實(shí)訓(xùn)五Matlab求解高等數(shù)學(xué)問(wèn)題極限問(wèn)題的解析解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解析解積分問(wèn)題的解析解級(jí)數(shù)展開(kāi)及級(jí)數(shù)求和問(wèn)題曲線積分與曲面積分的計(jì)算代數(shù)方程的求解5.1極限問(wèn)題的解析解例.觀察數(shù)列{n/(n+1)}當(dāng)n->∞時(shí)的變化趨勢(shì).輸入命令:n=1:100；xn=n./(n+1)得到該數(shù)列的前100項(xiàng)，從這前100項(xiàng)看出，隨n的增大，n/(n+1)與1非常接近畫(huà)出數(shù)列的圖形.fori=1:100;plot(n(i),xn(i),’bo’)holdonend

例.分析函數(shù)，當(dāng)x->0時(shí)的變化趨勢(shì).畫(huà)出函數(shù)在[-1,1]上的圖形.x=-1:0.01:1；y=x.*sin(1./x)；plot(x，y)從圖上看，隨著|x|的減小，振幅越來(lái)越小趨近于0，頻率越來(lái)越高作無(wú)限次振蕩.作出y=x和y=-x的圖象.holdon；plot(x，x，x，-x)>>symsx;>>limit(x*sin(1/x),x,0)ans=0單變量函數(shù)的極限格式1：symsx;L=limit(fun,x,x0)格式2：symsx;

L=limit(fun,x,x0,‘left’或‘right’)格式3：symsx;L=limit(fun,x,inf)格式4：symsx;L=limit(fun,x,+inf或-inf)例:求解單邊極限問(wèn)題>>symsx;>>limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')ans=12例:試求解極限問(wèn)題>>symsxab;>>f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x);>>L=limit(f,x,inf)L=exp(a)*b例：試求多變量函數(shù)的極限：格式：L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0)或L1=limit(limit(f,y,y0),x,x0)如果x0或y0不是確定的值，而是另一個(gè)變量的函數(shù)，如x->g(y)，則上述的極限求取順序不能交換。例：求出二元函數(shù)極限值>>symsxya;>>f=exp(-1/(y^2+x^2))…*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);>>L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y)),y,inf)L=exp(a^2)5.2函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解析解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)格式：y=diff(fun,x)%求導(dǎo)數(shù)(默認(rèn)為1階)

y=diff(fun,x,n)%求n階導(dǎo)數(shù)例：求一階及100階導(dǎo)數(shù)：>>symsx;f=sin(x)/(x^2+4*x+3);>>f1=diff(f)f1=cos(x)/(x^2+4*x+3)-sin(x)/(x^2+4*x+3)^2*(2*x+4)>>pretty(f1)cos(x)sin(x)(2x+4)-----------------------------------222x+4x+3(x+4x+3)更高階導(dǎo)數(shù)：>>tic,diff(f,x,100);tocelapsed_time=4.6860整理結(jié)果成為常見(jiàn)格式tic開(kāi)始計(jì)時(shí)，toc輸出所用時(shí)間原函數(shù)4階導(dǎo)數(shù)>>f4=diff(f,x,4);pretty(f4)2sin(x)cos(x)(2x+4)sin(x)(2x+4)------------+4--------------------12-----------------22223x+4x+3(x+4x+3)(x+4x+3)3sin(x)cos(x)(2x+4)cos(x)(2x+4)+12----------------24-----------------+48----------------222423(x+4x+3)(x+4x+3)(x+4x+3)42sin(x)(2x+4)sin(x)(2x+4)sin(x)+24------------------72-----------------+24---------------252423(x+4x+3)(x+4x+3)(x+4x+3)多元函數(shù)的偏導(dǎo)：格式：f=diff(diff(f,x,m),y,n)或f=diff(diff(f,y,n),x,m)例：求其偏導(dǎo)數(shù)。>>symsxyz=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);>>zy=diff(z,y)zy=(x^2-2*x)*(-2*y-x)*exp(-x^2-y^2-x*y)>>zx=simple(diff(z,x))zx=-exp(-x^2-y^2-x*y)*(-2*x+2+2*x^3+x^2*y-4*x^2-2*x*y)例>>symsxyz;f=sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2);>>df=diff(diff(diff(f,x,2),y),z);df=simple(df);>>pretty(df)

22222-4zexp(-xy-z)(cos(xy)-10cos(xy)yx+42422422sin(xy)xy+4cos(xy)xy-sin(xy))多元函數(shù)的Jacobi矩陣:格式：J=jacobian(Y,X)其中，X是自變量構(gòu)成的向量，Y是由各個(gè)函數(shù)構(gòu)成的向量。例：試推導(dǎo)其Jacobi矩陣>>symsrthetaphi;>>x=r*sin(theta)*cos(phi);>>y=r*sin(theta)*sin(phi);>>z=r*cos(theta);>>J=jacobian([x;y;z],[rthetaphi])

J=[sin(theta)*cos(phi),r*cos(theta)*cos(phi),-r*sin(theta)*sin(phi)][sin(theta)*sin(phi),r*cos(theta)*sin(phi),r*sin(theta)*cos(phi)][cos(theta),-r*sin(theta),0]

隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：格式：F=-diff(f,xj)/diff(f,xi)例：>>symsxy;f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);>>pretty(-simple(diff(f,x)/diff(f,y)))

322-2x+2+2x+xy-4x-2xy------------------------------------------x(x-2)(2y+x)●參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)已知參數(shù)方程

，求

例5.3積分問(wèn)題的解析解不定積分的推導(dǎo)：格式：F=int(fun,x)例：用diff()函數(shù)求其一階導(dǎo)數(shù)，再積分，檢驗(yàn)是否可以得出一致的結(jié)果。>>symsx;y=sin(x)/(x^2+4*x+3);y1=diff(y);>>y0=int(y1);pretty(y0)%對(duì)導(dǎo)數(shù)積分sin(x)sin(x)-1/2------+1/2------x+3x+1對(duì)原函數(shù)求4階導(dǎo)數(shù)，再對(duì)結(jié)果進(jìn)行4次積分>>y4=diff(y,4);>>y0=int(int(int(int(y4))));>>pretty(simple(y0))sin(x)------------2x+4x+3例:證明>>symsax;f=simple(int(x^3*cos(a*x)^2,x))f=1/16*(4*a^3*x^3*sin(2*a*x)+2*a^4*x^4+6*a^2*x^2*cos(2*a*x)-6*a*x*sin(2*a*x)-3*cos(2*a*x)-3)/a^4>>f1=x^4/8+(x^3/(4*a)-3*x/(8*a^3))*sin(2*a*x)+...(3*x^2/(8*a^2)-3/(16*a^4))*cos(2*a*x);>>simple(f-f1)%求兩個(gè)結(jié)果的差ans=-3/16/a^4定積分與無(wú)窮積分計(jì)算:格式：I=int(f,x,a,b)格式：I=int(f,x,a,inf)例：>>symsx;I1=int(exp(-x^2/2),x,0,1.5)％無(wú)解I1=1/2*erf(3/4*2^(1/2))*2^(1/2)*pi^(1/2)>>vpa(I1,70)ans=>>I2=int(exp(-x^2/2),x,0,inf)I2=1/2*2^(1/2)*pi^(1/2)

vpa(A)輸出A的數(shù)值vpa(A,d)輸出A的數(shù)值至小數(shù)點(diǎn)后d位例：>>symsxyz>>int(int(int(4*x*z*exp(-x^2*y-z^2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi)ans=(Ei(1,4*pi)+log(pi)+eulergamma+2*log(2))*pi^2*hypergeom([1],[2],-pi^2)Ei(n,z)為指數(shù)積分，無(wú)解析解，但可求其數(shù)值解：>>vpa(ans,60)ans=5.4函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)與

級(jí)數(shù)求和問(wèn)題求解5.4.1Taylor冪級(jí)數(shù)展開(kāi)5.4.2級(jí)數(shù)求和的計(jì)算5.4.3曲線積分與曲面積分●

單變量函數(shù)的Taylor冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

其中

其中例:>>symsx;f=sin(x)/(x^2+4*x+3);>>y1=taylor(f,x,9);pretty(y1)

2233344408753067651527373864598

1/3x-4/9x+--x-----x+------x-------x+----------x----------x5481972072901224720918540>>taylor(f,x,9,2)ans=

>>symsa;taylor(f,x,5,a)%結(jié)果較冗長(zhǎng)，顯示從略ans=sin(a)/(a^2+3+4*a)+(cos(a)-sin(a)/(a^2+3+4*a)*(4+2*a))/(a^2+3+4*a)*(x-a)+(-sin(a)/(a^2+3+4*a)-1/2*sin(a)-(cos(a)*a^2+3*cos(a)+4*cos(a)*a-4*sin(a)-2*sin(a)*a)/(a^2+3+4*a)^2*(4+2*a))/(a^2+3+4*a)*(x-a)^2+…例:對(duì)y=sinx進(jìn)行Taylor冪級(jí)數(shù)展開(kāi),并觀察不同階次的近似效果。>>x0=-2*pi:0.01:2*pi;y0=sin(x0);symsx;y=sin(x);>>plot(x0,y0,'r-.'),axis([-2*pi,2*pi,-1.5,1.5]);holdon>>forn=[8:2:16]p=taylor(y,x,n),y1=subs(p,x,x0);line(x0,y1)endp=x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7p=x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7+1/362880*x^9p=x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7+1/362880*x^9-1/39916800*x^11p=x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7+1/362880*x^9-1/39916800*x^11+1/6227020800*x^13

p=5.4.2級(jí)數(shù)求和的計(jì)算是在符號(hào)工具箱中提供的例:計(jì)算>>formatlong;sum(2.^[0:63])%數(shù)值計(jì)算ans=1.844674407370955e+019>>sum(sym(2).^[0:200])%或symsk;symsum(2^k,0,200)％把2定義為符號(hào)量可使計(jì)算更精確ans=>>symsk;symsum(2^k,0,200)ans=例:試求解無(wú)窮級(jí)數(shù)的和>>symsn;s=symsum(1/((3*n-2)*(3*n+1)),n,1,inf)%采用符號(hào)運(yùn)算工具箱s=1/3>>m=1:10000000;s1=sum(1./((3*m-2).*(3*m+1)));%數(shù)值計(jì)算方法,雙精度有效位16,“大數(shù)吃小數(shù)”,無(wú)法精確>>formatlong;s1%以長(zhǎng)型方式顯示得出的結(jié)果s1=0.33333332222165例:求解>>symsnx>>s1=symsum(2/((2*n+1)*(2*x+1)^(2*n+1)),n,0,inf);>>simple(s1)%對(duì)結(jié)果進(jìn)行化簡(jiǎn)ans=log((x+1)/x)例:求>>symsmn;limit(symsum(1/m,m,1,n)-log(n),n,inf)ans=eulergamma

>>vpa(ans,70)%顯示70位有效數(shù)字ans=

5.5曲線積分與曲面積分的計(jì)算5.5.1曲線積分及MATLAB求解第一類曲線積分起源于對(duì)不均勻分布的空間曲線總質(zhì)量的求取.設(shè)空間曲線L的密度函數(shù)為f(x,y,z),則其總質(zhì)量其中s為曲線上某點(diǎn)的弧長(zhǎng),又稱這類曲線積分為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分.數(shù)學(xué)表示若弧長(zhǎng)表示為例：>>symst;symsapositive;x=a*cos(t);y=a*sin(t);z=a*t;>>I=int(z^2/(x^2+y^2)*sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2+diff(z,t)^2),t,0,2*pi)I=8/3*pi^3*a*2^(1/2)

>>pretty(I)31/28/3pia2例：>>x=0:.001:1.2;y1=x;y2=x.^2;plot(x,y1,x,y2)％繪出兩條曲線>>symsx;y1=x;y2=x^2;I1=int((x^2+y2^2)*sqrt(1+diff(y2,x)^2),x,0,1);>>I2=int((x^2+y1^2)*sqrt(1+diff(y1,x)^2),x,1,0);I=I2+I1I=-2/3*2^(1/2)+349/768*5^(1/2)+7/512*log(-2+5^(1/2))-第二類曲線積分又稱對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，起源于變力沿曲線移動(dòng)時(shí)作功的研究曲線亦為向量,若曲線可以由參數(shù)方程表示則兩個(gè)向量的點(diǎn)乘可由這兩個(gè)向量直接得出.例：求曲線積分>>symst;symsapositive;x=a*cos(t);y=a*sin(t);>>F=[(x+y)/(x^2+y^2),-(x-y)/(x^2+y^2)];ds=[diff(x,t);diff(y,t)];>>I=int(F*ds,t,2*pi,0)%正向圓周I=2*pi例：>>symsx;y=x^2;F=[x^2-2*x*y,y^2-2*x*y];ds=[1;diff(y,x)];>>I=int(F*ds,x,-1,1)

I=

-14/155.5.2曲面積分與MATLAB語(yǔ)言求解其中為小區(qū)域的面積，故又稱為對(duì)面積的曲面積分。曲面由給出，則該積分可轉(zhuǎn)換成x-y平面的二重積分為-第一類曲面積分例：％四個(gè)平面，其中三個(gè)被積函數(shù)的值為0，只須計(jì)算一個(gè)即可。>>symsxy;symsapositive;z=a-x-y;>>I=int(int(x*y*z*sqrt(1+diff(