2

2Ax

_f(x0+2Ax)-f(xo)

=2TKi

=2f(x0)=2X4=8.

【答案】8

［易錯(cuò)防范］

1.本題中x的增量是2Ax,即(必+2Ax)—Xo=2Ax,而分母為Ax,兩者

不同，若忽視這一點(diǎn)，則易得出結(jié)論為4的錯(cuò)誤答案.

2.在導(dǎo)數(shù)的概念中，增量的形式是多種多樣的，但無(wú)論是哪種形式，分子

中自變量的增量與分母中的增量必須保持一致，常見(jiàn)的形式還有:

f(x—Ax)—f(x)f(X—Ax)—f(x)

00O0?

△Ix=__AIx=—/(vxo)

。典題試解

若函數(shù)人外在X=Q的導(dǎo)數(shù)為機(jī)，那么

f(a+2Ax)-f(a-2Ax)

的值為

△x

f(a+2Ax)-f(a-2Ax)

解析

Ax

f(a+2Ax)—于(a)+/(a)—于(a-2Ax)

-Ax

_f(r+2Ax)-f(r)于(r)—f(a-2Ax)

△xAx

f(〃+2Ax)—f(a)f(a—2Ax)—f(〃)

=22A^+2-2AX

=2in+2in=4m.

答案4機(jī)

I陲提升案?核心素養(yǎng)達(dá)成I----------------

［限時(shí)40分鐘；滿(mǎn)分80分］

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=2*+5,則在時(shí)間(3,3+At)中，相應(yīng)的平均速度等

A.6+AfB.12+A?+v：

C.12+2AfD.12

皿"As[2(3+At)2+5]—(2X32+5)

解析Tt----------------------工--------

答案C

八*口mf(Xo+/l)—f(Xo)

2.1/U)在x=xo處可導(dǎo)，貝!]--------%-------

A.與xo、h有關(guān)

B.僅與Xo有關(guān)，而與人無(wú)關(guān)

C.僅與人有關(guān)，而與xo無(wú)關(guān)

D.與xo、人均無(wú)關(guān)

解析小y(*。)=八城,因此僅與X。有關(guān).

答案B

3.質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s=2，+3做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)(位移單位：m,時(shí)間單位：s),則

質(zhì)點(diǎn)M在f=2s時(shí)的瞬時(shí)速度是

A.2m/sB.6m/sC.4m/sD.8m/s

2(2+At)2+3—(2X22+3)

解析v=--------------------T,-------------------

8A/+2A-

=(8+2A0=8(m/s).

Lt

答案D

4.函數(shù)曠=/在xo到x()+Ax之間的平均變化率為A”在M一Ax到孫之

間的平均變化率為伍，則島與k的大小關(guān)系為

A.k\>kiB.k\<kz

C.ki=kzD.不確定

fGo+Ax)-fGo)Go+Ax)2-/

解析ki==2xo4~△x,ki=

Ax△x

于(%o)-fGo-Ax)Ax)2

—7=2x()—Ax.因?yàn)锳x可大于零也可小

△x

于零，所以島與魚(yú)的大小不確定.

答案D

f(1+Ax)—f(1)

5.設(shè)函數(shù)在x=l處存在導(dǎo)數(shù)，則八】十」

A.f(1)B.3f(1)

C.jf(1)D.f'(3)

1

f(l+Ax)―/⑴-(1+Ax)—f(1)1

解析3

3Ax---蠟，廣⑴?

答案C

6.在曲線(xiàn)3>=/+1上取一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)(1+Ax,2+Aj),則仄"為

Ax+B.Ax2

A，Ax+2△x

C.Ax+2D.2+△%—7—

△x

解析Ay=/U+Ax)一阻)=(1+AX)2+1—(12+1)=(AX)2+2AX.，W

=Ax+2.

答案C

二、填空題(每小題5分，共15分)

7.設(shè)函數(shù)/(x)=ax+3,若/(1)=3,則a等于.

,f(x+Ax)—f(x)

解析Vf(x)==^----------元廠(chǎng)—

a(x+Ax)+3-(ar+3)

==a,

：.f(l)=a=3.

答案3

8.將半徑為R的球加熱，若半徑從1?=1到1?=機(jī)時(shí)球的體積膨脹率(體積

2A冗

的變化量與半徑的變化量之比)為丁，則m的值為.

AT-4n,4n34n,

解析V△丫=飛-帆3一亍*13=—(/n3-l),

4n.,、

."T)_28TT

*'TR=m-l=^->

即機(jī)2+機(jī)+1=7,解得m=2或，〃=—3(舍去).

答案2

9.如圖是函數(shù)y=f(x)的圖像，則函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2］上的平均變化率為

解析由函數(shù)/(x)的圖像知,

x+3

―,-iWxWl,

fix)-所以，函數(shù)人x）在區(qū)間［0,2］上的平均變化率為

x+1,l<x<3.

3_3

f(2)~f(0)2_3

2-0=-2-=4,

答案!

三、解答題（共35分）

10.（10分）在曲線(xiàn)9=八*）=爐+3上取一點(diǎn)P（l,4）及附近一點(diǎn)（1+Ax,4

+△》）?

求：⑴篝Q）尸⑴.

Ay/(1+Ax)—/(l)

解析⑴?

△xAx

(1+Ax)2+3-(l2+3)

=2+Ax.

△x

f(1+Ax)—/(1)

（）（）=(2+Ax)=2.

2ri=△x

IL（10分）若函數(shù)_/（x）=2x2+4x在x=xo處的導(dǎo)數(shù)是8,求*（）的值.

解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：

'**△y=Ax0+Ax)—y(xo)

=[2(x()+AX)2+4(X()+AX)]—(2XXO+4X())

=2(AX)2+4X()AX+4AX,

,△J

:?/(x0)=lim(

2(Ax)2+4XOAX+4AX

=lim

△x

=lim（2Ax+4xo+4）=4xo+4.

?V（XO）=4*O+4=8,解得X0=1.

12.（15分）設(shè)質(zhì)點(diǎn)做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，已知路程s是時(shí)間，的函數(shù)：

s=3?+2/+l.

⑴求從f=2到f=2+At的平均速度，并求當(dāng)Af=LAf=（）.l與Af=0.01

時(shí)的平均速度;

⑵求當(dāng)，=2時(shí)的瞬時(shí)速度.

解析（1）從，=2到f=2+Af內(nèi)的平均速度為:

Ass（2+At）-s（2）

3（2+At）2+2（2+△/）+1-3><4-2><2—1

一Lt

14AH~3⑶）2

-=14+3At

Lt

當(dāng)At=l時(shí)，平均速度為14+3X1=17.

當(dāng)Af=0.1時(shí)，平均速度為14+3X0.1=14.3.

當(dāng)Ar=0.01時(shí),平均速度為14+3X0.01=14.03.

△s

（2*=2時(shí)的瞬時(shí)速度為：0=石=（14+3A0=14.

§3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

［課標(biāo)解讀］

1.了解導(dǎo)函數(shù)的概念；理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.（難點(diǎn)）

2.會(huì)求導(dǎo)函數(shù).（重點(diǎn)）

3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.（重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)）

I課前預(yù)習(xí)案?核心素養(yǎng)養(yǎng)成卜

?教材贈(zèng)梳理三三三三三三三三三三三三三三三

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

⑴切線(xiàn)的概念：如圖，對(duì)于割線(xiàn)PH”當(dāng)點(diǎn)P,,趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線(xiàn)BP”趨

近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線(xiàn)互稱(chēng)為點(diǎn)尸處的切線(xiàn).

⑵導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)於)在*=戈。處的導(dǎo)數(shù)就是切線(xiàn)PT的斜率A,即A

]in「J（Xo+Ax）-f（孫）

△5Ax=于（皿

2.導(dǎo)函數(shù)的概念

(1)定義：當(dāng)X變化時(shí)，￡但便是X的一個(gè)函數(shù)，我們稱(chēng)它為/(X)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)

稱(chēng)導(dǎo)數(shù)).

、_、，_??_[mif(x+Ax)—f(x)

(2)記法：/(x)或曠，即/(x)=y=dL(f^----------Ax

*楂心要點(diǎn)探究三三三三三三三三三三三三三1三

知識(shí)點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義

探究1:觀察圖形，思考下列問(wèn)題，明確切線(xiàn)與割線(xiàn)的關(guān)系.

(1)當(dāng)Pi，P2,P3，…，P"的位置逐漸靠近點(diǎn)P時(shí)，割線(xiàn)尸尸"的位置與PT

的位置有什么關(guān)系？

提示割線(xiàn)PP”逐漸接近PT.

⑵設(shè)點(diǎn)P(xo,yo)，P?(X?,j?),則APH,是多少？你能知道Apr是多少嗎？

(X，，)f(XU)

提示據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式知kPPn=^^-^~,kPT的值不

X?—XoX?—Xo

知道，但當(dāng)P”接近于點(diǎn)P時(shí)，割線(xiàn)PH,接近于PT,可以用A尸尸.近似地表示kPT.

探究2：據(jù)切線(xiàn)的定義，探究以下問(wèn)題.

(1)曲線(xiàn)“在點(diǎn)P處的切線(xiàn)”與“過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)”的差異是什么？

提示在點(diǎn)P處的切線(xiàn)，點(diǎn)尸必為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的切線(xiàn)，點(diǎn)P不一定是切

點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在曲線(xiàn)上.

(2)過(guò)一點(diǎn)與一條曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)只有一條嗎？

提示不一定，如過(guò)點(diǎn)(0,—1)與7=加?(>>0)相切的直線(xiàn)有兩條.

知識(shí)點(diǎn)二導(dǎo)函數(shù)的概念

探究1：據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義，探究以下問(wèn)題：

(1)已知函數(shù)y=*2,完成下表：

Xi23456

r(x)24681012

(2)據(jù)(1)中的表格，根據(jù)函數(shù)的定義考慮/(幻是否是關(guān)于x的函數(shù)？

提示是，由函數(shù)的定義知，當(dāng)x取某一個(gè)數(shù)時(shí)，(x)都有唯一的數(shù)與之

對(duì)應(yīng)，故7(x)是關(guān)于x的函數(shù).

探究2：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的概念，回答下列問(wèn)題：

(1),=/(%)=/與7=/(外=2*的定義域是否相同？

提示相同，均為R.

(2)對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如何求其導(dǎo)函數(shù)？

提示求導(dǎo)函數(shù)的依據(jù)是函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的求法，即可利用y'=f{x)=

f(x+Ax)—f(x)g；M

直來(lái)函數(shù)的導(dǎo)函5數(shù).

課堂探究案?核心素養(yǎng)提升卜

題型一求過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)的方程

[例1]已知曲線(xiàn)求曲線(xiàn)在點(diǎn)p(3,9)處的切線(xiàn)方程.

【自主解答】由y=$3,得

A](x+Ax)3—

,=&=3-------------------L

AxAx

13X2AX+3X(AX)2+(Ax)3

-3Ax

=1[3x2+3x△x+(△x)2]=x2,

yr[=3=32=9,

即曲線(xiàn)在P(3,9)處的切線(xiàn)的斜率等于9.

由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得，所求切線(xiàn)方程為

j—9=9(x—3),即9x—j—18=0.

?規(guī)律總結(jié)

1.求曲線(xiàn)上某一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程的三個(gè)步驟

2.求過(guò)曲線(xiàn)y=/(x)外一點(diǎn)P(xi,力)的切線(xiàn)方程的六個(gè)步驟

⑴設(shè)切點(diǎn)(xo,/(xo)).

f（Xo+Ax）-f（X0）

⑵利用所設(shè)切點(diǎn)求斜率k=f(x)=

0Ax

⑶用（Xo,/（xo））,P（X1,yi）表示斜率.

(4)根據(jù)斜率相等求得M,然后求得斜率

⑸根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程.

⑹將切線(xiàn)方程化為一般式.K

。變式訓(xùn)練

1.求曲線(xiàn)7=/(幻=/+1過(guò)點(diǎn)尸(1,0)的切線(xiàn)方程.

5上「、”，！?、，2,f(。+△*)~f(a)

解析設(shè)切點(diǎn)為Q(a,a+1),---------------------------=

(a+Ax)?+1—(/+1)

--------------------------------—=2a+Ax,當(dāng)△工趨于0時(shí)，(2a+Ax)趨近于2a,

(/+1)—0r-

所以，所求切線(xiàn)的斜率為2a.因此「I——=2a,解得a=l±\R,所求的切

線(xiàn)方程為y=(2+2/氏一(2+2啦)或y=(2—2gx—(2—2g.

題型二求切點(diǎn)坐標(biāo)

W1

［例2］⑴已知曲線(xiàn)尸千的一條切線(xiàn)的斜率為;，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為

⑵曲線(xiàn)y=/+l在點(diǎn)p(*o,則)處的切線(xiàn)斜率為2,求點(diǎn)尸(小，川)的坐標(biāo).

(x+Ax)2x2

_..i，*2~442x+Axx

【自主解答】(1)因?yàn)閥=w，所以y'=n==2-

令］=；,得x=l,所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,；).

(2)設(shè)-nA?幻="2.+1,則■/--(-X-(-)+--A-x-)--—--f--(x-o-)-

(*o+Ax)2+1一看一1

—Ax+2xo,

△x

“?.fGo+Ax)(x())...,.

當(dāng)Ax—0時(shí)，--------屋［-----f2x0.令2xo=2,解得必=1.所以點(diǎn)P

的坐標(biāo)為(1,2).

【答案】(1)(1，(2)見(jiàn)自主解答

?規(guī)律總結(jié)

曲線(xiàn)切點(diǎn)坐標(biāo)的求法

(1)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(xo,泗);

⑵求導(dǎo)數(shù)尸(x)；

⑶求切線(xiàn)的斜率/(Xo);

(4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于xo的方程，求出xo；

⑸由于點(diǎn)(xo,y())在曲線(xiàn)/(x)上，將(xo,則)代入求得加的值，得切點(diǎn)坐標(biāo)(M,

O變式訓(xùn)練

2.已知曲線(xiàn)y=2W+a在點(diǎn)p處的切線(xiàn)方程為8x—y—15=0,求切點(diǎn)P的

坐標(biāo)和實(shí)數(shù)。的值.

解析設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(Xo,jo),切線(xiàn)斜率為A.

llITlAylini[2(x+Ax)2+a]—(2x2+a)

由曠=、工以=△工-i

lim

=△「()(4x+2Ax)=4x,得女=y'|x=x()=4xo.

根據(jù)題意得4xo=8,x0=2,

a=-7,

分別代入^=2爐+。和y=8x—15,得見(jiàn)=8+。=1,得，故所求切

Uo=L

點(diǎn)為PQ,1),a=-7.

題型三導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

[例3](1)曲線(xiàn)和在它們交點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)與x軸所圍成的三角

形面積是.

⑵求拋物線(xiàn)G：y=f+2x與拋物線(xiàn)。2：尸一/一;的公切線(xiàn)方程.

產(chǎn)》得

【解析】⑴由’所以曲線(xiàn)曠=,和y=*2的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,

尸一，產(chǎn)1,工

1),的導(dǎo)數(shù)為

1_1-Ax

linix+Axx1im(x+Ax)x1

A(.I-=ARf(17=~~~2

AxAxX

所以y%.i=-1,切線(xiàn)方程是y=—x+2,

11m(x+Ax)2—

2f

y=x的導(dǎo)數(shù)為-------------=2x,y|x=i=2,切線(xiàn)方程為y

=2x—1,兩條切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,0)和0),故它們與％軸所圍

133

成的三角形的面積S=TX-X1=T.

(2)對(duì)曠=—+21求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，y'=2x+2,對(duì)y=—/一；求

導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，y'=-2x,設(shè)公切線(xiàn)與拋物線(xiàn)G：J=X2+2X的切

點(diǎn)為(xo,jo),與拋物線(xiàn)。2：y=-V—1的切點(diǎn)為(*[,刈)，

r—

JiJo=(2x0+2)(X(—Xo),

Xl=—Xo-1,

依題意可得方程組〈yo=xW+2xo,

解得Xo=_；,Jo=-4?

所以公切線(xiàn)方程為y+(=2X(-；)+2&

即4x—4j—1=0.

【答案】⑴；(2)見(jiàn)解析

?規(guī)律總結(jié)

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義處理綜合應(yīng)用題的兩種思路

(1)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相關(guān)的題目往往涉及解析幾何的相關(guān)知識(shí)，如直線(xiàn)的

方程、直線(xiàn)間的位置關(guān)系等，因此要綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解題.

(2)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相關(guān)的綜合問(wèn)題解題的關(guān)鍵是函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，

已知切點(diǎn)可以求斜率，已知斜率也可以求切線(xiàn)，切點(diǎn)的坐標(biāo)是常設(shè)的未知量.

O變式訓(xùn)練

3.設(shè)函數(shù)/(x)=x3+ax2—9*—l(a<0),若曲線(xiàn)y=/(x)的斜率最小的切線(xiàn)與

直線(xiàn)12x+y=6平行，求a的值.

解析VAj=/(x0+Ax)—/(x0)

=(xo+Ax)3+a(xo+Ax)2-9(xo+Ax)—1—(xo+ax()-9xo—1)

=(3xl+2axo—9)Ax+(3x()+a)(Ax)2+(Ax)3,

=3xo+2ax0—9+(3xo+a)Ax+(Ax)2.

△x

!黑卷=3襦+2睜-9

即f(xQ)=3xo+2ax()—9=3Go+§

當(dāng)x()=一：時(shí)，r(xo)取最小值一9一女.

?.?斜率最小的切線(xiàn)與12x+y=6平行，

2

，該切線(xiàn)斜率為-12.:.—9—y=-12.

解得〃=±3.又a<0,:.a=-3?

I短板補(bǔ)救案?核心素養(yǎng)培優(yōu)I---------------

規(guī)范解答(七)用導(dǎo)數(shù)的定義求切線(xiàn)的方程

O典題示例

［典例］(12分)已知函數(shù)及y=/(x)上一點(diǎn)P(L—2),求過(guò)點(diǎn)P

與曲線(xiàn)y=/(x)相切的直線(xiàn)方程.

【審題指導(dǎo)】

審結(jié)論|一函過(guò)點(diǎn)?與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程

審條件|-T函婀(x)=9一3x卻(X)上一點(diǎn)尸(1,—2)

理瑯系|一|設(shè)出切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義求斜率，再由點(diǎn)斜式求方程

【規(guī)范解答】

lim(x+Ax)3—3(x+Ax)—X34-3X

,V=i--------------------------------------A---x---------------------------------------

=3*2-3.(2分)1第一步，由定義求函數(shù)的享藪

—

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,Xo3x0),

則切線(xiàn)/的斜率k=f(xn)=3xo~3,所以切線(xiàn)I的方程為j—(xo—3xo)=(3x?—

3)(x—x0).(4分)

又切線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)P(l,-2),

所以一2一(焉一3xo)=(3x；—3)(1—xo),

所以2V一3/+1=(*0—1y(2*0+1)=0,

解得孫=1或x0=-1.(6分)|第二步，求切點(diǎn)橫坐標(biāo)

Q

故所求直線(xiàn)斜率為A=3x；—3=0或A=3xj—3=一不

于是y—(―2)=0?(x—1)或J—(―2)=—1(x—1),

91

即y=—2或y=—/+1(1。分)

9I、

故過(guò)點(diǎn)P(l,-2)的切線(xiàn)方程為y=—2或y=一矛+不(12分)

第三步，求過(guò)尸的切線(xiàn)方程

O典題試解

曲線(xiàn)在點(diǎn)(一1‘一1)處的切線(xiàn)方程為?

Y

解析,?,,=/(*)=工+2,*o=-1，

,-1+Ax

Ay=/Uo+△x)—f(x0)=_1_|_Ax_|_2—(—1)

2Ax

=1+Ax'

△v2Av2

-=?|；-f(-1)=-=r?.~=2.

△x1+AxtJAx1+Ax

切線(xiàn)斜率4=2,由點(diǎn)斜式可得切線(xiàn)方程為

j+l=2(x+l),即2x-y+l=0.

答案2x—j+l=O

|的提升案?核心素養(yǎng)達(dá)成|-------------

［限時(shí)40分鐘；滿(mǎn)分80分］

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.函數(shù)y=/(x)在x=x()處的導(dǎo)數(shù)/(必)的幾何意義是

A.在點(diǎn)x=x()處的函數(shù)值

B.在點(diǎn)(4，ZU。))處的切線(xiàn)與無(wú)軸所夾銳角的正切值

C.曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(xo,/(xo))處的切線(xiàn)的斜率

D.點(diǎn)(xo,/(孫))與點(diǎn)(0,0)連線(xiàn)的斜率

解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知選項(xiàng)C正確.

答案c

2.曲線(xiàn)y=，-2x+4在點(diǎn)(1,3)處的切線(xiàn)的斜率為

A.0B.1C.-1D.1

?lim/(i+Ax)-f(1)

解析k=f(l)=Sj^o------------------------

linii+2Ax+(Ax)2—2—2Ax+4—3lim

=Sx---------------7----------------=Ax-()Ax=O.

△x

答案A

3.已知曲線(xiàn)一7在點(diǎn)尸處的切線(xiàn)方程為8x-y-15=0,則切點(diǎn)P的

坐標(biāo)為

A.(-2,1)B.(0,-7)

C.(2,1)D.(3,11)

解析設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x(),2xo—7),

limfGo+Ax)-于Go)

則尸X()L

()=A()△x

11ni2[xo+2x()△x+(Ax)2]-7—2x?+7

=dL---------------7----------------

△x

lim

=△「()(4xo+2Ax)=4x().

==

4xo89/?Xo2.P(2,1).

答案c

4.若曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(xo,/Uo))處的切線(xiàn)方程為3*+y+5=0,貝!!

A.f(x0)>0B.f(x0)<0

C.f'(x)=0D.，(%)不存在

解析由y=-3x-5知產(chǎn)(x())=—3<0.

答案B

5.若曲線(xiàn)上的點(diǎn)P處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y=—5+l垂直，則在點(diǎn)P處的

切線(xiàn)方程為

A.2x~y~l=0B.2x~y~2=0

C.x+2y+2=0D.2x-j+l=0

解析與直線(xiàn)y=-；x+l垂直的直線(xiàn)的斜率為A=2.

-X.2lim

由尸一知"=!想"!之_=Ax->(i(2x+Ax)=2x.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(Xo,Jo),則2xo=2,即Xo=l,故yo=L

所以在點(diǎn)尸處的切線(xiàn)方程為y—l=2(x—1),即y=2x—L

答案A

6.曲線(xiàn)y=/(x)=x3在點(diǎn)尸處切線(xiàn)的斜率為上當(dāng)A=3時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

A.(-2,-8)B.(-1,-1)或(1,1)

C.(2,8)D.(―2>—1)

解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(孫，%),

(xo+Ax)-fGo)(x+Ax)3—xo

則Ar=/(xo)=△廠(chǎng)乂1i---------------------------0Ax->O--------------

Ax

lim

=AZ->(I[(AX)2+3XO+3XO,Ax]=3xo.

k=3,3xo=3,?*.x()=1或x()=—1,

.,.必=1或y0=—1.

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一1,一1)或(1,1).

答案B

二、填空題(每小題5分，共15分)

7.曲線(xiàn)y=1-l在點(diǎn)4(2,一，處的切線(xiàn)的斜率為.

5+匚.(1_八(\八2-(2+Ax)—Ax

解析△尸Q+AxpHjT尸2(2+Ax)=2(2+Ax)，

△vilimAvlimrxqA

?工=-2(2+3即-工=、L(-2(2+Ax)=-4-

1

答案-

4

8.已知直線(xiàn)y=3x+l與曲線(xiàn)y=j?+ax+3相切于點(diǎn)(1,4),則a=.

解析由于切點(diǎn)(1,4)在曲線(xiàn)y=x3+or+3上，

/.4=l3+a+3,,*.a=0.

答案0

9.已知函數(shù)y=/Q)在點(diǎn)Q,1)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)3x—y—2=0平行，則Iy%=2

等于.

解析因?yàn)橹本€(xiàn)3x-y-2=0的斜率為3,所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曠卜

=2=3.

答案3

三、解答題(共35分)

10.(10分)已知拋物線(xiàn)J=/(X)=X2+3與直線(xiàn)y=2x+2相交，求它們交點(diǎn)

處的切線(xiàn)方程.

y=工2+3

解析由方程組得，-2*+1=0,解得x=l,y=4,所以交點(diǎn)

[y=2x+2,

(Ax+1)2+3-(12+3)

坐標(biāo)為(1,4),又=Ax+2.

Ax

當(dāng)Ax趨于0時(shí)Ax+2趨于2.所以在點(diǎn)(1,4)處的切線(xiàn)斜率k=2.

所以切線(xiàn)方程為y-4=2(x-l),即y=2x+2.

11.(10分)求拋物線(xiàn)y=x2上的一點(diǎn)到直線(xiàn)“一廣_2=0的最短距離.

解析根據(jù)題意可得，與直線(xiàn)x-y-2=0平行的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)對(duì)應(yīng)

的切點(diǎn)到直線(xiàn)x—y—2=0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(X。，Xo).

根據(jù)定義可求導(dǎo)數(shù)y'|x=xo=2x|x=xo=2x0=1,

所以xo=；,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(；，

7^2

切點(diǎn)到直線(xiàn)x-j-2=0的距離d=

8?

所以?huà)佄锞€(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)x-y-2=0的最短距離為畢.

12.(15分)已知點(diǎn)M(0,-1),F(0,1),過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)/與曲線(xiàn)y=$3-

4x+4在x=2處的切線(xiàn)平行.

⑴求直線(xiàn)/的方程；

(2)求以點(diǎn)尸為焦點(diǎn)，/為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)。的方程.

解析(1)y=/(x)=1x3—4x+4,

limy(2+Ax)-/(2)

：.f'(2)=Ax->(/-----兀］一

lim；(2+Ax)''—4(2+Ax)+4—gx2、'一4X2+4)

SJC八

△x

lim「（Ax）2］

=dL。2Ax+-----------=°，

，曲線(xiàn)y=53—4*+4在x=2處的切線(xiàn)斜率為0,

而/與此切線(xiàn)平行，故/的斜率也為0.

又/過(guò)點(diǎn)M（0,-1）,...直線(xiàn)/的方程為y=-L

（2）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)以點(diǎn)網(wǎng)0,1）為焦點(diǎn)，7=一1為準(zhǔn)線(xiàn)，

設(shè)拋物線(xiàn)方程為f=2py（p：＞0）,貝號(hào)=1,p=2.

故拋物線(xiàn)。的方程為x2=4y.

§3.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

§3.2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

§3.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)致公式及導(dǎo)致的運(yùn)算法則

［課標(biāo)解讀］

1.能夠用導(dǎo)數(shù)的定義求幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（重點(diǎn)）

2.掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.（重點(diǎn)）

3.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函

數(shù)的導(dǎo)數(shù).（重點(diǎn)'易混點(diǎn)）

|課前預(yù)習(xí)案?核心素養(yǎng)養(yǎng)成卜

，教林知祖橫理三三1三三三三三三三三三

1.幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

函數(shù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)

fix)=Crw=o1Ax)=xf(x)=l

Ax)=!

J(x)=x2f(X)=2x1r（刈=二5

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

函數(shù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)

f(x)=cr(-v)=of(x)=axf(x)=flxln_g(a>0)

/(x)=x0(aeQ*)f(x)=ax°~tf(x)=exf(x)=e^

/(x)=sinxf(x)=cos_xf(x)=10gflX/'(*)一示](。＞0,且aWl)

f(x)=lnx

f(x)=cosXf(x)=-sin_x(x)=!

3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

和差的導(dǎo)數(shù)[f(X)±￡(X)]'=f(X)±gf(X)

積的導(dǎo)數(shù)[/(x)-g(x)]，=/7x)g(x)+/U)?g'(x)

f(x),f(x)g(x)—f(x)Jg'(x)

商的導(dǎo)數(shù)_g(X)J_|g(x)f

明/、勤腺?三三—三三三三三三三

知識(shí)點(diǎn)一幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

探究1:觀察函數(shù)y=2x,y=3x,y=4x的圖像，完成下列問(wèn)題.熟記正比

例函數(shù)的導(dǎo)數(shù)