3.4.1連續(xù)譜本征函數(shù)是不能歸一化一維粒子動量本征值為本征函數(shù)(平面波)為能夠取中連續(xù)改變一切實數(shù)值.不難看出，只要則在量子力學中,坐標和動量取值是連續(xù)改變;角動量取值是離散;而能量取值則視邊條件而定.比如第1頁第1頁

當然,任何真實波函數(shù)都不會是嚴格平面波,而是某種形式波包.它只在空間某有限區(qū)域不為零.

假如此波包廣延比所討論問題中特性長度大得多,而粒子在此空間區(qū)域中各點概率密度改變極微,則不妨用平面波來近似描述其狀態(tài).是不能歸一化.在上例中,連續(xù)譜本征函數(shù)是不能歸一化.第2頁第2頁能夠引用數(shù)學上Dirac為以便地處理連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化”,我們函數(shù).3.4.2函數(shù)函數(shù)定義第3頁第3頁由Fourier積分公式,對于分段連續(xù)函數(shù)(b)函數(shù)也可表成比較式(a)與(b),領域連續(xù)任何函數(shù)對于在(a)等價地表示為:第4頁第4頁平面波“歸一化”問題,還能夠采用數(shù)學上老式做法即先讓粒子局限于有限空間中運動(最后才讓).動量本征態(tài)為在周期條件下3.4.3箱歸一化此時,為了確保動量算符

為厄米算符,就要求波函數(shù)滿足周期性邊條件.第5頁第5頁同樣,不能歸一化坐標本征態(tài)也可類似處理.因此,若取動量本征態(tài)為則這樣,就用函數(shù)形式把平面波“歸一化”表示出來了.第6頁第6頁由周期條件,得(粒子波長即).即或因此

或能夠看出動量也許取值就是不連續(xù).只要第7頁第7頁此時,與相應動量本征態(tài)取為利用正交歸一化條件利用這一組正交歸一完備函數(shù),能夠構成下列函數(shù):第8頁第8頁現(xiàn)在讓即動量也許取值趨于連續(xù)改變.于是此時,能夠把,而或第9頁第9頁在處理詳細問題時,如要避免計算過程中出現(xiàn)平面波“歸一化”困難,則能夠用箱歸一化波函數(shù)代替不能歸一化.

在計算最后結果才讓.正交完備歸一化波函數(shù)為結論則

函數(shù)可下列構成:三維情況

第10頁第10頁上式表明,相空間一個體積元

相稱于有一個量子態(tài).而最后,當時將連續(xù)改變第11頁第11頁設有一組彼此對易,且函數(shù)獨立厄米算符它們共同本征函數(shù)記為,是一組量子數(shù)籠統(tǒng)記號.3.4.4力學量完全集定義

設給定之后就能夠擬定體系一個也許狀態(tài)，則稱

構成體系一組力學量完全集.第12頁第12頁

表示在下測量得到值概率.這是波函數(shù)統(tǒng)計詮釋普通表述.按照態(tài)疊加原理,

體系任何一個狀態(tài)均可用展開

(這里假定本征值是離散)利用正交歸一性歸一化條件第13頁第13頁比如一維諧振子,Hamilton量本身就構成力學量完全集(也是守恒量完全集).對于一維自由粒子

由于能量本征態(tài)有簡并,并不構成力學量完全集.但把空間反射考慮進去,力學量完全集能夠選為對于一維粒子,動量就構成力學量完全集與這類似,坐標也能夠構成力學量完全集.第14頁第14頁注意體系一組力學量完全集中,力學量個數(shù)并不一定等于自由度數(shù)目.普通說來,力學量完全集中力學量個數(shù)≥體系自由度數(shù)目.用一組力學量完全集共同本征函數(shù)來展開體系任意波函數(shù),在數(shù)學上涉及完備性這樣一個頗為復雜問題.第15頁第15頁經(jīng)驗如力學量完全集中包括有體系Hamilton量

,而本征值又有下界,則能夠證實,這一組力學量完全集共同本征態(tài)構成該體系態(tài)空間一組完備基矢,即體系任何一個態(tài)均可用它們展開.自然界中實際物理體系本征值都有下界.因此,體系任何態(tài)總能夠用包括在內(nèi)一組力學量完全集共同本征態(tài)來展開.在不顯含情況下,這種力學量完全集稱為守恒量完全集.在量子力學中,找尋體系守恒量完全集是一個極主要問題.第16頁第16頁量子力學中力學量用相應線性厄米算符來表示,其含義下列:試驗上觀測也許值,必為算符某一本征值.在量子態(tài)之下,力學量平均值由下式擬定,力學量之間關系通過相應算符之間關系反應出來.比如兩個力學量與能夠同時含有擬定觀測值必要條件,在普通情況下,為反之,若則普通說來