河北正定中學高三開學考試數(shù)學〔考試時間：120分鐘分值：150分〕考前須知：1.答題時，務必將自己的姓名、班級、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。2.答選擇題時，用2B鉛筆將答題卡上對應的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色黑色簽字筆把答案寫在答題卡規(guī)定的位置上。答案如需改正，請先劃掉原來的答案，再寫上新答案，不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶。4.考試結(jié)束后，只將答題卡交回。一、單項選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．集合，，集合，那么A．B．C．D．2．為了解疫情防控延遲開學期間全區(qū)中小學線上教學的主要開展形式，某課題組面向各學校開展了一次隨機調(diào)查，并繪制得到如圖統(tǒng)計圖，那么采用“直播錄播〞方式進行線上教學的學校占比約為A．B．C．D．3．將兩顆骰子各擲一次，設(shè)事件“兩個點數(shù)不相同〞，“至少出現(xiàn)一個6點〞，那么概率等于A．B．C．D．4．正六邊形中，點是線段的中點，那么A．B．C．D．5．在中，，，，那么的角平分線的長為A．B．C．D．6．如圖，將正方形沿對角線折成直二面角，那么以下四個結(jié)論中正確的個數(shù)為①；②是等邊三角形；③與所成的角為；④與平面所成的角為．A．1個B．2個C．3個D．4個7．過點作拋物線的切線，，切點分別為，，假設(shè)的重心坐標為，且在拋物線上，那么的焦點坐標為A．B．C．D．8．設(shè)，，，那么，，的大小關(guān)系為A．B．C．D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每題5分，共20分.在每題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，局部選對的得2分，有選錯的得0分．9．設(shè)復數(shù)，那么以下結(jié)論正確的選項是A．B．C．D．10．如圖，在正四棱錐中，，，分別是，，的中點，動點在線段上運動時，以下四個結(jié)論中恒成立的為A．B．C．面D．面11．函數(shù)為的一個零點，為圖象的一條對稱軸，且在上有且僅有7個零點，下述結(jié)論正確的選項是A．B．C．在上有且僅有4個極大值點D．在上單調(diào)遞增12．設(shè)函數(shù)由方程確定，關(guān)于函數(shù)以下結(jié)論中錯誤的選項是A．存在，，使得成立；B．，使得且同時成立；C．對于任意，恒成立；D．對任意，，都有恒成立．三、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分.13．，，那么實數(shù)的取值范圍是．14．，，且，那么的最小值為．15．在平面直角坐標系中，點，，直線，其中實數(shù)，，成等差數(shù)列，假設(shè)點在直線上的射影為，那么線段的取值范圍是．16．意大利數(shù)學家斐波那契年年〕以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1，1，2，3，5，8，，該數(shù)列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列〞，其通項公式為．設(shè)是不等式的正整數(shù)解，那么的最小值為．四、解答題：此題共6小題，共70分．解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．平面四邊形如下圖，其中，，．〔1〕假設(shè)，，點為線段的中點，求的值；〔2〕假設(shè)，求的值．18．數(shù)列滿足：，且．〔1〕求、的值，并證明數(shù)列為等差數(shù)列；〔2〕令，求．19．如圖，四邊形為等腰梯形，為正方形，平面平面，，，〔1〕求證：平面平面；〔2〕點為線段上一動點，求與平面所成角正弦值的取值范圍．20．每年的3月12日是植樹節(jié)，某公司為了發(fā)動職工積極參加植樹造林，在植樹節(jié)期間開展植樹有獎活動，設(shè)有甲、乙兩個摸獎箱，每位植樹者植樹每滿30棵獲得一次甲箱內(nèi)摸獎時機，植樹每滿50棵獲得一次乙箱內(nèi)摸獎時機，每箱內(nèi)各有10個球〔這些球除顏色外完全相同〕，甲箱內(nèi)有紅、黃、黑三種顏色的球，其中個紅球，個黃球，5個黑球，乙箱內(nèi)有4個紅球和6個黃球，每次摸一個球后放回原箱，摸得紅球獎100元，黃球獎50元，摸得黑球那么沒有獎金．〔1〕經(jīng)統(tǒng)計，每人的植樹棵數(shù)服從正態(tài)分布，共有200位植樹者，所有有時機抽獎的人都參與了抽獎，請估計植樹的棵數(shù)在區(qū)間，內(nèi)并中獎的人數(shù)〔結(jié)果四舍五入取整數(shù)〕；附：假設(shè)，那么，．〔2〕假設(shè)，某位植樹者獲得兩次甲箱內(nèi)摸獎時機，求中獎金額〔單位：元〕的分布列；〔3〕某人植樹100棵，有兩種摸獎方法，方法一：三次甲箱內(nèi)摸獎時機；方法二：兩次乙箱內(nèi)摸獎時機．請問：這位植樹者選哪一種方法所得獎金的期望值較大．21．函數(shù)，其中為常數(shù)且．〔1〕當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔2〕假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．22．橢圓過點，，其上頂點到直線的距離為2，過點的直線與，軸的交點分別為、，且．〔1〕證明：為定值；〔2〕如下圖，假設(shè)，關(guān)于原點對稱，，關(guān)于原點對稱，且，求四邊形面積的最大值．高三數(shù)學開學考試答案1.【解答】解：，，．應選：．2．【解答】解：由條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖得調(diào)查學?？倲?shù)為：，直播學校占比為：，采用“直播錄播〞方式進行線上教學的學校占比約為：．應選：．3．【解答】解：根據(jù)條件概率的含義，其含義為在發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率，即在“至少出現(xiàn)一個6點〞的情況下，“兩個點數(shù)都不相同〞的概率，“至少出現(xiàn)一個6點〞的情況數(shù)目為，“兩個點數(shù)都不相同〞那么只有一個6點，共種，故．應選：．4．【解答】解：如下圖，，應選：．5.【解答】解：如圖，在三角形中，設(shè)的平分線交于，由角平分線的性質(zhì)可知：，由此得．設(shè)，在，中，，由余弦定理得：，即，故．所以．應選：．6.【解答】解作出如圖的圖象，其中二面角的平面角為，是的中點，那么，，直二面角的平面角，對于①，，，，平面，平面，面，平面，，故①正確；對于②，設(shè)正方形的邊長為2，在直角中，，，是等邊三角形，故②正確；對于③，與平面所成的線面角的平面角是，故與平面成的角不正確，故③錯誤；對于④，可取中點，的中點，連接，，，由于，是中位線，可證得其長度為正方形邊長的一半，而是直角三角形的中線，其長度是的一半即正方形邊長的一半，故是等邊三角形，由此即可證得與所成的角為，故④正確．綜上知①②④是正確的．應選：．7.【解答】解：設(shè)，，，，由，得，，故直線的方程為即，同理直線的方程為，聯(lián)立，的方程可得，，設(shè)的重心坐標為，，那么，即所以，那么的坐標為，從而，故的焦點坐標為，．應選：．8．【解答】解：構(gòu)造函數(shù)，那么，當時，，那么在上為增函數(shù)，〔3〕，即，，即，那么；設(shè)，那么，當時，，在上為增函數(shù)，那么〔3〕，即，那么．又．．應選：．9.【解答】解：，，故錯誤；，故正確；，故正確；，故正確．應選：．10．【解答】解：如下圖，連接、相交于點，連接，．由正四棱錐，可得底面，，．，平面，，，分別是，，的中點，，，而，平面平面，平面，．故正確．由異面直線的定義可知：與是異面直線，不可能，因此不正確；平面平面，平面，因此正確．平面，假設(shè)平面，那么，與相矛盾，因此當與不重合時，與平面不垂直．即不正確．應選：．11.【解答】解：為圖象的一條對稱軸，為的一個零點，，且，，，，在上有且僅有7個零點，，即，，，又，所以，由得，，即在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，綜上，錯誤，正確，應選：．12．【解答】解：根據(jù)題意，方程，當且時，方程為，當且時，方程為，即，當且時，方程為，當且是時，方程為，那么函數(shù)的圖象如圖：對于A，是定義域上的單調(diào)減函數(shù)，那么對于任意的，，，使得成立，A錯誤；對于B，假設(shè)在第一象限，那么也在第一象限，此時方程組，而該方程組無解，假設(shè)在第四象限，那么在第二象限，此時方程組，此時方程組也無解，同理：假設(shè)在第二象限，那么在第四象限，此時方程組也無解，故B不存在，，，使得〔a〕且〔b〕同時成立，②錯誤；對于C，對于任意，恒成立，即，由函數(shù)的圖象可知，恒成立，C正確；對于D，當時，此時即，不是恒成立，那么D錯誤，應選：BD．13．【解答】解：時，不等式化為，滿足題意；時，不等式恒成立，應滿足，解得；綜上知，實數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．14.【解答】解：，，且，那么，，，當且僅當且，即，時取等號，那么的最小值為5．故答案為：5．15．【解答】解：直線，其中實數(shù)，，成等差數(shù)列，，化為，令，解得，．直線，恒經(jīng)過定點．，點在以為直徑的圓上，其圓心．圓的方程為：．．，線段的取值范圍是．16.【解答】解：因為是不等式的正整數(shù)解，所以，所以，，，，令，那么數(shù)列為斐波那契數(shù)列，，即，不難知道，，，，使得成立的的最小值為8．故成立的的最小值為8．17．【解答】解：〔1〕依題意，，，故為等邊三角形，那么，，，因為，由余弦定理，，解得；〔2〕設(shè)，那么，在中，，在中，，由正弦定理，，即，解得，那么．18．【解答】〔1〕證明：依題意，由遞推公式，可得當時，，即，解得，當時，，即，解得，由，兩邊同時乘以，可得，，數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，〔2〕解：由〔1〕，可得，，，①當為偶數(shù)時，，②當為奇數(shù)時，，．19．【解答】解：〔1〕等腰梯形，，由，，，，所以，，由平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；〔2〕根據(jù)題意，以為圓心，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，設(shè)，那么，0，，，1，，，0，，，0，，，，設(shè)平面的法向量為，由，令，，，故，設(shè)與平面的夾角為，所以，，，所以當時取最小值，取最大值，故與平面所成角正弦值的取值范圍為．20．【解答】解：〔1〕依題意得，，，得，植樹的棵數(shù)在區(qū)間，內(nèi)，有一次甲箱內(nèi)摸獎時機，中獎率為，植樹棵數(shù)在區(qū)間，內(nèi)人數(shù)約為人，故中獎的人數(shù)約為人．〔2〕中獎金額的可能取值為0，50，100，150，200．；；；；．故的分布列為050100150200〔3〕方法一：，甲箱摸一次所得獎金的期望為，方法一所得獎金的期望值為；方法二：乙箱摸一次所得獎金的期望為，方法二所得獎金的期望值為，的值可能為1，2，3，4，，這位顧客選方法二所得獎金的期望值較大．21．【解答】解：〔1〕方法一：當時，，那么，設(shè)，那么，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，于是在區(qū)間上單調(diào)遞增，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．方法二：當時，顯然有，當時，，所以，故當時，恒有，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．〔2〕由，得，①當時，對于，有，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，于是在區(qū)間上無零點，不合題意．②當時，令，得，所以存在唯一的，使得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又注意到，