數(shù)值分析第四章矩陣特征值與特征向量的計(jì)算1第1頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六冪法

用于計(jì)算矩陣按模最大的特征值及其相應(yīng)的特征向量,特別適用于大型稀疏矩陣.§1冪法和反冪法反冪法用于計(jì)算矩陣按模最小的特征值及其特征向量,也可用來(lái)計(jì)算對(duì)應(yīng)于一個(gè)給定近似特征值的特征向量.2第2頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六設(shè)A為n階實(shí)矩陣,其特征值為1,2,…,n,相應(yīng)的特征向量為u1,u2,…,un.且滿足條件u1,u2,…,un線性無(wú)關(guān).冪法冪法:求1及其相應(yīng)的特征向量.此時(shí)1一定是實(shí)數(shù)!1通常稱為主特征值.3第3頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六冪法基本思想給定初始非零向量x(0),由矩陣A構(gòu)造一向量序列在一定條件下,當(dāng)k充分大時(shí):相應(yīng)的特征向量為:4第4頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六設(shè)1不為零.x(k+1)為1的特征向量的近似向量(除一個(gè)因子外).對(duì)任意向量x(0),有冪法的理論依據(jù)故5第5頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如果x(0)的選取恰恰使得1=0,冪法仍能進(jìn)行.因?yàn)橛?jì)算過(guò)程中會(huì)有舍入誤差,迭代若干次后,必然會(huì)產(chǎn)生一個(gè)向量x(k),它在u1方向上的分量不為零,這樣以后的計(jì)算就滿足所設(shè)條件.因?yàn)橛?jì)算過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)上溢(|1|>1)或下溢成為0(|1|<1).為避免出現(xiàn)這一情形,實(shí)際計(jì)算時(shí)每次迭代所求的向量都要?dú)w一化.6第6頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六歸一化過(guò)程設(shè)有一向量x0,將其歸一化得到向量其中max(x)表示向量x的絕對(duì)值最大的分量,即如果有例

x=(1,－8,7)T,則max(x)=－8,歸一化向量為7第7頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六冪法的計(jì)算公式任取初始向量x(0)=y(0)0,對(duì)k=1,2,…,構(gòu)造向量序列{x(k)},{y(k)}當(dāng)k充分大時(shí)8第8頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理設(shè)n階實(shí)矩陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量u1,u2,…,un,主特征值1滿足|1|>|2|

|3|

…|n

|,則對(duì)任取非零初始向量x(0)=y(0)0(10),按下述方法構(gòu)造向量序列{x(k)},{y(k)}

則有9第9頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六冪法特別適用于求大型稀疏矩陣的主特征值和相應(yīng)的特征向量.若A的主特征值1為實(shí)的m重根,即1=

2=…=m,且|1|>|m+1|

|m+2|

…|n

|,又設(shè)A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,此時(shí)冪法仍然適用.冪法的收斂速度取決于比值即

比值越接近1,收斂速度越慢,比值越接近0,收斂越快.10第10頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例用冪法求矩陣的按模最大的特征值和相應(yīng)的特征向量.取x(0)=(0,0,1)T,要求誤差不超過(guò)103.解11第11頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六12第12頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六應(yīng)用冪法計(jì)算矩陣A的主特征值的收斂速度主要由比值r=|2/1|來(lái)決定,但當(dāng)r接近于1時(shí),收斂可能很慢.這時(shí)可以采用加速收斂的方法.冪法的加速—原點(diǎn)移位法引進(jìn)矩陣B=A－0I其中0為代選擇參數(shù).設(shè)A的特征值為1,2,…,n,則B的特征值為1－0,2－0,…,n－0,而且A,B的特征向量相同.13第13頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六仍設(shè)A有主特征值1,且取0使得且用冪法求矩陣B=A0I的按模最大的特征值1*,則1=1*+0.1－0是B=A0I的主特征值對(duì)B應(yīng)用冪法比對(duì)A應(yīng)用冪法收斂速度快原點(diǎn)移位法14第14頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例矩陣A的特征值為直接應(yīng)用冪法求矩陣A的主特征值其收斂速度為用原點(diǎn)移位法求主特征值,取0=2.9,此時(shí)收斂速度為15第15頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六原點(diǎn)移位法使用簡(jiǎn)便,不足之處在于0的選取十分困難,通常需要對(duì)特征值的分布有一大概的了解,才能粗略地估計(jì)0,并通過(guò)計(jì)算不斷進(jìn)行修改.16第16頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六若{ak}線性收斂于a,即當(dāng)k充分大時(shí)，有冪法的加速—Aitken加速法17第17頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六可以證明用逼近a,這就是Aitken加速法.把上式右端記為即比快.將Aitken方法用于冪法產(chǎn)生的序列{k},可加快冪法的收斂速度.18第18頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例用Aitken加速法求矩陣的按模最大的特征值和相應(yīng)的特征向量,取x(0)=(0,0,1)T.解19第19頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六反冪法用于計(jì)算矩陣按模最小的特征值及其特征向量,也可用來(lái)計(jì)算對(duì)應(yīng)于一個(gè)給定近似特征值的特征向量,是目前求特征向量最有效的方法.反冪法20第20頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六設(shè)A為n階實(shí)可逆矩陣，其特征值滿足對(duì)應(yīng)的特征向量分別u1,u2,…,un,則A1的特征值滿足對(duì)應(yīng)的特征向量分別un,un-1,…,u2,u1.反冪法：計(jì)算n以及相應(yīng)的特征向量.反冪法21第21頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)于A1應(yīng)用冪法迭代，可求得矩陣A1的主特征值1/n,從而求得A的按模最小的特征值n.反冪法基本思想22第22頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六反冪法迭代公式為任取初始向量x(0)=y(0)0,構(gòu)造向量序列迭代向量x(k+1)可以通過(guò)解方程組求得當(dāng)k充分大時(shí)23第23頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理設(shè)A為非奇異矩陣且有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，其對(duì)應(yīng)的特征值滿足則對(duì)任何初始非零向量x(0)(n0),由反冪法構(gòu)造的向量序列{x(k)},{y(k)}滿足收斂速度比值為24第24頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在反冪法中也可用原點(diǎn)移位法來(lái)加速迭代過(guò)程或求其他特征值及特征向量.設(shè)已知A的一個(gè)特征值的近似值*,因?yàn)?接近,一般應(yīng)有0<|－*|<<|i－*|(i)故－*是矩陣A－*I的按模最小的特征值，比值|(－*)/(i－*)|較小.因此對(duì)A－*I用反冪法求－*一般收斂很快，通常只要迭代二、三次就能達(dá)到較高的精度.帶原點(diǎn)移位的反冪法25第25頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六原點(diǎn)移位反冪法任取初始向量x(0)=y(0)0,迭代向量x(k+1)可以通過(guò)解方程組求得26第26頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六為了節(jié)省計(jì)算量，可以先對(duì)A－*I作三角分解已知y(k)求x(k+1)可通過(guò)下列方式進(jìn)行27第27頁(yè)，共31頁(yè)，2023年，2月20日，星期六原點(diǎn)移位反冪法計(jì)算公式任取初始向量x(0)=y(0)0,先對(duì)A－*I作三角分解

已知y(k)求x(k+1).用下列計(jì)算公式構(gòu)造向量序列{x(k)},{y(