解析法典型例題1．已知＞＞0，求證：a－b＜－．a(chǎn)bab證明：a－b＜a－b＜＝(a－b)2＜－＜＝aba－2ab＋b＜a－b＜＝b＜ab＜＝b＜a＜＝b＜a＜0(已知條件)．+112．設(shè)x，y∈R，且x＋y＝1，求證：1＋x1＋y≥9．11證明：1＋x1＋y≥9＜＝111＋x1＋1－x≥9＜＝x＋12－x·1－x≥9＜＝2＋x－x2x－x2≥9＜＝2＋x－x2≥9x－9x2＜＝8x2－8x＋2≥0＜＝(2x－1)2≥0此式顯然成立．1213．已知0＜x＜y，求證：y－y＜x＋1．11y證明：x＋1＞1＝y(tǒng)＋1＜＝y(tǒng)＋1y＞y－y2＜＝y(tǒng)＋11＞1－y＜＝y(tǒng)＋11＞1－y2＜＝y(tǒng)2＞0＜＝y(tǒng)＞0(已知條件)．4．已知，，c是不全相等的正數(shù)，求證：a＋bc＋bc＋a＋lg＋lgc．lg＋lg＋lg＞lgab222aba＋bc＋bc＋a＜＝證明：lg2＋lg2＋lg＞lga＋lgb＋lgc2a＋bc＋bc＋babc)lg2·2·2＞lg(＜＝＋bc＋bc＋b2·2·2＞abc＜＝＋b≥ab，a＋＋c≥bca22c≥ac，b2(三式等號不能夠同時成立)＜＝a，b，c為不全相等的正數(shù)(已知)．22245．已知實數(shù)a，b，c滿足c＜b＜a，a＋b＋c＝1，a＋b＋c＝1，求證：1＜a＋b＜3．證明：∵a＋b＋c＝1，11＜a＋b＜3?－3＜c＜0．又∵a2＋b2＋c2＝1，∴(a＋b)2－(a2＋b2)＝(1－c)2－(1－c2)c2c＝＝－22而a＋b＝1－c，∴a，b是二次方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0的兩個不等實根，從而，△＝

(1－c)2－4(c2－c)＞0，解得

－1＜c＜1．3又∵

c＜b＜a，(c－a)(c－b)＞0，即c2－c(a＋b)＋ab＝c2－c(1－c)＋c2－c＝3c2－2c＞0，∴2c＜0或c＞(舍去)．3∴1，即1＜＋＜4．－3＜c＜0ab3xyxy6．可否存在常數(shù)c,使得不等式2x＋y＋x＋2y≤c≤x＋2y＋2x＋y對任意正數(shù)x，y恒成立？222解：令x＝y(tǒng)＝1，得3≤c≤3，∴c＝3．下面給出證明：x＋y≤2＜＝2＋yx＋2y3x3x(x＋2)＋3(2x＋)≤2(x＋2)(2x＋)＜＝y(tǒng)yyyyx2＋y2≥2xy(這個顯然成立)．2x＋y＜＝≤x＋2x＋y32y2(x＋2y)(2x＋y)≤3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)＜＝xy≤x2＋y2(這個顯然成立)．2綜上所述，c＝．3+c＝1，求證：3a＋2＋3b＋2＋3c＋2≤33．7．已知a，b，c∈R，且a＋b＋證明：3a＋2＋3b＋2＋3c＋2≤33＜＝(223a＋2＋3b＋2＋3c＋2)≤(33)＜＝3a＋2＋3b＋2＋3c＋2＋23a＋2·3b＋2＋3b＋2·3c＋2＋3a＋2·3c＋2≤27＜＝23a＋2·3b＋2＋3b＋2·3c＋2＋3a＋2·3c＋2≤18．＜＝23a＋2·3b＋2＋3b＋2·3c＋2＋3a＋2·3c＋2≤6(a＋b＋c)＋12，且a＋b＋c＝1＜＝＝3a＋2·3b＋2≤(3a＋2)＋(3b＋2)，且3a＋2·3c＋2≤(3a＋2)＋(3c＋2)，且23b＋2·3c＋2≤(3b＋2)＋(3c＋2)．＜＝a，b，c∈R+．8．已知a＞0，b＞0，2c＞a＋b，求證：c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab．22證明：c－c－ab＜a＜c＋c－ab＜＝|a－c|＜c2－ab＜＝(a－c)2＜c2－ab＜＝a2－2ac＋c2＜c2－ab＜＝2ac＞a2＋ab＜＝2c＞a＋b(已知)．9．已知a，b，c∈R+，且ab＋bc＋ca＝1，(1)求證：a＋b＋c≥3；證明a＋b＋c≥2+222ab＋bc＋ac)≥3＜＝(a＋b＋c)≥3，且a，b，c∈R＜＝a＋b＋c＋2(3＜＝a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca＜＝a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac．a(chǎn)bca＋b＋c)．(2)求證：bc＋ac＋ab≥3(abca＋b＋c3證明∵bc＋ac＋ab＝abc≥abc＜＝1a＋b＋c＜＝abcabc＋bac＋cab≤1＝ab＋bc＋ca＜＝abc＝ab·ac≤ab＋acac＝ab·bc≤ab＋bc且cba＝cb·ac≤cb＋ac．2且b2210．已知，，，d都大于1，且log(bcd)≤9，求證：log＋log＋loga≥1．a(chǎn)bcdlogba＋logca＋logda≥1111證明＜＝logab＋logac＋logad≥1＜＝331≥1＜＝loga·loga·loga≤27＜＝logab·logac·logadbcdloga＋loga＋logad3loga()393logaaabc＝bcd≤3＝27＜＝b·logc·logd≤33a，b，c，d都大于1，且loga(bcd)≤9．11．已知函數(shù)f(x)＝tanx，x∈π，若x，x∈π1)＋f(x)]＞fx1＋x22222．1212121＞fx1＋x21x1＋x2證明：2[f(x1)＋f(x2)]2＜＝2(tanx1＋tanx2)＞tan2＜＝sinx1＋x2x1＋x2·cosx1＋x2122122cosx12sin221sinxsinx1sinxcosx＋sinx2＋＞12＜＝2cosx2cosx2＞21＋x2＜＝cosx1cosx2cosx＋xcosx22＝1sin(x1＋2sin(x1＋x2πx))2·cosx2cosx2＞1＋cos(x1＋x2)＜＝1＋cos(x1＋x2)＞2cosx1cosx2，且x1，x2∈0，2＜＝1＋cosx1cosx2－sinx1sinx2＞2cosx1cosx2＜＝1＞cosx1cosx2＋sinx1sinx2＜＝1＞cos(x1－x2)＜＝x1≠x2．x，不等式3sinx12．求證：對任意實數(shù)2＋cosx≤1恒成立．證明3sinx≤1＜＝|3sinx|≤|2＋cosx|＜＝|3sinx|2≤|2＋cosx|2＜＝2＋cosx3sin2x≤4＋4cosx＋cos2x＜＝4cos2x＋4cosx＋1≥0＜＝(2cosx＋1)2≥0恒成立．13．已知三角形三邊長為a，b，c，面積為S，求證：a2＋b2＋c2≥43S．證明a2b2c23S＜＝a2b2c2≥41sinC＜＝＋＋≥4＋＋32ab22212444222222222a＋b＋c≥432ab1－cosC＜＝a＋b＋c＋2ab＋2ac＋2bc≥12ab(1－cosC)＜＝4＋4＋c4－1022＋222＋222≥－1222cos2C＜＝ababacbcab4＋4＋4－1022＋22222≥－1222a2＋b2－c22＜＝abcab＋2bcabac2aba4＋b4＋c4－10a2b2＋2a2c2＋2b2c2≥－12a2b2a2＋b2－c22＜＝2aba4＋b4＋c4－10a2b2＋2a2c2＋2b2c2≥－3(a4＋b4＋c4＋2a2b2－2a2c2－2b2c2)＜＝2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2a2c2－2b2c2≥0＜＝(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(a2－c2)≥0．(－)2a＋b(a－b)214．已知a＞b＞0，求證：ab＜8a＜2－8b．(a－b)2a＋b(a－b)2(a－b)2a＋b－2ab(a－b)2證明8＜2－ab＜8b＜＝8＜2＜8＜＝aab(a－)2(a－b)2(a－)2＜＝(a－)22(－)2b＜＜bb＜(a－b＜ab＜＝8a28b4a)4ba－ba－b＜＝a＋ba＋b＜a－b＜b2a＜1＜2b，且a－b＞0＜＝2a211b1a11b11aba2＋2a＜1＜2b＋2＜＝2a＜2＜2b＜＝a＜1＜b＜＝b＜a＜＝a＞b＞0．15．已知，，c+，求證：a4＋b4＋c4abacbc∈R≥＋＋．a(chǎn)babccbaa4＋b4＋c4abacbca4＋b4＋c4a2b2＋a2c2＋b2c2證明abc≥c＋b＋a＜＝abc≥abc＜＝2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2a2c2－2b2c2≥0＜＝(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(a2－c2)≥0．16．已知||＜1，||＜1，求證：a＋b＜1．a(chǎn)b1＋ab證明a＋b＜1＜＝|a＋b＜|1＋ab＜＝|a＋b2＜|1＋ab2＜＝1＋ab||||a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＋a2b2＜＝a2b2－a2－b2＋1＞0＜＝(1－a2)(1－b2)＞0＜＝1－a2＞0且1－b2＞0(或1－2＜0且1－2＜0)＜＝||＜1，|b|＜1．a(chǎn)ba17．已知，∈(0，＋∞)，且3＋3＝2，求證：＋≤2．pqpqpq證明p＋≤2＜＝＋q)3≤23＝8＝2×4＜＝＋)3≤(3＋3)×4＜＝q(p(pqpqp3＋3p2q＋3pq2＋q3≤4p3＋4q3＜＝p3＋q3－pq(p＋q)≥0＜＝(＋)(2－＋2＋≥0＜＝(p＋q)(p－q2≥0＜＝，∈(0，＋∞)．pqppqq)－pq(pq))pq1118．已知x∈(0，＋∞)，求證：x＋x－x＋x＋1≤2－3．11112證明x＋x－x＋x＋1≤2－3＜＝x＋x－x＋x－1≤2－3＜＝2－1≤2－3，＜＝t＋3≤2＋2＜＝(t＋3)222t－tt－1≤(2＋t－1)＜＝＝32≤4(t2－1)＜＝t2≥4＜＝t≥2＜＝t＝x＋1≥2(x∈(0，＋∞))．x19．已知a，b，c+，求證：log3(222－2log3(a＋b＋c)≥－1∈Ra＋b＋c)證明log3(a2＋b2＋c2)－2log3(＋＋)≥－1＜＝log3(a2＋b2＋2)＋1≥2log3(a＋＋)＜＝abccbclog33(a2＋b2＋c2)≥log3(a＋b＋c)2且a，b，c∈R+＜＝3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＜＝2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ac＜＝a2－2ab＋b2＋a2－2ac＋c2＋b2－2bc＋c2≥0＜＝(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0．20．在銳角三角形ABC中，求證：11tanAtanB1＋tanA＋1＋tanB＜1＋tanA＋1＋tanB．11tanAtanB證明1＋tanA＋1＋tanB＜1＋tanA＋1＋tanB＜＝1A＋11＋tanA－11＋tanB－11＋tan1＋tanB＜1＋tanA＋1＋tanB＜＝1A＋1111＋tan1＋tanB＜1－1＋tanA＋1－1＋tanB＜＝22111＋tanA＋1＋tanB＜2＜＝1＋tanA＋1＋tanB＜1＜＝2＋tan＋tanB＜1＋tantan＋tan＋tanB＜＝AABAπ1＜tanAtanB＜＝cotA＜tanB＜＝tan2－A＜tanB＜＝π－＜B＜＝銳角三角形中，＋＞π．2221．已知，，c為三角形的三邊長，求證：a＋b＋c≥3．a(chǎn)bb＋c－aa＋c－ba＋b－cabc證明b＋c－a＋a＋c－b＋a＋b－c≥3＜＝2a＋2b＋2c≥6＜＝＋－＋c－＋－cbcaabab222b＋c－a＋1＋a＋c－b＋1＋a＋b－c＋1≥9＜＝a＋＋c＋b＋c＋＋cb＋c－a＋a＋c－b＋a＋b－c≥9＜＝111(a＋b＋c)b＋c－a＋a＋c－b＋a＋b－c≥9＜＝[(b＋c－a)＋(a＋c－b)＋(a＋b－c)]111b＋c－a＋a＋c－b＋a＋b－c≥9＜＝(b＋c－a)＋(a＋c－b)＋(a＋b－c)≥33(b＋c－a)·(a＋c－b)·(a＋b－c)且1113111b＋c－a＋a＋c－b＋a＋b－c≥3b＋c－a·a＋c－b·a＋b－c＜＝b＋－＞0，a＋c－＞0，a＋－＞0＜＝已知a，，c為三角形的三邊長．cabbcb+11722．已知a，b，∈R，且a＋b＝1，求證：ab＋ab≥4．+1證明由a，b，∈R，且a＋b＝1知0＜ab≤4．1171174(ab)2－17ab＋4ab＋ab≥4＜＝ab＋ab－4≥0＜＝4ab≥0＜＝4(ab)2－17ab＋4≥0＜＝(4ab－1)(ab－4)≥0＜＝0＜ab≤1＜4(已證)．423．)(2011年高考全國卷理科壓軸題(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－－2xx＞0時，f(x)＞0；，證明：當x＋2(2)從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，爾后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個號碼互不一樣樣的概率為p，證明：p＜919110＜e2．證明(1)∵f(x)＝ln(1＋x)－2x＝ln(1＋x)－2(x＋2)－44x＋＝ln(1＋x)－2＋x＋22x＋2f′x14(x＋2)2－4(1＋x)x22＞0(x＞0)，∴( )＝－2＝(1＋x)(x＋2)2＝(1＋x)(x＋2)1＋x(x＋2)∴f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞加，∴f(x)＞f(0)＝0．(2)易知p＝100·99·98··8199·98··8110020＝19．100919先證左端不等式＜：p1091999·98··81901919p＜10＜＝10019＜100＜＝99·98·97··81＜90＜＝19＜＝1999＋98＋97＋＋81＝90．99·98·97··81＜9099·98·97··81＜199191再證右端不等式10＜e2：919191991021210＜e2＜＝ln10＜lne2＜＝19ln10＜－lne＜＝ln