/淺析變量變換在重積分計算問題中的應(yīng)用作者：謝健指導(dǎo)教師：岳芹摘要:由于重積分計算時有可能有多種解法也有的重積分在用一般解題方法時很困難，本文通過對重積分的學(xué)習而利用新的解題思路,通過變量變換來解決實際上所遇到的重積分問題,利用此簡單的方法來解決復(fù)雜的重積分問題.關(guān)鍵詞:重積分變量變換二重積分三重積分AnａlysisofvarｉａblｅｔｒanｓformatiｏｎinthecalculatｉｏｎｏfｔhｅdoublｅiｎｔegralAbstract：Rｅ-integｒaｔiｏncaｌcｕlatｉonsmａyhaｖｅmｕltiplｅsolｕtions,sｏmeｄｏuｂleinｔeｇrａｌiｎtheuｓeofgeneraｌpｒoｂlem-ｓｏlvingapproachiｓvｅrydiｆfｉculｔ,Ｄoｕｂleｉｎｔegrallｅaｒningnewｐroblem－solviｎgiｄeaｓ,Actuaｌｌyｅｎｃｏuntereｄbｙvariabletrａnsformatiｏntosolｖeｔheｄoｕｂlｅintegraｌ，Takｅａdｖantaｇeｏfthisｅasyｗayｔosolvethecｏmplexｄouｂｌeintegral．Keywoｒds:Iｎteｇrａｌ，Vａriabletｒaｎsfｏｒmation,Ｄｏubleiｎtegral，TrｉpleIntｅgraｌ1引言重積分在數(shù)學(xué)分析中占有比較重要的地位，是數(shù)學(xué)分析中重要的一部分，也是數(shù)學(xué)分析學(xué)習的難點之一，由于重積分的題型十分多,因而方法靈活，技巧性強且解題對于學(xué)習者來是十分困難的。由于重積分的解法可分為多種情況.比如:利用對稱性計算重積分，利用換元法計算重積分,利用分部積分法計算重積分等等。而本選題則是學(xué)習關(guān)于利用變量變換計算重積分.在所找的文獻中,有關(guān)于重積分的基本定義以及利用變量變換來計算重積分的技巧，并對這種技巧有很好的總結(jié)。但是這些還遠遠不夠的，理論的東西和實際的應(yīng)用還存在著很大的差距.理論研究后，在應(yīng)用于生產(chǎn)實際中時，還會出現(xiàn)許多新的問題，這時考慮的問題就和理論是不一樣了。僅僅研究理論時,對待某些問題,我們還需要更加深入得去了解。因此，重積分計算式變量變換的技巧還有待我們更深入的去研究.2基本概念與性質(zhì)定義2。1設(shè)f（x?ｙ）是定義在可求面積的有界閉區(qū)域D上的函數(shù).J是一個確定的數(shù)，若對任給的正數(shù)ε，總存在某個正數(shù)δ，使對于D的任何分割T，當它的細度‖Ｔ‖＜δ時,屬于T的所有積分和都有則稱f（ｘ?y）在D上可積，數(shù)J稱為函數(shù)f（x?y）在D上的二重積分，記作其中ｆ（ｘ?ｙ）稱為二重積分的被積函數(shù),x,y稱為積分變量,D稱為積分區(qū)域。２.2二重積分的性質(zhì)：若f（ｘ?ｙ）在區(qū)域D上可積，ｋ為常數(shù)，則kf（x?y）在Ｄ上也可積,且若f(x?y),g(x,y）在D上可積,則f（x?y)g（ｘ，y）在D上也可積，且若f（x?ｙ）在與無公共內(nèi)點，則f(x?y)在∪上可積，且＝若ｆ（ｘ?y)與ｇ（x,y)在D上可積，f(x?y）≤g（x,y）,（x,y）?D則（５）若f(x?y)在Ｄ上可積，則函數(shù)在D上可積，且(6）若f(x?ｙ)在D上可積,且則這里是積分區(qū)域D的面積（７)若f（x?y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則存在(ξ,η)?D，使得，這里是積分區(qū)域D的面積。2.3二重積分的變量變換公式:２．3．１定理:設(shè)ｆ(x，y）在有界閉區(qū)域D上可積，變換T：x=ｘ(u,ｖ)，ｙ=y(ｕ,v)將uv平面按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域?一對一地映成xy平面上的閉區(qū)域D，函數(shù)x(u，v），y（u，v）在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式?則證明：用曲線網(wǎng)把?分成n個小區(qū)域，在變換T作用下,區(qū)域D也相應(yīng)地被分成ｎ個小區(qū)域。記及的面積為及（=1,2,３…,n).由引理及二重積分中值定理，有，其中（=1,2，…,n).令＝x,=y，則（,）?（=1,2,3…，n）.作二重積分的積分和=.上式右邊的和式是?上可積ｆ（x（ｕ，v）,y（u，v））｜J(u，v)|的積分和．有由變換Ｔ的連續(xù)性可知,當區(qū)域?的分割的細度‖‖→0時,區(qū)域D相應(yīng)的分割的細度‖‖也趨于零.因此得到2。3．2二重積分的變量代換公式為設(shè)f(x,y)在平面的有界閉區(qū)域D上連續(xù)且（1)連續(xù)可微函數(shù)ｘ=ｘ（u，v）,ｙ=ｙ（ｕ,v）把D雙方單值地變到區(qū)域（2）雅可比行列式在上成立，則2。4用極坐標計算二重積分2。４．1當積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分，或者被積函數(shù)的形式為時，采用極坐標變換（1）2。4.２結(jié)論：設(shè)f（x,ｙ）滿足定理2.３．1的條件,且在極坐標變換（1）下,ｘｙ平面上有界閉區(qū)域D與?θ平面上區(qū)域?對應(yīng)，則成立證明：若Ｄ為圓域，則?為rθ平面上矩形．設(shè)為在圓環(huán)中除去中心角為ε的扇形所得區(qū)域,則在變換下，對應(yīng)于ｒθ平面上的矩形區(qū)域.但極坐標變換在與之間是一對一變換，且在上函數(shù)行列式＞0.于是由定理有因為在有界閉域D上有界，在上式中令，即得若D是一般的有界閉區(qū)域，則取足夠大的，使D包含在圓域內(nèi)，并且在上定義函數(shù)函數(shù)在內(nèi)至多在有限條按線段光滑曲線上間斷,因此，對函數(shù)，由前述有,其中為rθ平面上矩形區(qū)域。由函數(shù)的定義,即可以證之．２．5三重積分的概念2．5.1定義:設(shè)ｆ(x，ｙ,z)為定義在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域V上的函數(shù),J是一個確定的數(shù)。若對任給的正數(shù)ε，總存在某一個正數(shù)δ，使得對于V的任何分割T，只要‖T‖<δ,屬于分割T的所有積分和都有則稱ｆ（x，ｙ，z)在V上可積，數(shù)J稱為函數(shù)f（x，ｙ，z）在Ｖ上的三重積分，記作或,其中f（x,y,z）稱為被積函數(shù)，x，y,z稱為積分變量,V稱為積分區(qū)域.2．5.2性質(zhì)：（1）有界閉區(qū)域V上的連續(xù)函數(shù)必可積;(2）如果有界閉區(qū)域V上的有界函數(shù)ｆ（x，ｙ,ｚ)的間斷點集中在有限多個零體積的曲面上，則f（x，y，z）在V上必可積.2。５．3定理若函數(shù)ｆ(x，y，z)在長方體V=【ａ，b】＊【c，d】＊【e,ｈ】上的三重積分存在,且對任何x?【a，ｂ】，二重積分I（x)=存在,其中D=【ｃ,d】*【e，h】,則積分也存在，且(1）證明：用平行于坐標面的平面網(wǎng)T作分割,它把V分成有限個小長方體設(shè)，分別為f(x，ｙ,z）在上的上,下確界.對于上任一點，在上有現(xiàn)按下標ｊ,k相加，則有及上述不等式兩邊是分割T的下和與上和．由于f（ｘ，ｙ，ｚ)在V上可積,當‖T‖→0時，下和與上和具有相同的極限,所以由上式的Ｉ(x)在【ａ,b】上可積,且若把（1)式右邊的二重積分可化為累次積分來計算，于是我們就能把（1)式左邊的三重積分化為三次積分來計算。如化為先對ｚ，然后對y，最后對x來求積分，則為．2.5.４三重積分換元法（1)柱面坐標變換由于變換T的函數(shù)行列式三重積分的柱面坐標公式為這里為在柱面坐標變換下的原象。(2)球坐標變換由于當在上取值,，所以在球坐標變換下，三重積分的球坐標換元公式為,這里為在球坐標變換T下的原象.3變量變換在重積分問題計算中應(yīng)用3.1二重積分的變量變換例1計算解作變換，，把ｒθ平面上的矩形：，變成圓域，由公式得＝=由此可知,運用變量替換的方法可以解決一些直接用化為二次定積分的方法無法解決的問題例2設(shè)，求解作變換，則且變換把區(qū)域，變成故==，則=２t=此題巧妙的利用變量變換很容易的求出了,所以利用換元法可以給解題帶來很大方便．例３求其中區(qū)域D為坐標軸和拋物線所圍成的區(qū)域.解作變換，則==變換后＝1，即ｒ=1，坐標軸，，即，，故＝==４=通過變換后很容易進行積分，積分限很容易安排。例4求橢圓體的體積.解由對稱性,橢圓體的體積V是第一卦限部分體積的8倍,這一部分是以為曲頂，為底的曲頂柱體，所以應(yīng)用廣義極坐標變換，由于，因此當時,得到球的體積為例5：求球面被圓柱體所割下部分的體積解:由所求立體的對稱性，我們只要求出在第一卦限內(nèi)的部分體積后乘以4，即得所求立體的體積。在第一卦限內(nèi)的立體是一個曲頂柱體,其底為平面內(nèi)由和所確定的區(qū)域，曲頂?shù)姆匠虨?。所以，其中。用極坐標變換后,有３。2三重積分的變量變換例６求,其中V為由與所圍成的區(qū)域解作廣義球坐標變換于是。在上述廣義球坐標變換下，Ｖ的原象為所以有例7利用三重積分計算曲面，所圍成的立體體積．解曲面，所圍成的圖形的柱面坐標分別為和，故它們所圍成的立體在面上的投影區(qū)域為，故于是例８設(shè)半徑為R的球面∑的球心在定球面上,問：當R取何值時,球面∑在定球面內(nèi)部的那部分面積最大？解:設(shè)∑的球心為(０,0，a),則∑的方程：，則兩球面交線方程它在面上投影方程:。球面在定球面內(nèi)的方程:=.由得：。,故當時，球面∑在定球面內(nèi)的那部分面積最大。例９:計算三重積分，其中Ω是由曲面與所圍成的區(qū)域.解:Ω關(guān)于是對稱的,，作球面坐標變換，則。所以例1０計算：由所圍成。解:根據(jù)域及被積函數(shù)特點,選取球面坐標系。此時錐面方程變?yōu)?球面變?yōu)楣视谑?例1１設(shè)某球體的密度與球心的距離成正比，求它對于切平面的轉(zhuǎn)動量．解:設(shè)球體由不等式表示,密度函數(shù)為,這里k為比例常數(shù)，平面方