“學(xué)生活動”與“反思”設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)之張乃達(dá)第1頁第1頁1.學(xué)生活動設(shè)計(jì)中若干傾向2.學(xué)生活動結(jié)識3.學(xué)生活動設(shè)計(jì)：案例分析4.反思：數(shù)學(xué)活動關(guān)鍵和動力第2頁第2頁1.學(xué)生活動設(shè)計(jì)中若干傾向弱化（取消、取代、限制）外化（表面化、表演化、游離于學(xué)習(xí)活動之外）操作化（以操作代替思維，教師工具）稚化（例子：坐標(biāo)系）要害：淡化以至取消學(xué)生思維活動。本源：教師價(jià)值觀念偏差；對數(shù)學(xué)及其教學(xué)理解局限；文化環(huán)境影響第3頁第3頁案例分析：《任意角三角函數(shù)》一、情境創(chuàng)設(shè)

第4頁第4頁啟發(fā)探討：為了回答上述問題，需要將點(diǎn)P表示出來。思考：有序數(shù)對（r,α）能夠表示點(diǎn)P，有序數(shù)對（x,y）也能夠表示點(diǎn)P，那么α，x,y之間有什么關(guān)系呢？①二、學(xué)生活動：知識回顧：初中時(shí)，我們是如何利用直角三角形定義了銳角三角函數(shù)呢？②第5頁第5頁在此基礎(chǔ)上將銳角三角函數(shù)拓展到第一象限三角函數(shù)。分組討論：如何定義各個象限角三角函數(shù)？給出任意角三角函數(shù)定義。問題①與問題②間有什么聯(lián)系？為何不讓學(xué)生去處理問題①呢？不敢放手讓學(xué)生活動！還是教師沒有理解教材？第6頁第6頁案例分析：平均改變率（1）一、問題情境1。情境：演示試驗(yàn)。利用溫度傳感器探測水溫，數(shù)據(jù)釆集器在屏幕上繪制溫度隨時(shí)間改變曲線；問題1：試驗(yàn)中有哪些改變？問題2；觀測圖象，曲線有哪些特點(diǎn)？問題3：選定兩段曲線AB、BC，如何用數(shù)量來刻畫曲線陡峭程度？

試驗(yàn)起了什么作用？第7頁第7頁案例分析：平均改變率（2）三、意義建構(gòu)師：氣溫陡增數(shù)學(xué)含意是什么呢？圖象直觀顯示是什么？生：B、C之間曲線較A、B之間曲線愈加“陡峭”師：好！陡峭程度反應(yīng)了氣溫改變快與慢。那么如何來量化這個陡峭程度呢？聯(lián)想學(xué)過知識——生：反應(yīng)直線傾斜程度量：直線斜率。教師緊張什么？第8頁第8頁案例分析：直線斜率一、創(chuàng)設(shè)情境師：畫出以下函數(shù)圖象，分別觀測它們異同。y=x+1,y=2x+1,y=-x+1生：畫圖并回答過定點(diǎn)，但方向不同。師：怎樣確定一條直線？生：兩點(diǎn)確定一條直線師：假如只給出一點(diǎn)，要確定一條直線，還應(yīng)增加什么條件？生：思考?；卮穑骸爸本€方向和傾斜程度”第9頁第9頁師：通過建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)能夠用坐標(biāo)來刻畫，那么直線傾斜程度如何來刻畫？我們來看與生活相關(guān)實(shí)例（放圖片）師：該如何刻畫它們傾斜程度？我們以這兩座電梯為例。二、學(xué)生活動與師生互動師：如何刻畫樓梯傾斜程度？生：利用坡度師：如何計(jì)算坡度？接著用類比辦法給出斜率公式，并討論其合理性（下略）學(xué)生假如不這樣回答怎么辦？刻畫直線傾倒程度是不是只有這一個辦法？第10頁第10頁案例分析：《解三角形》1。正弦定理探究發(fā)覺學(xué)生動手測量計(jì)算，完畢下表同窗間交流結(jié)果，對計(jì)算結(jié)果表示見解。學(xué)生提出猜想用《幾何畫板》就①直角三角形，②正三角形，③普通三角形進(jìn)行驗(yàn)算學(xué)生成為教師發(fā)覺工具！第11頁第11頁案例分析：函數(shù)奇偶性1。問題情境（1）觀測圖片（蝴蝶、對稱建筑、圖案等）；（2）觀測下列兩組函數(shù)圖象，從對稱角度你發(fā)覺了什么？（圖象對稱）2。學(xué)生活動觀測函數(shù)值表，你看出了什么？第12頁第12頁3。意義建構(gòu)

探究：圖象關(guān)于Y軸對稱函數(shù)滿足：對定義域內(nèi)任意一個X都有f(-x)=f(x).

反之也成立嗎？利用幾何畫版演示，學(xué)生觀測演示過程，突出X任意性，產(chǎn)生建構(gòu)定義傾向。4。數(shù)學(xué)理論通過討論，得到定義。（下略）用操作代替思維，掩蓋了思維活動

沒有問題，也就沒有思維活動第13頁第13頁2.對學(xué)生活動結(jié)識教師價(jià)值判斷：如何結(jié)識學(xué)生活動價(jià)值？如何結(jié)識數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值？評價(jià)課原則是什么？以處理問題為最后目的還是以學(xué)生發(fā)展為最后目的？第14頁第14頁2.對學(xué)生活動結(jié)識從本質(zhì)上說學(xué)生活動應(yīng)當(dāng)是思維活動，是圍繞著問題展開；從教學(xué)進(jìn)程來看，學(xué)生活動是意義建構(gòu)有機(jī)構(gòu)成部分；從教學(xué)結(jié)構(gòu)來看，“學(xué)生活動”安排表達(dá)了學(xué)生在教學(xué)中主體地位；學(xué)生活動目的是為了讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，幫助學(xué)生建構(gòu)自己數(shù)學(xué)；學(xué)生活動應(yīng)當(dāng)貫穿于課始終。第15頁第15頁如何評價(jià)學(xué)生活動？必須給學(xué)生活動提供足夠空間，讓學(xué)生展開主動、主動活動；學(xué)生活動應(yīng)該含有明確目標(biāo)；學(xué)生活動必須是“數(shù)學(xué)”，要符合數(shù)學(xué)文化規(guī)范；（如：問題思維）學(xué)生活動應(yīng)該有利于思維活動展開學(xué)生活動要表達(dá)學(xué)生個性；（多樣性）學(xué)生活動要照料到不同發(fā)展層次學(xué)生；第16頁第16頁3.學(xué)生活動設(shè)計(jì)：案例分析初中：設(shè)計(jì)場景,讓學(xué)生操作設(shè)計(jì)問題,讓學(xué)生思考設(shè)計(jì)方案,讓學(xué)生合作設(shè)計(jì)作業(yè),讓學(xué)生探究高中：設(shè)計(jì)思維活動，設(shè)計(jì)增進(jìn)思維問題（主問題，問題串，學(xué)生在處理問題過程中，建立數(shù)學(xué)、利用數(shù)學(xué)）第17頁第17頁學(xué)生活動方式活動方式：觀測、操作、歸納、猜想、驗(yàn)證、推理、建立模型、提出方案，查閱資料、討論、合作交流、調(diào)查；第18頁第18頁學(xué)生活動、知識建構(gòu)、摸索發(fā)覺關(guān)系活動是手段，建構(gòu)是目的；個體意義建構(gòu)就是建立新知識與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系過程，主要是使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為故意義學(xué)習(xí)；“再發(fā)覺”與意義建構(gòu)關(guān)系；外部操作活動與思維活動關(guān)系；第19頁第19頁“動手實(shí)踐”與“活動內(nèi)化”假如學(xué)生始終停留在實(shí)際操作層面，而未能在頭腦中實(shí)現(xiàn)必要重構(gòu)或認(rèn)知結(jié)構(gòu)重組，那么就主線不能發(fā)展起任何真正數(shù)學(xué)思維——從而，在這個意義上，我們就不但不應(yīng)片面地去強(qiáng)調(diào)“動手實(shí)踐”，而應(yīng)當(dāng)更強(qiáng)調(diào)“活動內(nèi)化”。第20頁第20頁我們不但要使每一個學(xué)生在數(shù)學(xué)課上充足地參與活動，還要關(guān)注他們在做什么，更要注意分析這些活動對于學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展終歸產(chǎn)生了什么樣影響？第21頁第21頁我們要努力理解學(xué)生活動與體驗(yàn)過程和意義，要向他們提供會產(chǎn)生真實(shí)數(shù)學(xué)問題活動，給他們創(chuàng)造機(jī)會反省和再認(rèn)自己已有思維方式。孩子們用于處理問題許多過程是無意識，假如要發(fā)展他們數(shù)學(xué)思維，必須要結(jié)識到這些無意識過程，并且?guī)椭⒆觽兘Y(jié)識這些過程。《數(shù)學(xué)教育展望》P30第22頁第22頁一些教師認(rèn)為使用操作活動就代表在從事建構(gòu)主義教學(xué)，由于孩子們按這些材料活動，這被假設(shè)為他們自己在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識。然而積極地參與某種故意義情境活動，并不能確保孩子會取得他們渴望得到理解。并且，盡管孩子理解依賴他們經(jīng)驗(yàn)，但這不一定是物理性（自然）經(jīng)驗(yàn)。第23頁第23頁理解與發(fā)覺關(guān)系科學(xué)發(fā)覺活動是把科學(xué)發(fā)覺當(dāng)成最后目的；但是學(xué)習(xí)活動最后目的并不是發(fā)覺，而是理解！用建構(gòu)主義語言說，就是要實(shí)現(xiàn)意義建構(gòu)。因此，對學(xué)習(xí)活動來說，發(fā)覺主要性，僅僅是由于它是達(dá)成理解主要手段！第24頁第24頁案例分析：對數(shù)函數(shù)（1）1．提出問題●問題1指數(shù)函數(shù)存在反函數(shù)嗎？尤其地，函數(shù)y=2X存在反函數(shù)嗎？●問題2是不是任何一個函數(shù)都存在反函數(shù)？具備什么樣條件函數(shù)才含有反函數(shù)？●問題3如何通過函數(shù)圖象來判斷一個函數(shù)是否含有反函數(shù)？回到問題1：指數(shù)函數(shù)含有反函數(shù)嗎？第25頁第25頁2.處理問題（意義建構(gòu)）●問題2既然指數(shù)函數(shù)反函數(shù)是存在，你能說出它性質(zhì)嗎？（依據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)逐一列出其反函數(shù)性質(zhì)。如：定義域、值域、單調(diào)性、恒過點(diǎn)（1，0）等等）第26頁第26頁●問題3指數(shù)函數(shù)反函數(shù)是一個什么樣函數(shù)？你能把它表示出來嗎？尤其地，你能表示出函數(shù)y=2x反函數(shù)嗎？●問題4表示函數(shù)辦法有哪幾種？

●問題5如何用圖象法表示指數(shù)函數(shù)反函數(shù)？

●問題6（反思）上述圖象是否表示了函數(shù)“三要素”？

●問題7能用列表法表示這個函數(shù)嗎？●問題8能用解析式表示這個函數(shù)嗎？第27頁第27頁●問題9如何用解析法表示指數(shù)函數(shù)反函數(shù)？（設(shè)f（x）=2X，其反函數(shù)能夠抽象地表示為y=f-1（x）。但詳細(xì)表示尚有困難。）問題10解方程：2x=n（n＞0）。（1）當(dāng)n=4，1/4時(shí)，解出X；（2）討論n=3情況。能夠必定，方程解是存在、擬定。利用圖象能夠表示出方程解，也能夠求出它近似值。第28頁第28頁3．研究結(jié)果（數(shù)學(xué)理論）給出對數(shù)符號和對數(shù)函數(shù)定義，進(jìn)而用新引進(jìn)“專用術(shù)語”重新表述指數(shù)函數(shù)反函數(shù)性質(zhì)。提出問題處理問題（意義建構(gòu)）

數(shù)學(xué)理論注意：問題串設(shè)置辦法第29頁第29頁1。問題情境●觀測下列兩組函數(shù)圖象，從對稱角度你發(fā)覺了什么？（圖象對稱）●函數(shù)y=X4+1圖象關(guān)于y軸對稱嗎？為何？●圖象對稱性在函數(shù)解析式上有什么表達(dá)？2。意義建構(gòu)●什么叫做“圖象與Y軸對稱”？案例分析：函數(shù)奇偶性（2）第30頁第30頁●如何用分析語言來表示“假如點(diǎn)P在圖象上，那么點(diǎn)P關(guān)于Y軸對稱點(diǎn)也在圖象上”？●如何表示點(diǎn)P（X，Y）關(guān)于Y軸對稱點(diǎn)？（-X，Y）●如何表示“點(diǎn)P（X，Y）在圖象上”？●如何表示“點(diǎn)P（X，Y）關(guān)于Y軸對稱點(diǎn)在圖象上”？●如何用分析語言來表示“假如點(diǎn)P在圖象上，那么點(diǎn)P關(guān)于Y軸對稱點(diǎn)也在圖象上”？第31頁第31頁猜想：假如函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于Y軸對稱，則對于定義域內(nèi)任何x,總有f(x)=f(-x)，反之亦真。列表，電腦演示，驗(yàn)證猜想。（下略）形式化圖象對稱奇（偶）函數(shù)定義從普通幾何語言到準(zhǔn)確分析語言轉(zhuǎn)換第32頁第32頁案例分析:二分法用二分法求方程近似11.ppt情境作用：思維過程類比●你能猜出方程根嗎？●不能直接猜出根，你能猜出它范圍嗎？●怎么能確保根在這個范圍內(nèi)？（觀測圖象）（應(yīng)當(dāng)說是確保在這個范圍內(nèi)有根）●能把這個范圍縮小嗎？再縮小呢？●如何確保在很小很小范圍內(nèi)有根呢？我們需要找到一個驗(yàn)證辦法。問題情境要引起學(xué)生思維活動，而不能掩蓋思維過程教師要準(zhǔn)確地把握重點(diǎn)，結(jié)識數(shù)學(xué)辦法實(shí)質(zhì)第33頁第33頁案例分析：對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)電腦演示觀測：從下面數(shù)據(jù)中你發(fā)覺了什么?logaM+logaN和loga(MN)有什么關(guān)系？證實(shí)第34頁第34頁案例分析：對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)問題：對數(shù)運(yùn)算有什么性質(zhì)？對數(shù)運(yùn)算和指數(shù)運(yùn)算有什么樣關(guān)系？指數(shù)運(yùn)算有什么性質(zhì)？相應(yīng)地，對數(shù)運(yùn)算應(yīng)當(dāng)有什么性質(zhì)？比如；logaM+logaN=?第35頁第35頁猜想：logaM+logaN=loga（MN）說說提出猜想依據(jù)驗(yàn)證猜想如何驗(yàn)證猜想？特殊值檢查電腦演示證實(shí)猜想第36頁第36頁觀測與問題當(dāng)代科學(xué)哲學(xué)認(rèn)為，科學(xué)摸索不始于觀測，也不始于理論，而始于問題——始于由觀測與理論互相作用而形成問題和矛盾。普通地說，問題產(chǎn)生即使與觀測事實(shí)相關(guān)，但是真正主要是要由觀測引出問題，假如只是單純地統(tǒng)計(jì)了某種現(xiàn)象，而沒有從中引出科學(xué)問題，那么觀測結(jié)果也會如隨風(fēng)煙云，不會把人們引向真正科學(xué)研究。第37頁第37頁只有從新現(xiàn)象觀測中進(jìn)一步提出問題，并且?guī)е鴨栴}進(jìn)行觀測，才干真正進(jìn)入科學(xué)研究工作。伴隨科學(xué)水平提升，科學(xué)研究難度增大，從理論中發(fā)覺問題并由此推動科學(xué)研究情況愈來愈多。第38頁第38頁因此，科學(xué)摸索邏輯起點(diǎn)是問題，摸索過程就是：提出問題→處理問題→提出新問題過程。——劉大椿《科學(xué)哲學(xué)通論》這種觀點(diǎn)和思維心理學(xué)中相關(guān)觀點(diǎn)也是一致。心理學(xué)認(rèn)為思維是尋找和發(fā)覺從本質(zhì)上說屬于新東西過程，因此思維總是由問題開始。第39頁第39頁歸納—演繹模式第40頁第40頁假設(shè)—演繹模式

P………H∝Oc→Hc從問題(P)開始，通過猜想——所謂智力突變(……)，導(dǎo)出一個假說(H)，由此推表演(∝)必定可觀測檢查陳說(Oc)，然后，假如這些陳說被證實(shí)是正確，就歸納出(→)被確證結(jié)論(Hc)。第41頁第41頁5.反思：數(shù)學(xué)活動關(guān)鍵和動力“反思是數(shù)學(xué)化過程中一個主要活動，它是數(shù)學(xué)活動關(guān)鍵和動力?！薄爸挥羞@樣數(shù)學(xué)教育——以反思為關(guān)鍵——才干使學(xué)生真正進(jìn)一步到數(shù)學(xué)化過程之中，也才干抓住數(shù)學(xué)思維內(nèi)在實(shí)質(zhì)”。

（弗朗登塔爾）第42頁第42頁4.反思：數(shù)學(xué)活動關(guān)鍵和動力“反思是數(shù)學(xué)化過程中一個主要活動，它是數(shù)學(xué)活動關(guān)鍵和動力。”“只有這樣數(shù)學(xué)教育——以反思為關(guān)鍵——才干使學(xué)生真正進(jìn)一步到數(shù)學(xué)化過程之中，也才干抓住數(shù)學(xué)思維內(nèi)在實(shí)質(zhì)”。

（弗朗登塔爾）第43頁第43頁著名數(shù)學(xué)教育心理學(xué)家斯普根在談到直覺思維與反省思維時(shí)說：“直覺思維當(dāng)然很主要”，“但是在數(shù)學(xué)活動中，更主要，更高級，更多是反省思維。”第44頁第44頁今天，假如有些人來問我，數(shù)學(xué)教育中最主要是什么？我就會毫不躊躇地回答：是促使學(xué)生反思！

——《數(shù)學(xué)教育——從思維到文化》第45頁第45頁發(fā)覺性教學(xué)中反思發(fā)覺活動開始前：用反思提出問題發(fā)覺進(jìn)程中：通過反思對思維活動監(jiān)控發(fā)覺后：通過反思增進(jìn)對發(fā)覺理解結(jié)論：反思應(yīng)當(dāng)貫穿于發(fā)覺全過程。第46頁第46頁發(fā)覺后反思第一、需要對發(fā)覺本身進(jìn)行思考。如：“發(fā)覺”闡明了什么問題？新發(fā)覺和已有結(jié)論之間有什么樣聯(lián)系？是什么原因把它們聯(lián)結(jié)起來？等等；第二、還要對發(fā)覺過程進(jìn)行思考。如：是什么辦法造成你發(fā)覺？假如是借助于直覺，那么直覺是怎產(chǎn)生呢？等等。第47頁第47頁接受性學(xué)習(xí)中反思再現(xiàn)知識發(fā)覺過程對書本一些原理、定律、公式，我們在學(xué)習(xí)時(shí)候，不但應(yīng)當(dāng)記住它結(jié)論，知道它道理，并且還應(yīng)當(dāng)設(shè)想一下人家是如何想出來，通過多少曲折，攻破多少關(guān)鍵，才得出這個結(jié)論．”“假如書本上還沒有作出結(jié)論，我應(yīng)當(dāng)如何去得出這個結(jié)論?”我們只有理解結(jié)論是如何得來，才干真正弄懂結(jié)論.（華羅庚）第48頁第48頁案例分析：向量加法1。提出問題。游船從景點(diǎn)O到景點(diǎn)A位移OA，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B位移AB，那么通過這兩次位移后，游船合位移是OB，這里向量→、→、→之間有什么關(guān)系呢？2。給出向量加法運(yùn)算定義和向量加法三角形法則。3．證實(shí)向量平行四邊形法則；4．向量加法性質(zhì)。5。應(yīng)用：用向量加法運(yùn)算法則求合力。第49頁第49頁下課后，我和一位高一學(xué)生作了下列對話：問：你會求兩個力合力嗎？（本文中提到力都是指“共點(diǎn)力”，下面不再申明）生：能夠用平行四邊形法則來求。問：為何能夠平行四邊形法則來求合力呢？這樣做依據(jù)是什么？生：平行四邊形法則是由三角形法則推導(dǎo)出來。問：三角形法則？生：三角形法則就是向量加法法則。第50頁第50頁問：三角形法則又是從何而來呢？生：這是向量加法定義！問：為何用這個定義就能夠求出合力呢？生：由于合力是分力和，求和就要做加法。問：為何不能用數(shù)加法來求合力而要用向量加法來求合力呢？生：由于力是向量，合力就是向量和，求向量和當(dāng)然要用向量加法法則來做了！第51頁第51頁

這是一位數(shù)學(xué)成績較好學(xué)生，從上面回答中也能夠看出，他還是很自信。問：誠如你所說：數(shù)學(xué)中求向量和法則是人為要求，而自然界中兩個力合力也是擬定，它是一個客觀存在，不會隨我們意志而轉(zhuǎn)移。既然如此，你怎么能確保自然界力就一定會遵循數(shù)學(xué)中“要求”呢？怎么確保依據(jù)數(shù)學(xué)中法則所得到結(jié)果就一定符合事實(shí)呢？第52頁第52頁在我一連串追問下，學(xué)生“卡殼”了，于是他反問我——那么照你說，我們?yōu)楹文苡闷叫兴倪呅畏▌t求合力呢？其實(shí)，在學(xué)習(xí)向量以前，學(xué)生對這個問題是含有相稱清楚結(jié)識：他們不但知道力合成遵循平行四邊形法則，并且知道平行四邊形法則是由試驗(yàn)證實(shí)——在物理課中學(xué)生親自做過這個分組試驗(yàn)——因此，在物理學(xué)中平行四邊形法則正確性是直接起源于客觀存在事實(shí)，平行四邊形法則但是是對自然界客觀存在規(guī)律一個表述而已！第53頁第53頁可是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，清楚簡明結(jié)識反而變得復(fù)雜了，在學(xué)生看來，仿佛是數(shù)學(xué)中要求確保了平行四邊形法則（物理定律）正確性，而數(shù)學(xué)中要求又是由數(shù)學(xué)家主觀商定，這樣一來，數(shù)學(xué)成了真理源頭！仿佛自然界一切都是遵循著數(shù)學(xué)在運(yùn)營，發(fā)展和改變！數(shù)學(xué)成為自然主宰！成為先驗(yàn)真理！第54頁第54頁這樣結(jié)識當(dāng)然是片面錯誤。尤其是假如沒有些人指出其中錯誤，這種錯誤觀念將會伴隨他一身，并以此來結(jié)識數(shù)學(xué)，以至結(jié)識世界！第55頁第55頁案例分析；向量加法●向量OA、AB、OB之間有什么關(guān)系？為何向量OB是向量OA、AB和？OB長度是OA、AB長度和嗎？你為何說向量OB是向量OA、AB和呢？什么叫做向量和？向量如何做加法？你是從“累計(jì)”意義上以位移為原型定義“和”概念。但是這樣定義是不是適合用于其它向量（既含有大小又含有方向量）呢？（仿此對力進(jìn)行研究）

從物理原型抽象為形式化普通模式通過反思呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念抽象過程第56頁第56頁《解三角形》中初始問題結(jié)構(gòu)性切入點(diǎn)三角形全等知識直角三角形中邊角關(guān)系三角形向量表示應(yīng)用性切入點(diǎn)測量計(jì)算（解三角形）第57頁第57頁案例分析：《解三角形》（金陵中學(xué)）一、問題情境問題1如何測量被河隔開A、B兩點(diǎn)間距離？通過討論，將上面問題化歸為問題2在△ABC中，已知A=75°，C=60°，AC=100，求AB。處理問題2第58頁第58頁二、學(xué)生活動

從處理問題2時(shí)出現(xiàn)等式“ACsinC=ABsinB”出發(fā)，提出正弦定理猜想。三、建構(gòu)數(shù)學(xué)通過作高辦法，分類證實(shí)猜想；給出定理。四、數(shù)學(xué)利用（例略）五、回顧小結(jié)利用正弦定理能夠處理哪幾類問題？第59頁第59頁案例分析：《解三角形》一、提出問題1。從三角形全等鑒定定理能夠知道，三角形基本元素之間存在著一定數(shù)量關(guān)系；2。尤其地，三角形內(nèi)角和定理就揭示了三角形三個內(nèi)角間數(shù)量關(guān)系；勾股定理揭示了直角三角形三邊間數(shù)量關(guān)系；想一想，我們還學(xué)過那些關(guān)于三角形邊角關(guān)系定理？問題1三角形基本元素間還存在著什么樣數(shù)量關(guān)系呢？；

第60頁第60頁三角形中基本元素——

A、B、C、a、b、c研究目的——基本元素之間數(shù)量關(guān)系研究思緒——向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系二、探究

研究基本思緒第61頁第61頁問題2如何把“向量”關(guān)系，轉(zhuǎn)換為數(shù)量關(guān)系？——利用向量數(shù)量積。詳細(xì)有第62頁第62頁（1）向量式兩邊平方第63