有限元分析思想第1頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六課程目標(biāo)了解什么是有限單元法、有限單元法的基本思想。學(xué)習(xí)有限單元法的原理，主要結(jié)合彈性力學(xué)問(wèn)題來(lái)介紹有限單元法的基本方法，包括單元分析、整體分析、載荷與約束處理、等參單元等概念。初步學(xué)會(huì)使用商用有限元軟件分析簡(jiǎn)單工程問(wèn)題。了解有限元軟件的基本結(jié)構(gòu)和有限單元法當(dāng)前的進(jìn)展情況。第2頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六課程評(píng)估作業(yè)

25%隨堂測(cè)驗(yàn) 25%專題分析與報(bào)告 50%課程進(jìn)度安排第1~6周，課堂教學(xué)第7~10周，學(xué)習(xí)ANSYS與上機(jī)練習(xí)第12~15周，課堂教學(xué)第16周，課程總結(jié)/交流第3頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六參考書目王勖成,邵敏編著.有限單元法基本原理和數(shù)值方法.北京:清華大學(xué)出版社,1997朱伯芳著.有限單元法原理與應(yīng)用（第2版）.北京:中國(guó)水利水電出版社,1998SaeedMoaveni.FiniteElementMethodTheoryandApplicationwithANSYS.NewJersey:Prentice-Hall,Inc.,1999第4頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六O.C.Zienkiewicz,R.L.Taylor.Thefiniteelementmethod(5thed).Oxford;Boston:Butterworth-Heinemann,2000郭和德編.有限單元法概論，清華大學(xué)，1998

第5頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1有限單元法簡(jiǎn)介1.1有限單元法的形成1.2有限單元法的基本思路1.3有限單元法的計(jì)算步驟1.4有限單元法的進(jìn)展與應(yīng)用第6頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.1有限單元法的形成兩類典型的工程問(wèn)題 第一類問(wèn)題，可以歸結(jié)為有限個(gè)已知單元體的組合。 例如，材料力學(xué)中的連續(xù)梁、建筑結(jié)構(gòu)框架和桁架結(jié)構(gòu)。第7頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

平面桁架結(jié)構(gòu)，由6個(gè)承受軸向力的“桿單元”組成。1889年建成的Effiel塔，由18036個(gè)部件組成第8頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六 大型編鐘“中華和鐘”的振動(dòng)分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)， 由曾攀教授完成。第9頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六 第二類問(wèn)題，通常可以建立它們應(yīng)遵循的基本方程，即微分方程和相應(yīng)的邊界條件。例如彈性力學(xué)問(wèn)題，熱傳導(dǎo)問(wèn)題，電磁場(chǎng)問(wèn)題等。 熱傳導(dǎo)問(wèn)題的控制方程與換熱邊界條件如下：第10頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六300MW汽輪機(jī)低壓轉(zhuǎn)子淬火

第11頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六兩類問(wèn)題的對(duì)比第一類問(wèn)題的研究對(duì)象稱為離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)是可解的，但是求解復(fù)雜的離散系統(tǒng)，要依靠計(jì)算機(jī)技術(shù)。第二類問(wèn)題的研究對(duì)象稱為連續(xù)系統(tǒng)?？梢越⒚枋鲞B續(xù)系統(tǒng)的基本方程和邊界條件，通常只能得到少數(shù)問(wèn)題的解析解。對(duì)于許多實(shí)際的工程問(wèn)題，需要用近似算法求解。第12頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六有限單元法形成的背景 在尋找近似解法的過(guò)程中，工程師和數(shù)學(xué)家從兩個(gè)不同的路線得到了相同的結(jié)果，即有限單元法（FiniteElementMethod)。 有限單元法的形成可以回顧到二十世紀(jì)50年代，它的形成直接得益于土木結(jié)構(gòu)分析中的矩陣位移法和在飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析中所獲得的成果。第13頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構(gòu)分析論文。1956年，M..J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在紐約舉行的航空學(xué)會(huì)年會(huì)上介紹了一種新的計(jì)算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應(yīng)力問(wèn)題。1960年，R.W.Clough在他的名為“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的論文中首次提出了有限元（FiniteElement）這一術(shù)語(yǔ)第14頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六 從固體力學(xué)的角度來(lái)看，桁架結(jié)構(gòu)與分割成有限個(gè)分區(qū)后的連續(xù)體在結(jié)構(gòu)上存在相似性。第15頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六有限單元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1）數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權(quán)余量法。在1963年前后，經(jīng)過(guò)J.F.Besseling, R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.H.Pian（卞學(xué)磺）等許多人的工作，認(rèn)識(shí)到有限單元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不同變分原理導(dǎo)出的有限元計(jì)算公式。第16頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六有限單元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（2）1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫成變分形式的所有場(chǎng)問(wèn)題，都可以用與固體力學(xué)有限單元法的相同步驟求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權(quán)余量法特別是Galerkin法，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的有限元過(guò)程來(lái)求解非結(jié)構(gòu)問(wèn)題。第17頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六我國(guó)學(xué)者的貢獻(xiàn)陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法）錢令希（余能原理）錢偉長(zhǎng)（廣義變分原理）胡海昌（廣義變分原理）馮康（有限單元法理論）20世紀(jì)60年代初期，馮康等人在大型水壩應(yīng)力計(jì)算的基礎(chǔ)上，獨(dú)立于西方創(chuàng)造了有限元方法并最早奠定其理論基礎(chǔ)。--《數(shù)學(xué)辭?！返谒木淼?8頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.2有限單元法的基本思路將連續(xù)系統(tǒng)分割成有限個(gè)分區(qū)或單元用標(biāo)準(zhǔn)方法對(duì)每個(gè)單元提出一個(gè)近似解將所有單元按標(biāo)準(zhǔn)方法組合成一個(gè)與原有系統(tǒng)近似的系統(tǒng)。第19頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六自重作用下等截面直桿的解受自重作用的等截面直桿如圖所示，桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，截面積為A，彈性模量為E，單位長(zhǎng)度的重量為q，桿的內(nèi)力為N。試求：桿的位移分布，桿的應(yīng)變和應(yīng)力。第20頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六自重作用下等截面直桿的材料力學(xué)解答第21頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六自重作用下等截面直桿的有限單元法解答1）離散化如圖所示，將直桿劃分成n個(gè)有限段，有限段之間通過(guò)一個(gè)鉸接點(diǎn)連接。稱兩段之間的連接點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，稱每個(gè)有限段為單元。第i個(gè)單元的長(zhǎng)度為L(zhǎng)i，包含第i，i+1個(gè)結(jié)點(diǎn)。第22頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2）用單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)部位移 第i個(gè)單元中的位移用所包含的結(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示。第i結(jié)點(diǎn)的位移第i結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)第23頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第i個(gè)單元的應(yīng)變應(yīng)力內(nèi)力第24頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3）把外載荷集中到節(jié)點(diǎn)上把第i單元和第i+1單元重量的一半，集中到第i+1結(jié)點(diǎn)上第25頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4）建立結(jié)點(diǎn)的力平衡方程對(duì)于第i+1結(jié)點(diǎn)，由力的平衡方程可得：令第26頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六根據(jù)約束條件，對(duì)于第n+1個(gè)結(jié)點(diǎn)，第n個(gè)單元的內(nèi)力與第n+1個(gè)結(jié)點(diǎn)上的外載荷平衡，建立所有結(jié)點(diǎn)的力平衡方程，再加上約束條件可以得到由n+1個(gè)方程構(gòu)成的方程組，可解出n+1個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移。第27頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.3有限單元法的計(jì)算步驟 有限單元法的計(jì)算步驟歸納為以下三個(gè)基本步驟：網(wǎng)格劃分（離散化）單元分析整體分析第28頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.3.1網(wǎng)格劃分

對(duì)彈性體進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，再將彈性體劃分為有限個(gè)單元組成的離散體。 單元之間通過(guò)單元節(jié)點(diǎn)相連接。 由單元、結(jié)點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)連線構(gòu)成的集合稱為網(wǎng)格。第29頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.3.1網(wǎng)格劃分

通常把三維實(shí)體劃分成四面體（Tetrahedron）或六面體（Hexahedron）單元的網(wǎng)格四面體4結(jié)點(diǎn)單元六面體8結(jié)點(diǎn)單元第30頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.3.1網(wǎng)格劃分三維實(shí)體的四面體單元?jiǎng)澐秩S實(shí)體的六面體單元?jiǎng)澐值?1頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.3.1網(wǎng)格劃分 通常把平面問(wèn)題劃分成三角形（triangular)或四邊形(quadrilateral)單元的網(wǎng)格三角形3節(jié)點(diǎn)單元

四邊形4節(jié)點(diǎn)單元第32頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.3.1網(wǎng)格劃分平面問(wèn)題的三角形單元?jiǎng)澐制矫鎲?wèn)題的四邊形單元?jiǎng)澐值?3頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.3.2單元分析 彈性力學(xué)問(wèn)題的單元分析，就是建立各個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系式。 由于將單元的節(jié)點(diǎn)位移作為基本變量，單元分析首先要為單元內(nèi)部的位移確定一個(gè)近似表達(dá)式，然后計(jì)算單元的應(yīng)變、應(yīng)力，再建立單元中節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。第34頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.3.2單元分析單元有三個(gè)結(jié)點(diǎn)I、J、M，每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)位移u、v和兩個(gè)結(jié)點(diǎn)力U、V。第35頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.3.2單元分析單元的所有結(jié)點(diǎn)位移、結(jié)點(diǎn)力，可以表示為結(jié)點(diǎn)位移、結(jié)點(diǎn)力向量（vector）單元的結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系用張量（tensor）來(lái)表示第36頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.3.3整體分析

對(duì)由各個(gè)單元組成的整體進(jìn)行分析，建立節(jié)點(diǎn)外載荷與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，以解出結(jié)點(diǎn)位移，這個(gè)過(guò)程為整體分析。在邊界結(jié)點(diǎn)i上受到集中力作用。結(jié)點(diǎn)i是三個(gè)單元的結(jié)合點(diǎn)，因此要把這三個(gè)單元在同一結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)力匯集在一起建立平衡方程。第37頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.3.3整體分析i結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力：i結(jié)點(diǎn)的平衡方程：第38頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.4有限單元法的進(jìn)展與應(yīng)用1.4.1主要研究領(lǐng)域與有限元軟件

從二十世紀(jì)60年代中期以來(lái)，進(jìn)行了大量的理論研究，不但拓展了有限單元法的應(yīng)用領(lǐng)域，還開(kāi)發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?主要的研究領(lǐng)域有：計(jì)算方法：大型線性方程組的解法，非線性問(wèn)題的解法，動(dòng)力問(wèn)題計(jì)算方法。高精度單元多物理場(chǎng)耦合與復(fù)雜材料模型第39頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六目前使用較多的通用有限元軟件如下表所列軟件名稱簡(jiǎn)介MSC/Nastran著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初由NASA研制，由MSC維護(hù)開(kāi)發(fā)MSC/Dytran動(dòng)力學(xué)分析程序MSC/Marc非線性分析軟件ANSYS通用結(jié)構(gòu)分析軟件ADINA非線性分析軟件ABAQUS非線性分析軟件第40頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一些專用的有限元軟件如下表所列軟件名稱簡(jiǎn)介Deform金屬體積成形分析Autoform金屬板料成形分析DYNAFORM金屬板料成形分析SysWeld焊接與熱處理分析第41頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六MSC中國(guó)

/第42頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六ANSYS中國(guó)

http：///第43頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六ABAQUS

/第44頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六ADINA

/第45頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六DEFORM

/第46頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六AUTOFORM

/第47頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六SYSWELD

/products/sysweld/第48頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六飛箭公司的有限元程序自動(dòng)生成系統(tǒng)FEPG

/第49頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.4.2應(yīng)用實(shí)例 有限單元法已經(jīng)成功地應(yīng)用在以下一些領(lǐng)域：固體力學(xué) 包括強(qiáng)度、穩(wěn)定性、震動(dòng)和瞬態(tài)問(wèn)題的分析；傳熱學(xué)電磁場(chǎng)流體力學(xué)第50頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期六轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分