1二階「常係數(shù)」齊性常微分方程式

若a、b、c

為常數(shù)且a

≠

0，則

a

y"－b

y'

＋c

y=0

稱為二階常係數(shù)齊性常微分方程式。

【例】y"＋5

y'

－6

y=0

y"＋10

y'=04

y"＋9

y=0

y"=02「特性方程式」與「特性根」令y=eλx

代入a

y"－b

y'

＋c

y=0，得aλ2eλx＋bλeλx＋c

eλx=0，即(

aλ2＋bλ＋c

)

eλx=0，其中eλx

≠

0，則必aλ2＋bλ＋c=0；

aλ2＋bλ＋c=0，稱為該微分方程式之「特性方程式」；其解λ

=λ1,

λ2

稱為「特性根」。d173「特性根」之型態(tài)特性方程式：aλ2＋bλ＋c=0特性根：λ

=λ1,

λ2

=

若b

2－4

a

c

>0，則λ1、λ2為相異實(shí)根；

若b

2－4

a

c=0，則λ1、λ2為相同實(shí)根；

若b

2－4

a

c

<0，則λ1、λ2為共軛複根。4求解a

y"

+

b

y'

+

c

y=0之步驟歸納《步驟一》

寫出「特性方程式」aλ2＋bλ＋c=0，並解出「特性根」λ

=λ1,

λ2?！恫襟E二》

根據(jù)特性根之型態(tài)決定「通解」之格式：

實(shí)根λ1

≠λ2

時(shí)，y=c1

eλ1

x＋c2

eλ2

x；

實(shí)根λ1

=λ2=λ

時(shí)，y=c1

eλx＋c2x

eλx；

共軛複根λ1,

λ2=p

±

i

q

時(shí)，

y=e

p

x(

c1

cos

q

x

＋c2

sin

q

x

)。5「降階法」驗(yàn)證過程(

a

D

2＋b

D＋c

)

y=0

?

a

(

D

-λ1

)(

D

-λ2

)

y=0■■■■■■■■■■■■■■■■令

(

D

-λ2

)

y

≡z

………………

(1)

≡

z

則原式為

(

D

-λ1

)

z=0………

(2)對

(2)

兩側(cè)同乘

e

-λ1x

得e

-λ1xdz

-λ1e

-λ1x

zdx

=0，即

d

(

z

e

-λ1x

)

=0，積得

z

e

-λ1x

=k1，即

z

=k1eλ1x；再回到

(1)：(

D

-λ2

)

y=k1eλ1x，同乘

e

-λ2x

得

e-λ2xdy

-λ2e-λ2x

ydx

=k1eλ1x.

e-λ2xdx,積分得y

e-λ2x

=k1∫e

(λ1-λ2)

xdx＋k2，∴

y=k1eλ2x∫e

(λ1-λ2)

xdx＋k2eλ2x。λ為相異實(shí)根時(shí)之通解積分前，y=k1eλ2x∫e

(λ1-λ2)

xdx＋k2eλ2x；λ1

≠λ2

時(shí)，

k1

y=----------eλ2x.

e

(λ1-λ2)

x＋k2eλ2x

λ1-λ2

k1

=----------eλ1x＋k2eλ2x

λ1-λ2

=c1

eλ1x

＋c2eλ2x

k1其中

c1≡

----------、c2≡

k2

皆為任意常數(shù)。

λ1-λ26λ為相同實(shí)根時(shí)之通解積分前，y=k1eλ2x∫e

(λ1-λ2)

xdx＋k2eλ2x；λ1

=λ2=

λ

時(shí)，

y=k1

x

eλ2x＋k2eλ2x

=k1

x

eλx＋k2eλx

=k2eλx＋k1

x

eλx

=c1

eλx＋c2x

eλx其中c1≡

k2、c2≡

k1

皆為任意常數(shù)。7λ為共軛複根時(shí)之通解積分前，y=k1eλ2x∫e

(λ1-λ2)

xdx＋k2eλ2x；λ1

=p＋iq

且λ2=p

-

iq

時(shí)，

y=(k1

/

i2q)

e(p-iq)x.

e

i2qx＋k2e(p-iq)x=e

px

(

c1

e

iqx＋c2

e

-iqx

)=e

px

[

c1

(cos

qx＋isin

qx)＋c2(cos

qx-isin

qx)

]=e

px

[(

c1＋