2021-2022學年湖南省郴州市高二上學期期末教學質量監(jiān)測數(shù)學試題一、單選題1．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【分析】利用直線的方向向量求出其斜率，進而求出傾斜角作答.【詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B2．已知，向量，，若，則x的值為（

）A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】D【分析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標表示計算作答.【詳解】因向量，，，則，解得，所以x的值為2.故選：D3．等差數(shù)列中，，，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由等差數(shù)列的基本量法先求得公差，然后可得．【詳解】設數(shù)列的公差為，則，，所以．故選：C．4．若函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)，則的解析式可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求出每個函數(shù)的導函數(shù)，進而判斷答案.【詳解】對A，，為奇函數(shù)；對B，，為奇函數(shù)；對C，，為偶函數(shù)；對D，，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).故選：C.5．已知雙曲線，則雙曲線M的漸近線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由雙曲線的方程直接求出見解析即可.【詳解】由雙曲線，則其漸近線方程為：故選：C6．若橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出拋物線的焦點坐標，可得出的值，進而可求得橢圓的離心率.【詳解】拋物線的焦點坐標為，由已知可得，可得，因此，該橢圓的離心率為.故選：B.7．已知圓與圓相交于A?B兩點，則圓上的動點P到直線AB距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判斷圓與的位置并求出直線AB方程，再求圓心C到直線AB距離即可計算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，，即圓與相交，直線AB方程為：，圓的圓心，半徑，點C到直線AB距離的距離，所以圓C上的動點P到直線AB距離的最大值為.故選：A8．某中學的校友會為感謝學校的教育之恩，準備在學校修建一座四角攢尖的思源亭如圖它的上半部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，已知此正四棱錐的側面與底面所成的二面角為30°，側棱長為米，則以下說法不正確（

）A．底面邊長為6米 B．體積為立方米C．側面積為平方米 D．側棱與底面所成角的正弦值為【答案】D【分析】連接底面正方形的對角線交于點，連接，則為該正四棱錐的高，即平面，取的中點，連接，則的大小為側面與底面所成，設正方形的邊長為，求出該正四棱錐的底面邊長，斜高和高，然后對選項進行逐一判斷即可.【詳解】連接底面正方形的對角線交于點，連接則為該正四棱錐的高，即平面取的中點，連接，由正四棱錐的性質，可得由分別為的中點，所以，則所以為二面角的平面角，由條件可得設正方形的邊長為，則,又則,解得

故選項A正確.所以,則該正四棱錐的體積為，故選項B正確.該正四棱錐的側面積為，故選項C正確.由題意為側棱與底面所成角，則，故選項D不正確.故選：D二、多選題9．下列說法正確的有（

）A．曲線的切線與曲線有且只有一個公共點B．設函數(shù)，則導函數(shù)恒成立C．函數(shù)在附近單調遞增D．某質點沿直線運動，位移y（單位：）與時間t（單位：）之間的關系為，則時的瞬間時速度為4【答案】BD【分析】舉特例判斷選項A；求導并確定導數(shù)值符號判斷選項B；求導確定導數(shù)在2附近的導數(shù)值符號判斷選項C；利用導數(shù)的物理意義計算判斷選項D作答.【詳解】對于A，函數(shù)，，，則函數(shù)的圖象在點處切線，由解得：或，即曲線在點處切線與曲線有兩個公共點，A不正確；對于B，函數(shù)定義域為，，B正確；對于C，在函數(shù)中，，當時，，即在上遞減，C不正確；對于D，依題意，，當時，，即時的瞬間時速度為4，D正確.故選：BD10．著名的天文學家?數(shù)學家約翰尼斯·開普勒發(fā)現(xiàn)了行星運動的三大定律，其中開普勒第一定律又稱為軌道定律，即所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，且太陽中心處在橢圓的一個焦點上，記某行星M繞太陽運動的軌道為橢圓C，在行星M繞太陽運動的過程中，M與太陽中心的最大距離與最小距離分別為10和2，則下列有關該橢圓C說法正確的是（

）A．長軸長為12B．離心率為C．橢圓C與雙曲線有相同的焦點D．若C是焦點在x軸上的橢圓，P，Q是橢圓短軸上的兩個頂點，A是橢圓上異于P，Q的任意一點，則【答案】ABD【分析】求得橢圓的a、c即可判斷選項ABC；代入計算即可判斷選項D.【詳解】由，可得則橢圓C長軸長為12.選項A判斷正確；橢圓C離心率.選項B判斷正確；橢圓C的焦點所在軸未確定，故橢圓C與雙曲線有相同的焦點判斷錯誤；不妨設橢圓C的方程為，，,則，選項D判斷正確.故選：ABD11．如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，的中點，以下說法正確的是（

）A．三棱錐的體積為2B．C．異面直線EF與所成角的余弦值為D．過點E，F(xiàn)，G作正方體的截面，所得截面的面積是【答案】BD【分析】轉換頂點求三棱錐的體積；先證線面垂直再證線線垂直即可；組三角形求異面直線EF與所成角；畫出過點E，F(xiàn)，G的正方體的截面，再求其面積.【詳解】選項A：.判斷錯誤；選項B：連接、.正方體中，，則面，又平面故.判斷正確；選項C：連接.由E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點，可知.則為異面直線EF與所成角或其補角，又由為等邊三角形可知，，則異面直線EF與所成角大小為，.判斷錯誤；選項D：正方體中，由E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，的中點，可知，則梯形即為過點E，F(xiàn)，G的正方體的截面.梯形中，上底，下底，腰，則梯形的高為，故.判斷正確.故選：BD12．已知正項數(shù)列中，，，，，數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由條件可得是首項為1，公差為的等差數(shù)列，求出其通項公式，可得，即可判斷A;由可求出，判斷B的對錯；利用可求，判斷C的對錯；根據(jù)數(shù)列是等差數(shù)列，求出其前n項和，可判斷D.【詳解】因為，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以.所以，則，故A正確；又，故B錯誤；數(shù)列前n項和.則，故C正確；數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，其前n項和為，故D錯誤，故選：AC.三、填空題13．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，滿足，，則___________.【答案】【分析】利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式，即可得到答案.【詳解】由題意各項均為正數(shù)的等比數(shù)列得：，故答案為：14．已知拋物線上一點到準線的距離為，到直線：的距離為，則的最小值為__________．【答案】3【分析】根據(jù)拋物線的定義可知，點P到拋物線準線的距離等于點P到焦點F的距離，過焦點F作直線：的垂線，此時取得最小值，利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標為，準線方程為，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義可知，點P到拋物線準線的距離等于點P到焦點F的距離，過焦點F作直線：的垂線，此時取得最小值，由點到直線的距離公式可得，即的最小值為3.【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程及其簡單的幾何性質的應用，以及拋物線的最值問題，其中解答中根據(jù)拋物線的定義可知，點P到拋物線準線的距離等于點P到焦點F的距離，利用點到直線的距離公式求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及運算與求解能力，屬于中檔試題.15．已知，分別是雙曲線的左?右焦點，P是其一條漸近線上的一點，且以為直徑的圓經過點P，則的面積為___________.【答案】【分析】先得出漸近線方程和圓的方程，然后解出點P的縱坐標，進而求出面積.【詳解】由題意，漸近線方程為：，，圓的方程為：，聯(lián)立：，所以.故答案為：.16．如圖，棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱?的中點，G為面對角線上一個動點，則三棱錐的外接球表面積的最小值為___________.【答案】【分析】以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系，則，設，球心，得到外接球半徑關于的函數(shù)關系，求出的最小值，即可得到答案；【詳解】解：以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系.則，設，球心，，又.聯(lián)立以上兩式，得，所以時，，為最小值，外接球表面積最小值為.故答案為：.四、解答題17．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為.求：(1)頂點的坐標；(2)直線的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出直線的方程，然后聯(lián)立直線、的方程，即可求得點的坐標；（2）設，可求得線段的中點的坐標，將點的坐標代入直線的方程，可求得的值，可得出點的坐標，進而利用直線的斜率和點斜式可得出直線的方程.(1)解：，所以，而，則，所以直線的方程為，由，解得，所以頂點的坐標為.(2)解：因為在直線，所以可設，由為線段的中點，所以，將的坐標代入直線的方程，所以，解得，所以.故，故直線的方程為，即.18．已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求的解析式；(2)求函數(shù)圖象上的點到直線的距離的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題可得，然后利用導數(shù)的幾何意義即求；（2）由題可得切點到直線的距離最小，即得.(1)∵函數(shù)，∴的定義域為，，∴在處切線的斜率為，由切線方程可知切點為，而切點也在函數(shù)圖象上，解得，∴的解析式為；(2)由于直線與直線平行，直線與函數(shù)在處相切，所以切點到直線的距離最小，最小值為，故函數(shù)圖象上的點到直線的距離的最小值為.19．已知數(shù)列的前n項和，遞增等比數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和為.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求，再由求出，設等比數(shù)列的公比為q，由條件可得，解出結合條件可得答案.（2）由（1）可得，利用錯位相減法可求(1)，當時，，也滿足上式，∴，則.設等比數(shù)列的公比為q，由得，解得或.因為是遞增等比數(shù)列，所以，.(2)①

①①②：∴20．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，直線與平面ABCD所成角的正弦值為.E，F(xiàn)分別為?的中點.(1)求證：平面BED；(2)求直線與平面FAC所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明垂直于平面BED內的兩條相交直線，即可得到答案；（2）分別以OB，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標系，平面FAC的一個法向量為，代入向量的夾角公式，即可得到答案；(1)∵ABCD為菱形，∴，設AC與BD的交點為O，則OE為的中位線，∴.由題意得平面ABCD，∴平面ABCD，而AC在平面ABCD中，∴.又，∴平面BED.(2)∵ABCD為菱形，，∴為正三角形，∴.∵平面ABCD，∴與平面ABCD所成角為，由，得，所以.如圖，分別以OB，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標系，則，，，，，，，設平面FAC的法向量為，則由可得，取，故可得平面FAC的一個法向量為，記直線與平面FAC的夾角為，則21．已知圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，半徑為3，圓M被直線截得的弦長為4.(1)求圓M的方程；(2)設P是直線上的動點，證明：以MP為直徑的圓必過定點，并求所有定點的坐標.【答案】(1)；(2)證明見解析，定點和.【分析】(1)根據(jù)給定條件設出圓心坐標，再結合點到直線距離公式計算作答.(2)設點，求出圓的方程，結合方程求出其定點.(1)因圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，設圓心，且，圓心到直線的距離為，又由解得，從而，而，解得，所以圓M的方程為.(2)由(1)知：，設點，，設動圓上任意一點當與點P，M都不重合時，，有，當與點P，M之一重合時，對應為零向量，也成立，，，，化簡得：，由，解得或，所以以MP為直徑的圓必過定點和.【點睛】方法點睛：待定系數(shù)法求圓的方程，由題設條件，列出等式，求出相關量．一般地，與圓心和半徑有關，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應該有三個獨立等式．22．已知點為橢圓C的右焦點，P為橢圓上一點，且（O為坐標原點），.(1)求橢圓C的標準方程；(2)經過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求弦的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用橢圓定義求得橢圓的即可解決；（2）經過點的直線l分為斜率不存在和存在兩種情況，分別去求弦