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2.7完滿平方數(shù)

有關(guān)看法

完滿平方即用一個整數(shù)乘以自己比方1*1，2*2,3*3等等，依此推。若一個數(shù)能表示成某個整數(shù)的平方的形式，稱個數(shù)完滿平方數(shù)。完滿平方數(shù)是非數(shù)。

性質(zhì)推論

比方：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529?察些完滿平方數(shù)，可以得它的個位數(shù)、十位數(shù)、數(shù)字和等的律性的。

下邊我來研究完滿平方數(shù)的一些常用性：

性1：末位數(shù)只好是0,1,4,5,6,9。

此完滿平方數(shù)的必需不充分條件，且定“一個數(shù)假如是另一個整數(shù)的完滿平方，

那么我就稱個數(shù)完滿平方數(shù)”，0整數(shù)，故0是完滿平方數(shù)性2：奇數(shù)的平方的個位數(shù)字必定是奇數(shù)，

十位數(shù)字偶數(shù)；偶數(shù)的平方的個位數(shù)字

必定是偶數(shù)。

明奇數(shù)必以下五種形式之一：

10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9

分平方后，得

(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1

(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9

(10a+5)2=100a2+100a+25=20(5a+5a+1)+5

(10a+7)2=100a2+140a+49=20(5a+7a+2)+9

(10a+9)2=100a2+180a+81=20(5a+9a+4)+1

上各樣情況可知：奇數(shù)的平方，個位數(shù)字奇數(shù)1,5,9；十位數(shù)字偶數(shù)。

性3：假如完滿平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，它的個位數(shù)字必定是6；反之，假如完

全平方數(shù)的個位數(shù)字是6，它的十位數(shù)字必定是奇數(shù)。明已知m2=10k+6，明k奇數(shù)。因k的個位數(shù)6，所以m的個位數(shù)4或

于是可m=10n+4或10n+6。

6，

10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1

或k=10+12n+3=2(5+6n)+3

∴k奇數(shù)。

推1：假如一個數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，而個位數(shù)字不是6，那么個數(shù)必定不是完滿

平方數(shù)。

推2：假如一個完滿平方數(shù)的個位數(shù)字不是6，它的十位數(shù)字是偶數(shù)。性

4：（1）凡個位數(shù)字是

5，但末兩位數(shù)字不是

25的自然數(shù)不是完滿平方數(shù)；

（2）尾端只有奇數(shù)個“

0”的自然數(shù)（不包含

0自己）不是完滿平方數(shù)；

100，10000，1000000是完滿平方數(shù)，10，1000，100000等則不是完滿平方數(shù)。

3）個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完滿平方數(shù)。

需要說明的是：個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)必定不是完滿平方數(shù)，

如：11，31，51，74，99，211，454，879等必定不是完滿平方數(shù)必定不是完滿平方數(shù)。

但個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為偶數(shù)的自然數(shù)不都是完滿平方數(shù)。如：21，44，89不是完滿平方數(shù)，但49，64，81是完滿平方數(shù)。性質(zhì)5：偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。這是由于(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1(2k)2=4k2性質(zhì)6：奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)的平方為8n或8n+4型。在性質(zhì)4的證明中，由k(k+1)必定為偶數(shù)可獲得(2k+1)是8n+1型的數(shù)；由為奇數(shù)或偶數(shù)可得(2k)為8n型或8n+4型的數(shù)。性質(zhì)7：完滿平方數(shù)的形式必為以下兩種之一：3k,3k+1。由于自然數(shù)被3除按余數(shù)的不同樣可以分為三類：3m,3m+1,3m+2。平方后，分別得22(3m)=9m=3k2(3m+1)=9+6m+1=3k+1(3m+2)2=9+12m+4=3k+1同理可以獲得：性質(zhì)8：不可以被5整除的數(shù)的平方為5k±1型，能被5整除的數(shù)為5k型。性質(zhì)9：平方數(shù)的形式擁有以下形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。除了上邊對于個位數(shù)，十位數(shù)和余數(shù)的性質(zhì)以外，還可研究完滿平方數(shù)各位數(shù)字之和。

比方，256它的各位數(shù)字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數(shù)字和。假如再把13的各位

數(shù)字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位數(shù)字的和。下邊我們提到的一個數(shù)的各位數(shù)字

之和是指把它的各位數(shù)字相加，假如獲得的數(shù)字之和不是一位數(shù)，就把所得的數(shù)字再相加，

直到成為一位數(shù)為止。我們可以獲得下邊的命題：

一個數(shù)的數(shù)字和等于這個數(shù)被9除的余數(shù)。

下邊以四位數(shù)為例來說明這個命題。

設(shè)四位數(shù)為，則

1000a+100b+10c+d

=999a+99b+9c+(a+b+c+d)

=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)

明顯，a+b+c+d是四位數(shù)被9除的余數(shù)。

對于n位數(shù)，也可以仿此法予以證明。

對于完滿平方數(shù)的數(shù)字和有下邊的性質(zhì)：

性質(zhì)10：完滿平方數(shù)的數(shù)字之和只好是0,1,4,7,9。

證明由于一個整數(shù)被9除只好是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4這幾種形式，而

(9k)2=9(9k2)+0

(9k±1)2=9(9k2±2k)+1(9k±2)2=9(9k2±4k)+4(9k±3)2=9(9k2±6k)+9(9k±4)2=9(9k2±8k+1)+7性11：a2b完滿平方數(shù)的充分必需條件是b完滿平方數(shù)。性12：假如數(shù)p能整除a，但p的平方不可以整除a，a不是完滿平方數(shù)。明由可知，a有因數(shù)p，但無因數(shù)，可知a分解成準(zhǔn)式，p的次方1，而完滿平方數(shù)分解成準(zhǔn)式，各因數(shù)的次方均偶數(shù)，可a不是完滿平方數(shù)。性13：在兩個相的整數(shù)的平方數(shù)之的全部整數(shù)都不是完滿平方數(shù)。

即若n2<k2<(n+1)2，k必定不是整數(shù)。

性

14：一個正整數(shù)

n是完滿平方數(shù)的充分必需條件是

n有奇數(shù)個因數(shù)（包含

1和

n

自己）。

重要結(jié)論

1、個位數(shù)是2,3,7,8的整數(shù)必定不是完滿平方數(shù)；

2、個位數(shù)和十位數(shù)都是奇數(shù)的整數(shù)必定不是完滿平方數(shù)；

3、個位數(shù)是6，十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)必定不是完滿平方數(shù)；

4、形如3n+2型的整數(shù)必定不是完滿平方數(shù)；

5、形如4n+2和4n+3型的整數(shù)必定不是完滿平方數(shù)；

6、形如5n±2型的整數(shù)必定不是完滿平方數(shù)；

7、形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整數(shù)必定不是完滿平方數(shù)；

8、數(shù)字和是2,3,5,6,8的整數(shù)必定不是完滿平方數(shù)。

9、四平方和定理：每個正整數(shù)均可表示4個整數(shù)的平方和

10、完滿平方數(shù)的因數(shù)個數(shù)必定是奇數(shù)。

典型例題

例1一個自然數(shù)減去45及加上44都還是完滿平方數(shù)，求此數(shù)。解：此自然數(shù)x，依意可得x-45=m2⑴

x+44=n2⑵

（m,n自然數(shù)）

⑵-⑴可得:n^2-m^2=89

因n+m>n-m

又因89數(shù)，

所以：n+m=89;n-m=1

解之，得n=45。代入⑵得。故所求的自然數(shù)是

1981。

例2求：四個的整數(shù)的加上1，等于一個奇數(shù)的平方（解：四個整數(shù)分n-1、n、n+1、n+2.，

1954年基數(shù)學(xué)）。

(n-1)n(n+1)(n+2)+1

?①

易知式可被分解兩個二次因式的乘，

得ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1，解得a=d=e=b=1,c=f=-1

故①可被分解，因n與n+1是兩個整數(shù)，故n(n+1)偶數(shù)，所以[n(n+1)-1]奇數(shù)，

即(n-1)n(n+1)(n+2)+1一個奇數(shù)的平方。

例3求：11,111,1111，11111??串?dāng)?shù)中沒有完滿平方數(shù)。（1972年基數(shù)學(xué)。

解：易知串?dāng)?shù)中若存在完滿平方數(shù)，尾端是1或9的數(shù)的平方。

當(dāng)串?dāng)?shù)中存在尾端1的數(shù)的平方，，此中n、k正整數(shù)。

但，易知n2需足十位數(shù)偶數(shù)，矛盾。

解2：完滿平方數(shù)除以四余數(shù)0或1，而依據(jù)除以四余數(shù)性（一個數(shù)除以四的余數(shù)=

個數(shù)末兩位除以四的余數(shù)）可得，串?dāng)?shù)除以四余數(shù)3，矛盾，所以串?dāng)?shù)中沒有完滿平

方數(shù)。

例4用300個2和若干個0成的整數(shù)有沒有可能是完滿平方數(shù)？解：由300個2和若干個0成的數(shù)A，其數(shù)字和600

3|600∴3|A

此數(shù)有3的因數(shù)，故9|A。但9|600，∴矛盾。故不可以能有完滿平方數(shù)。

例5求一個四位數(shù)，它是一個完滿平方數(shù)，而且它的前兩位數(shù)字同樣，后兩位數(shù)字也同樣（1999小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀）。

解：四位數(shù)1000a+100a+10b+b，

1000a+100a+10b+b=1100a+11b=11（100a+b）

故100a+b必被11整除=>a+b被11整除，又因(a+b)≤18所以a+b=11，

入上式得四位數(shù)=11×（a×100+（11－a））=11×（a×99+11）

故9a+1必完滿平方數(shù)。由a=2、3、4、5、6、7、8、9得，

=11×11×（9a+1)

9a+1=19、28、27、

46、55、64、73。所以只有a=7一個解；此b=4。所以四位數(shù)是7744=112×82=88×88。

例6求足以下條件的全部自然數(shù)：⑴它是四位數(shù)。

⑵被22除余數(shù)5。⑶它是完滿平方數(shù)。

解：，此中n,N自然數(shù)，可知N奇數(shù)。

11|N-5或11|N+6

或

n=1不合

n=21369

n=334812601

n=465615329

n=59025

所以此自然數(shù)1369,2601,3481,5329,6561,9025。

例7矩形四的度都是小于10的整數(shù)（位：公分），四個度數(shù)可構(gòu)成一個四位數(shù)，

個四位數(shù)的千位數(shù)字與百位數(shù)字同樣，而且四位數(shù)是一個完滿平方數(shù)，求個矩形的面（1986年云杯初二數(shù)學(xué)）。

解：設(shè)千位與百位的數(shù)字為A,十位與個位數(shù)字為B

則該四位數(shù)為：1000A+100A+10B+B=11*(100A+B)且為完滿平方數(shù)

所以100A+B能被11整除=>A+B能被11整除，又由于A+B≤18

故A+B=11

易知100A+B除以11后得數(shù)為完滿平方數(shù),且各個數(shù)位之和為10考證得該數(shù)64

所以A=7,B=4，則四位數(shù)是7744

例8求一個四位數(shù)，使它等于它的四個數(shù)字和的四次方，并證明此數(shù)是獨一的。

（1986年第27屆IMO試題）設(shè)正整數(shù)d不等于2,5,13，求證在會合{2,5,13,d}中可以找到兩個不同樣的元素a,b，使得ab-1不是完滿平方數(shù)。

解：明顯2*5-1=92*13-1=255*13-1=64都為完滿平方數(shù)

假定2d-1為完滿平方數(shù),注意到d為正整數(shù),2d-1

為奇數(shù)

沒關(guān)系設(shè)

2d-1=(2n-1)^2

得

d=2n^2-2n+1此時

同理

5d-1=10n^2-10n+4不是完滿平方數(shù)

假定5d-113d-1為完滿平方數(shù)可以分

d為奇偶去證明

.

例9求k的最大值，使2010可以表示為k個連續(xù)正整數(shù)之和。解：假定這k個數(shù)為a,a+1,a+2,...,a+(k-1)

它們的和為ka+k(k-1)/2=2010k(k+2a-1)=2