1nnnn2n3n一、等差比數(shù)列基1nnnn2n3n（一）知識歸納：．概念與公式：①等差數(shù)列：1.定義：若數(shù)列

{}滿足an

n

(常數(shù))則{}nn

稱等差數(shù)列；°.項(xiàng)公式：

aaan);nk°.n項(xiàng)和公式：公式：

n

n)n1n.22②等比數(shù)列：1°.定義若數(shù)列

a{}足an

（常數(shù)則

{}n

稱等比數(shù)列；項(xiàng)公式aqn

n

;

°.n項(xiàng)和公式：

n

aan)11

(q

當(dāng)時(shí)

.n．簡單性質(zhì)：①首尾項(xiàng)性質(zhì)：設(shè)數(shù)列

{},a,a,a,n2°.若

{}n

是等差數(shù)列，則

a1n2

n

a3

n

;°.若

{}n

是等比數(shù)列，則

aa1

n

a3

n

②中項(xiàng)及性質(zhì)：°.設(shè)a，A，b等差數(shù)列，則A稱a、b的差中項(xiàng)且

A

a2

;°.設(shè)a等比數(shù)列，則稱a的比中項(xiàng)，且

ab③設(shè)、q、、為整數(shù)，且

°.若°.若

{}n{}n

是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列，則

aaa;prsa;prs④順次和性質(zhì)：°.若

{}n

是公差為d的等差數(shù)列，

則kk

a

k

組成公差為nd的等差數(shù)列；k

kn°.若

{}n

是公差為的等比數(shù)列，

則

ak

ak

a

k

組成公差為n

的等比數(shù)列（意：當(dāng)=1為kn偶數(shù)時(shí)這個結(jié)論不成立）⑤若

{}n

是等比數(shù)列，則順次的乘積：

aa,12n

n

a

n

a2

2n

a

2n

3

組成公比這

的等比數(shù)列./

偶nnn⑥若偶nnn

{}n

是公差為的等差數(shù)列,°.若n為奇數(shù)，則

且Sn中

項(xiàng)即aa

n

,

而S奇指所有奇數(shù)項(xiàng)、所有偶2數(shù)項(xiàng)的和°.若n為偶數(shù)，則

偶

奇

nd.2（二）學(xué)習(xí)要點(diǎn)：．學(xué)習(xí)等差、等比數(shù)列，首先要正確理解與運(yùn)用基本公式，注意①公差≠0的差數(shù)列通項(xiàng)公式是項(xiàng)的次函數(shù)a+②公差≠的差數(shù)列的前n項(xiàng)公式項(xiàng)數(shù)n的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)S=2;③公比q的等比數(shù)列的前公式可以寫成S(1-qn的形式；諸如上述這些理解對學(xué)習(xí)很有幫助.．解決等差、等比數(shù)列問題要靈活運(yùn)用一些簡單性質(zhì)，但所用的性質(zhì)必須簡單、明，絕對不能用課外的需要證明的性質(zhì)解題.．設(shè)“公差、公比”是解決問題一種重要方法，例如：①三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)三數(shù)為“a,a+m,a+2m或a-m,a,a+m②三數(shù)成比數(shù)列，可設(shè)三數(shù)為“2

(或

aq

，a,aq)”③四數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)四數(shù)為“

a,a,am(或ama,am);

”④四數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)四數(shù)為“

a,,aq3或

aa,,3q3q

”等等；類似的經(jīng)驗(yàn)還很多，應(yīng)在學(xué)習(xí)中總結(jié)經(jīng)[例1]解下述問題：（Ⅰ）已知

111,,abc

成等差數(shù)列，求證：（1

bca,,ab

成等差數(shù)列；（2

a

bbb,22

成等比數(shù)列.[解析]該題應(yīng)該選擇“中項(xiàng)”的知解決，2ac(),c

ab(a

2

22(a)2a)(a)bc成差;,bb2b(2)()()ac())24bb,成等數(shù)2

2

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列

{}前和為足Sn(nn（1求證：

{}n

是等差數(shù)列；/

（2若數(shù)列

滿足:nb(22a123n求證：等比數(shù).[解析]（）

2n(an2nan

①②②－①得

2(n

n

(nan

n

nan令n令想n:）當(dāng)

,a2結(jié)論正;2）

假設(shè)nk時(shí)結(jié)正確,即2當(dāng)nk,(ka

kak(2k

2

(2kkka

2k2(k論正確由），

nNann

n(2n{}是公差2的差數(shù);n(2)設(shè)T2

(2n6,當(dāng)時(shí)(nbnnnbn而b42,也合當(dāng)Nn,

nn(2n

{}是公比為的比數(shù)[評析]判（證明一數(shù)列成等差比數(shù)列主要方法有根“中項(xiàng)性根“義判或通“歸納猜想”并證明.[例2]解下述問題：（Ⅰ）等差數(shù)列的前n項(xiàng)為

S若n

Q),PQ求

S

P

(,Q表示)[解析]選公式

"an2bn"n

做比較好，但也可以考慮用性質(zhì)完/

2QQPQP2QQPQP[解法一]

bnn

aP2aQ2

bP

①②①－②得：

2

2

P)[aP)],Q,S

P

P)[(P)]

(P)

2

.[解法二]妨設(shè)

PQ

aQQQ

(P)(aQ

)P

P()(a),PQ2P

P

(P)PQ

.（Ⅱ）等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n為數(shù)，且所有奇數(shù)項(xiàng)的乘積為，所有偶數(shù)項(xiàng)的積為

，求項(xiàng)數(shù)[解析]設(shè)比為

aa1024q35n42aaa12824na1

n2

42

(1)35而aaa102412822212

a1

35(nn()將代得22)1n35,得7.2

n

352,（Ⅲ）等差數(shù)列{}中公差≠，在此數(shù)列中次取出部分項(xiàng)組成的數(shù)列：aa,,比數(shù)k2{的前n項(xiàng)求數(shù)列[解析]a,成比117

5

2

,1/

knn()a)(ad)011knn0,ad,1ad數(shù){的比q51aa112dk1而aakdkdk1n①②得k2n

①②{}的前項(xiàng)和S2

n

[評析]例2是組等差、等比數(shù)列的基本問題，熟練運(yùn)用概念、公式及性質(zhì)是解決問題的基本[例3]解下述問題：（Ⅰ）三數(shù)成等比數(shù)列，若將第三項(xiàng)減去，成等差數(shù)列；再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去，又成等比數(shù)列，求原來的三數(shù).[解析]設(shè)差數(shù)列的三項(xiàng)，要比設(shè)等數(shù)列的三項(xiàng)更簡單，設(shè)等差數(shù)列的三項(xiàng)分別為－da+，則有a232a2)(a)2263d64d或得a或,9338原數(shù)2,10,50或（Ⅱ）有四個正整數(shù)成等差數(shù)列，公差為，四個數(shù)的平方和等于一個偶數(shù)的平方，求此四[解析]設(shè)四數(shù)為

aaaa15)

(a

)a

15)

)

(

)4a

5004m

(mm與數(shù)且mm2m125解得

或a12(不合

所求四數(shù)為，57，，[評析]巧公差、公比是解決等差、比數(shù)列問題的重要方法，特別是求若干個數(shù)成等差、等比數(shù)列問題中是主要方法二、等差比數(shù)列復(fù)習(xí)一、擇題1、如果一個數(shù)列既等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列（）（A為常數(shù)數(shù)列（B）為非零的常數(shù)數(shù)列C）存在且唯一（D）不存在/

、在等差數(shù)列

中，

a1

且a,15

成等比數(shù)列，則

的通項(xiàng)公式為（）（A

a

n

（B）

a

n

n

（）

a3n

或

an

（D）

ann

或

an3、已知

a,b,c

成等比數(shù)列，且x,分別c的等差中項(xiàng)，則

a

的值為（）（A）

12

（B）

（）（D）不確定4、互不相等的三個數(shù)

a,b,c

成等差數(shù)列，是b等比中項(xiàng)，

y

是,的等比中項(xiàng)，那么xb2，y2三個數(shù)（）（A）成等差數(shù)列不成等比數(shù)列（B）成等比數(shù)列不成等差數(shù)列（C）成等差數(shù)列又成等比數(shù)列（D）既不成等差數(shù)列，又不成等比數(shù)列5、已知數(shù)列

項(xiàng)為SSn

2

4

2

n

,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）（A）

a

n

2n（Ban

（）

a

n

2

n

（D）

an2n6、已知

z

x)4(xy)

，則（）（A

x,y,z

成等差數(shù)列（B）

xz

成等比數(shù)列（）

111,成等差數(shù)列（D）xz

成等比數(shù)列7、數(shù)列

項(xiàng)S

n

an

，則關(guān)于數(shù)列

的下列說法中，正確的個數(shù)有（）①一定是等比數(shù)列，但不可能是等差數(shù)列②定是等差數(shù)列，但不可能是等比數(shù)列③可能是等比數(shù)列，也可能是等差數(shù)列④可能既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列⑤可能既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列（A4

（B）3

（）

（D）18、數(shù)列1

11,3,7,248

,前n項(xiàng)和為（）（A）

n

111（B）（nD）22n9、若兩個等差數(shù)列

為、，且滿足nn

4n5nn

，則

a513b513

的值為（）7

8

19（A）

9

（B）

7

（）

（D）2010、已知數(shù)列

項(xiàng)為

2則數(shù)列

的前項(xiàng)和為（）（A）56

（B58

（）62

（D）11已知數(shù)列

的通項(xiàng)公式

a

n

n

為,

從

中依次取出第，9，27,…，按原來的順序排成一個新的數(shù)列，則此數(shù)列的前n項(xiàng)和為（）（A）

n

n

3nn3n（B3n（C）（D）212、下列命題中是命題的是()/

bbA數(shù)列

是等差數(shù)列的充要條件是

a

n

pn(p

)B．已知一個數(shù)列

項(xiàng)S

n

anbn

,如此數(shù)列是等差數(shù)列那么此數(shù)列也是等比數(shù)列．?dāng)?shù)列

是等比數(shù)列的充要條件

a

n

ab

nD．如果一個數(shù)列

S

n

ab

n

(a0,b0,b

,則數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是

a二、填空13、各項(xiàng)都是正數(shù)等比數(shù)列

，公比

q

a,aa5

8

,成差數(shù)列，則公比

=14、已知等差數(shù)列

0,,1517

成等比數(shù)列，則

a15a218

=15、已知數(shù)列

滿足

14

a,a=16、2和30之間插入兩個正數(shù)，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則插入的這兩個數(shù)的等比中項(xiàng)為二、解答題17、已知數(shù)列

d不為零的等差數(shù)列，數(shù)列

是公比為的等比數(shù)列，

b1

23

，求公。18、已知等差數(shù)列

的公差與等比數(shù)列

n

的公比相等，且都等于

(0,d1

，

a

3

b,35

,求

a

n

,

n

。19、有四個數(shù)，其前三個數(shù)成等比數(shù)列，其積為216，后三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為，求這四個數(shù)。20、已知

為等比數(shù)列，

3

a24

，求

21、數(shù)列

和記為S

,an

S（Ⅰ）求

的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）等差數(shù)列

其n項(xiàng)和

，且

T3

15，a,a123

成等比數(shù)列，求

Tn22、已知數(shù)列

滿足

a

a

aN

*

).（I）求數(shù)列

的通項(xiàng)公式；（II）數(shù)列

...4ab(

)

，證明：

是等差數(shù)列；第九單元

數(shù)列綜合題一、選擇題題號

3791011/

110146bbn111b1bbnnnbn1n331511415n31答案二填空題110146bbn111b1bbnnnbn1n331511415n31

BAACADDD

D13.

1526114.()2293

16.

3三解題17.a=,

=a=a=ad由{a}等比數(shù)例，得（a）2=(+45)a=3d即=12ad.∴q=4∴b

又由{}{}的a，及=n,+(b-1)dn-1n-1-218.∴ab,d2

d2d=5ba+4d=5d,∴(1-5d4)=-4②②得①

11d

42

=2∴d2

1=1或d=,由題意，=55

5

5?！?a+(-1)dn

=a

n-1=-

5

·(

55

)n-119.設(shè)這四個數(shù)為

aq

a,aqaq則

aq

·

由①，得a=216,a=6

③

a(3aq)

③代入②，得3aq=36