無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)4/21/20231第1頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.1數(shù)字濾波器的基本概念

5.1.1數(shù)字濾波器的分類1、按處理方式分

經(jīng)典數(shù)字濾波器現(xiàn)代濾波器4/21/20232第2頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2、按濾波頻率分按照頻率的選擇不同可以分為低通、高通、帶通和帶阻等濾波器。4/21/20233第3頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3、按網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分無(wú)限脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的濾波器，簡(jiǎn)稱IIR濾波器；有限脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的濾波器，簡(jiǎn)稱FIR濾波器。IIR濾波器：FIR濾波器：4/21/20234第4頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.1.2數(shù)字濾波器的技術(shù)要求和設(shè)計(jì)步驟1、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求假設(shè)數(shù)字濾波器的頻譜函數(shù)H(ejω)用下式表示

對(duì)于選頻濾波器，技術(shù)要求由幅度頻譜給出，相位頻譜一般不做要求。

4/21/20235第5頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六考慮到復(fù)雜性和成本，為了滿足合理的濾波器指標(biāo)，只可能在一定的誤差容限內(nèi)去逼近理想情況。這里所講的誤差容限主要包含以下幾方面的內(nèi)容：(1)通帶內(nèi)不一定完全水平；(2)阻帶內(nèi)不一定絕對(duì)衰減到零；(3)通帶與阻帶之間存在一定寬度的過(guò)渡帶。4/21/20236第6頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六通帶截止頻率阻帶截止頻率4/21/20237第7頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，用dB數(shù)來(lái)表示通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減，通帶內(nèi)允許的最大衰減用符號(hào)αp表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用符號(hào)αs表示當(dāng)幅度下降到時(shí)，ω=ωc，計(jì)算此時(shí)的衰減數(shù)為稱ωc為3dB通帶截止頻率，ωp、ωc和ωs統(tǒng)稱為邊界頻率，它們是濾波器設(shè)計(jì)的重要技術(shù)指標(biāo)。

4/21/20238第8頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

模擬濾波器模型包括巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器、橢圓(Ellipse)濾波器等等。在設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí)，總是首先設(shè)計(jì)低通濾波器，再通過(guò)頻率變換將低通轉(zhuǎn)換成所希望類型的濾波器。

4/21/20239第9頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.2.1模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有αp、Ωp、αs和Ωs。αp和αs可表示為

以上技術(shù)指標(biāo)可以用圖表示。在圖中Ωc就表示3dB截止頻率。

4/21/202310第10頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六當(dāng)已知模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)后，就能夠描繪出上面的波形圖，進(jìn)而得到和Ha(s)，這樣模擬低通濾波器的結(jié)構(gòu)就能夠確定了。5.2.2巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器是根據(jù)幅度頻譜在通頻帶內(nèi)具有最平坦特性而定義的濾波器，在通帶和阻帶內(nèi)的幅度頻譜始終是頻率的單調(diào)下降函數(shù)。

4/21/202311第11頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)可以用下式表示式中，N表示濾波器的階數(shù)濾波器的幅度頻譜隨著濾波器階次N的增加而變得越來(lái)越好。巴特沃斯低通濾波器的主要特性(1)對(duì)于所有N，|Ha(j0)|＝1；(2)對(duì)于所有N，(3)是Ω的單調(diào)下降函數(shù)；(4)隨著階數(shù)N的增大而更接近于理想低通濾波器。

4/21/202312第12頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟：4/21/202313第13頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六設(shè)計(jì)思想：用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器

s平面z平面 模擬系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，

即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓因果穩(wěn)定的Ha(s)映射到因果穩(wěn)定的H(z)， 即s平面的左半平面Re[s]<0 映射到z平面的單位圓內(nèi)|z|<15.3IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

4/21/202314第14頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（1）脈沖響應(yīng)不變法；（2）雙線性變換法。設(shè)計(jì)方法：4/21/202315第15頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)變換原理T—抽樣周期5.3.1利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器4/21/202316第16頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示將Ha(s)進(jìn)行逆拉普拉斯變換就得到模擬系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到4/21/202317第17頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)h(n)進(jìn)行Z變換，就可以得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，可表示為

Ha(s)的極點(diǎn)si映射到Z平面，其極點(diǎn)變?yōu)?，系?shù)Ai不變。4/21/202318第18頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六以采樣信號(hào)為橋梁，討論S平面上任意點(diǎn)到Z平面上的映射關(guān)系。進(jìn)行拉普拉斯變換，可得

進(jìn)一步表示為

4/21/202319第19頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六拉普拉斯變換與相應(yīng)的序列h(n)的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示通常要求所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)是因果穩(wěn)定

上式給出確定H(z)的具體過(guò)程：首先確定模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，然后在S平面上沿虛軸（s=jΩ），按照周期Ωs=2π/T對(duì)Ha(s)進(jìn)行延拓，將S平面映射到Z平面，就得到了H(z)。

4/21/202320第20頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六根據(jù)S平面和Z平面的定義，有關(guān)系因此得到

需要注意

jΩ軸上(-π/T，π/T)映射到單位圓上，也就是說(shuō)，當(dāng)模擬頻率Ω在(-π/T，π/T)內(nèi)變化時(shí)，對(duì)應(yīng)于數(shù)字頻率的變化范圍是(-π，π)，ω＝ΩT，即ω和Ω之間成線性關(guān)系。4/21/202321第21頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4/21/202322第22頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如果ha(t)的頻帶寬度比π/T大，則會(huì)在±π/T的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊，映射到Z平面，表現(xiàn)為在ω＝(2k+1)π的位置發(fā)生頻率混疊。這就是脈沖響應(yīng)不變法存在的問(wèn)題，即頻率混疊現(xiàn)象，4/21/202323第23頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六不發(fā)生頻率混疊的情況時(shí)，需要滿足條件可以得到用脈沖響應(yīng)不變法所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器雖然會(huì)引起頻率混疊現(xiàn)象，但它卻能很好地保持模擬和數(shù)字濾波器之間的線性關(guān)系，即ω=ΩT，因此，在不考慮頻率混疊現(xiàn)象的情況下，用這種設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器方法可以很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性。4/21/202324第24頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一般方法:先，再對(duì)抽樣，使，最后H(Z)=Z[h(n)]，一般說(shuō)來(lái)過(guò)程復(fù)雜。4/21/202325第25頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六方法的簡(jiǎn)化設(shè)Ha(S)只有單階極點(diǎn)，而且分母的階次大于分子的階次，Ha(S)可展成如下的部分公式:因此，4/21/202326第26頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.3.2利用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器為了克服頻率混疊現(xiàn)象，提出了雙線性變換法，其處理過(guò)程分為兩步：第一步，將整個(gè)模擬頻率范圍從(-∞，∞)壓縮到(-π/T，π/T)之間，這一步也被稱為非線性頻率壓縮；第二步，利用實(shí)現(xiàn)從S平面到Z平面的映射。4/21/202327第27頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為Ha(s)，其中s=jΩ，利用正切變換實(shí)現(xiàn)非線性頻率壓縮，得到Ha(s1)，其中s1=jΩ1，Ω和Ω1之間的關(guān)系可以表示為

當(dāng)Ω1從-π/T經(jīng)過(guò)0變化到π/T時(shí)，Ω則由-∞經(jīng)過(guò)0變化到∞，實(shí)現(xiàn)了S平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到S1平面上虛軸的(-π/T，π/T)之間的轉(zhuǎn)換。4/21/202328第28頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六利用脈沖響應(yīng)不變法進(jìn)行第二次映射，將S1平面映射成Z平面，則

4/21/202329第29頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六采用這種變換方法不可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，如果Ha(s)因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換成的H(z)也是因果穩(wěn)定。當(dāng)考慮模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系，可以得到

4/21/202330第30頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4/21/202331第31頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六雙線性變換法克服了脈沖響應(yīng)不變法的多值對(duì)應(yīng)而產(chǎn)生的混疊現(xiàn)象。然而為此付出的代價(jià)是頻率映射發(fā)生了非線性畸變，這將直接影響數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)的相似程度，造成數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的失真。4/21/202332第32頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六基于上述分析，利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟可以總結(jié)如下。(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率ωp和衰減αp，阻帶截止頻率ωs和衰減αs。(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。這里主要是對(duì)邊界頻率ωp和ωs進(jìn)行轉(zhuǎn)換，對(duì)通帶衰減αp和阻帶衰減αs不轉(zhuǎn)換。采用脈沖響應(yīng)不變法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

ω=ΩT

采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

4/21/202333第33頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)通帶截止頻率Ωp、通帶衰減αp、阻帶截止頻率Ωs、阻帶衰減αs設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。(4)將模擬濾波器Ha(s)，從S平面采用適當(dāng)?shù)挠成潢P(guān)系轉(zhuǎn)換到Z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

如果采用脈沖響應(yīng)不變法如果采用雙線性變換法4/21/202334第34頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.3.3利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器對(duì)于數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)，可以借助于模擬低通濾波器設(shè)計(jì)方法，通過(guò)頻率變換，設(shè)計(jì)一個(gè)所需類型的模擬濾波器，最后再通過(guò)雙線性變換，將其轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器，具體設(shè)計(jì)