第五節(jié)“概率與統(tǒng)計”大題增分策略“概率與統(tǒng)計”這一高考大題，本節(jié)將分設(shè)兩課時給予突破：第一課時——解題能力“過三關(guān)”(從必備技能上給予指導(dǎo))；第二課時——高考命題“三交匯”(從考查題型上給予點(diǎn)撥).第一課時解題能力“過三關(guān)”(審答怎么辦)文字關(guān)——抓關(guān)鍵語句，破干擾信息[例1]x，y，zω＝x＋y＋z的值評定居民對城市的居住滿意度等級：若ω≥4，則居住滿意度為一級；若2≤ω≤3，則居住滿意度為二級；若0≤ω≤1，則居住滿意度為三級.為了解某城市居民對該城市的居住滿意度，研究人員從此城市居民中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行調(diào)查，得到如下結(jié)果：人員編號12345(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(0,1,1)(1,2,1)人員編號678910(x，y，z)(1,2,2)(1,1,1)(1,2,2)(1,0,0)(1,1,1)(1)在這10名被調(diào)查者中任取2人，求這2人的居住滿意度指標(biāo)z相同的概率；(2)從居住滿意度為一級的被調(diào)查者中任取一人，其綜合指標(biāo)為m，從居住滿意度不是一級的被調(diào)查者中任取一人，其綜合指標(biāo)為n，記隨機(jī)變量X＝m－n，求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.[解](1)記事件A為“從10名被調(diào)查者中任取2人，這2人的居住滿意度指標(biāo)z相同”，則居住滿意度指標(biāo)z為0的只有編號為9的1名；居住滿意度指標(biāo)z為1的編號有2,4,5,7,10共5名；居住滿意度指標(biāo)z為2的編號有1,3,6,8共4名.從10名被調(diào)查者中任取2人，所有可能的結(jié)果為Ceq\o\al(2,10)＝45(種)，這2人的居住滿意度指標(biāo)z相同的結(jié)果為Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,4)＝10＋6＝16(種)，所以在這10名被調(diào)查者中任取2人，這2人的居住滿意度指標(biāo)z相同的概率為P(A)＝eq\f(16,45).(2)計算10名被調(diào)查者的綜合指標(biāo)，可列下表：人員編號12345678910綜合指標(biāo)4462453513其中居住滿意度為一級的編號有1,2,3,5,6,8共6名，則m的值可能為4,5,6；居住滿意度不是一級的編號有4,7,9,10共4名，則n的值可能為1,2,3，所以隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,3,4,5.P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(1,6)·C\o\al(1,4))＝eq\f(1,4)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,2)·C\o\al(1,2),C\o\al(1,6)·C\o\al(1,4))＝eq\f(7,24)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,2)·C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,1)·C\o\al(1,2),C\o\al(1,6)·C\o\al(1,4))＝eq\f(7,24)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,1)·C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,2)·C\o\al(1,1),C\o\al(1,6)·C\o\al(1,4))＝eq\f(1,8)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,1)·C\o\al(1,1),C\o\al(1,6)·C\o\al(1,4))＝eq\f(1,24)，所以隨機(jī)變量X的分布列為X12345Peq\f(1,4)eq\f(7,24)eq\f(7,24)eq\f(1,8)eq\f(1,24)E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(7,24)＋3×eq\f(7,24)＋4×eq\f(1,8)＋5×eq\f(1,24)＝eq\f(29,12).eq\a\vs4\al([關(guān)鍵點(diǎn)撥])本題文字?jǐn)⑹鲚^長，解答此類問題應(yīng)過文字關(guān)，其技巧是：(1)快速了解“無關(guān)信息”(如本例第一句話)；(2)仔細(xì)閱讀題中重要信息，把握信息所給內(nèi)容(如本例字母x，y，z，ω所指什么)；(3)明確題目所求內(nèi)容.圖表關(guān)——會轉(zhuǎn)換信息，建解題模型[例2](2019·石家莊質(zhì)檢)交強(qiáng)險是車主必須為機(jī)動車購買的險種.若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實(shí)行的是費(fèi)率浮動機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動情況如下表：交強(qiáng)險浮動因素和浮動費(fèi)率比率表浮動因素浮動比率A1上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮10%A2上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮20%A3上三個及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮30%A4上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故上浮10%A6上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故上浮30%某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：類型A1A2A3A4A5A6數(shù)量105520155以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：(1)按照我國《機(jī)動車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險條例》汽車交強(qiáng)險價格的規(guī)定，aX為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費(fèi)用，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字)(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車.假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：①若該銷售商購進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；②若該銷售商一次購進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值.[解](1)由題意可知，Xa,a,a，a,a,a.由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知：P(Xa)＝eq\f(1,6)，P(Xa)＝eq\f(1,12)，P(Xa)＝eq\f(1,12)，P(X＝a)＝eq\f(1,3)，P(Xa)＝eq\f(1,4)，P(Xa)＝eq\f(1,12).所以X的分布列為XaaaaaaPeq\f(1,6)eq\f(1,12)eq\f(1,12)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)所以E(Xa×eq\f(1,6)a×eq\f(1,12)a×eq\f(1,12)＋a×eq\f(1,3)a×eq\f(1,4)a×eq\f(1,12)＝eq\a,12)＝eq\f(11305,12)≈942.(2)①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為eq\f(1,3)，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3＋Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(20,27).②設(shè)Y為該銷售商購進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為－5000,10000.所以Y的分布列為Y－500010000Peq\f(1,3)eq\f(2,3)所以E(Y)＝(－5000)×eq\f(1,3)＋10000×eq\f(2,3)＝5000，所以該銷售商一次購進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌的二手車獲得利潤的期望值為100×E(Y)＝500000元.eq\a\vs4\al([關(guān)鍵點(diǎn)撥])概率與統(tǒng)計問題的考查離不開圖表(頻率分布直方圖、莖葉圖、折線圖、頻數(shù)分布表等)，解決此類問題重在審圖表、明數(shù)據(jù)，能從所給圖表中正確提取解題所需要的信息是解決問題的關(guān)鍵，然后根據(jù)信息一步步實(shí)現(xiàn)圖表數(shù)據(jù)與數(shù)學(xué)符號語言的轉(zhuǎn)化，建立數(shù)學(xué)模型解決問題.計算關(guān)——重計算能力，防不慎失分[例3]某學(xué)校為了解本校學(xué)生的身體素質(zhì)情況，決定在全校的1000名男生和800名女生中按分層抽樣的方法抽取45名學(xué)生對他們課余參加體育鍛煉時間進(jìn)行問卷調(diào)查，將學(xué)生課余參加體育鍛煉時間的情況分三類：A類(課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時間超過3小時)，B類(課余參加體育鍛煉但平均每周參加體育鍛煉的時間不超過3小時)，C類(課余不參加體育鍛煉)，調(diào)查結(jié)果如表：A類B類C類男生18x3女生810y(1)求出表中x，y的值；(2)根據(jù)表格統(tǒng)計數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時間超過3小時與性別有關(guān).男生女生總計A類B類和C類總計(3)在抽取的樣本中，從課余不參加體育鍛煉學(xué)生中隨機(jī)選取三人進(jìn)一步了解情況，求選取三人中男女都有且男生比女生多的概率.附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.01k0[解](1)由題意，eq\f(21＋x,18＋y)＝eq\f(5,4)，21＋x＋18＋y＝45，∴x＝4，y＝2.(2)2×2列聯(lián)表如下所示：男生女生總計A類18826B類和C類71219總計252045∴K2＝eq\f(45×18×12－7×82,25×20×26×19)≈4.664＞3.841，∴能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時間超過3小時與性別有關(guān).(3)在抽取的樣本中，從課余不參加體育鍛煉的學(xué)生中隨機(jī)選取3人進(jìn)一步了解情況，有Ceq\o\al(3,5)＝10種情況，選取三人中男女都有且男生比女生多，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)＝6種情況，故所求概率為eq\f(6,10)＝0.6.eq\a\vs4\al([關(guān)鍵點(diǎn)撥])(1)本例在計算K2的值時應(yīng)仔細(xì)，計算中易出錯，要明確公式中n，a，b，c，d所表示的值.(2)利用最小二乘法求“eq\o(b,\s\up6(^))”時，應(yīng)注意避免計算出錯.

第二課時高考命題“三交匯”(高考怎么考)eq\a\vs4\al(考法一概率模塊內(nèi)知識交匯命題)[典例]高考改革新方案，不分文理科，高考成績實(shí)行“3＋3”的構(gòu)成模式，第一個“3”是語文、數(shù)學(xué)、外語，每門滿分150分，第二個“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個科目中自主選擇其中3個科目參加等級性考試，每門滿分100分，高考錄取成績卷面總分滿分750分.為了調(diào)查學(xué)生對物理、化學(xué)、生物的選考情況，將“某市某一屆學(xué)生在物理、化學(xué)、生物三個科目中至少選考一科的學(xué)生”記作學(xué)生群體S，從學(xué)生群體S中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選考物理，化學(xué)，生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計如下表：選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)123人數(shù)52520(1)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率；(2)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，記X表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)將頻率視為概率，現(xiàn)從學(xué)生群體S中隨機(jī)抽取4名學(xué)生，記其中恰好選考物理、化學(xué)、生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作Y，求事件“Y≥2”的概率.[解](1)記“所選取的2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量相等”為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5)＋C\o\al(2,25)＋C\o\al(2,20),C\o\al(2,50))＝eq\f(20,49)，所以他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率為1－P(A)＝eq\f(29,49).(2)由題意可知X的可能取值分別為0,1,2.由(1)知，P(X＝0)＝eq\f(20,49)，又P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,25)＋C\o\al(1,20)C\o\al(1,25),C\o\al(2,50))＝eq\f(25,49)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,20),C\o\al(2,50))＝eq\f(4,49)，從而X的分布列為X012Peq\f(20,49)eq\f(25,49)eq\f(4,49)E(X)＝0×eq\f(20,49)＋1×eq\f(25,49)＋2×eq\f(4,49)＝eq\f(33,49).(3)所調(diào)查的50名學(xué)生中物理、化學(xué)、生物選考兩科目的學(xué)生有25名，相應(yīng)的頻率為p＝eq\f(25,50)＝eq\f(1,2)，由題意知，Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，所以事件“Y≥2”的概率為P(Y≥2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＋Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(11,16).eq\a\vs4\al([解題技法])高考常將求概率與等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件、超幾何分布、二項(xiàng)分布等交匯在一起進(jìn)行考查，因此在解答此類題時，準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進(jìn)行分解，明確所求問題所屬的事件類型是關(guān)鍵.特別是要注意挖掘題目中的隱含條件.[過關(guān)訓(xùn)練](2018·聊城模擬)2016年微信用戶數(shù)量統(tǒng)計顯示，微信注冊用戶數(shù)量已經(jīng)突破9.27億.微信用戶平均年齡只有26歲，97.7%的用戶在50歲以下，86.2%的用戶在18～36歲之間.為調(diào)查大學(xué)生這個微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)在從北京大學(xué)生中隨機(jī)抽取100位同學(xué)進(jìn)行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：微信群數(shù)量頻數(shù)頻率0至5個006至10個3011至15個3016至20個ac20個以上5b合計1001(1)求a，b，c的值；(2)若從100位同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求這2人中恰有1人微信群個數(shù)超過15個的概率；(3)以這100個人的樣本數(shù)據(jù)估計北京市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計概率，若從全市大學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記X表示抽到的是微信群個數(shù)超過15個的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).解：(1)由已知得0＋30＋30＋a＋5＝100，解得a＝35，b＝eq\f(5,100)＝0.05，c＝eq\f(35,100)＝0.35.(2)記“這2人中恰有1人微信群個數(shù)超過15個”為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,40)C\o\al(1,60),C\o\al(2,100))＝eq\f(16,33)，所以這2人中恰有1人微信群個數(shù)超過15個的概率為eq\f(16,33).(3)依題意可知，微信群個數(shù)超過15個的概率為P＝eq\f(2,5).X的所有可能取值為0,1,2,3.則P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))3＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))2＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))1＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＝eq\f(8,125).所以X的分布列為X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(6,5).eq\a\vs4\al(考法二概率與統(tǒng)計、統(tǒng)計案例的交匯命題)[典例]某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應(yīng)等級進(jìn)行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如圖.等級不合格合格得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]頻數(shù)6a24b(1)求a，b，c的值；(2)用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談.現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)；(3)某評估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(M＝\f(Eξ,Dξ)，其中Dξ表示ξ的方差))M≥0.7，則認(rèn)定教育活動是有效的；否則認(rèn)定教育活動無效，應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在(2)的條件下，判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案？[解](1)由題知，樣本容量為eq\f(6,×20)＝60，b＝60××20)＝12，a＝60－6－12－24＝18，c＝eq\f(18,60×20)＝0.015.(2)在評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談，其中“不合格”的學(xué)生人數(shù)為eq\f(24,60)×10＝4，“合格”的學(xué)生人數(shù)為10－4＝6.由題意可得ξ的所有可能取值為0,5,10,15,20.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,210)，P(ξ＝5)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(24,210)，P(ξ＝10)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(90,210)，P(ξ＝15)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(80,210)，P(ξ＝20)＝eq\f(C\o\al(4,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(15,210).所以ξ的分布列為ξ05101520Peq\f(1,210)eq\f(24,210)eq\f(90,210)eq\f(80,210)eq\f(15,210)E(ξ)＝0＋5×eq\f(24,210)＋10×eq\f(90,210)＋15×eq\f(80,210)＋20×eq\f(15,210)＝12.(3)D(ξ)＝(0－12)2×eq\f(1,210)＋(5－12)2×eq\f(24,210)＋(10－12)2×eq\f(90,210)＋(15－12)2×eq\f(80,210)＋(20－12)2×eq\f(15,210)M＝eq\f(Eξ,Dξ)＝eq\f(12,16)＝0.75＞0.7，則認(rèn)定教育活動是有效的在(2)的條件下，可知該校不用調(diào)整安全教育方案.eq\a\vs4\al([解題技法])(1)概率常與隨機(jī)抽樣、雙圖(頻率分布直方圖、莖葉圖)、統(tǒng)計、獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等綜合，注意頻率分布直方圖的縱軸不表示頻率.(2)當(dāng)題目中出現(xiàn)“在……條件(前提)下”等字眼時，所求概率一般為條件概率；若無上述字眼，但已發(fā)生的事件影響了所求事件的概率，也認(rèn)為是條件概率.條件概率的公式需記牢，易混淆事件A，B.也有不用條件概率的公式，根據(jù)實(shí)際意義求概率的，如“甲、乙比賽時，甲每局獲勝的概率皆為eq\f(2,3)，且各局比賽勝負(fù)互不影響，比賽采用五局三勝制.已知第一局乙獲勝，求甲獲勝的概率.”易得甲獲勝的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋eq\f(2,3)×Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(16,27).[過關(guān)訓(xùn)練](2019·湘東五校聯(lián)考)已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表所示：x246810y3671012(1)請根據(jù)上表數(shù)據(jù)在圖中繪制散點(diǎn)圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，并估計當(dāng)x＝20時y的值；(3)將表格中的數(shù)據(jù)看作5個點(diǎn)的坐標(biāo)，則從這5個點(diǎn)中隨機(jī)抽取3個點(diǎn)，記落在直線2x－y－4＝0右下方的點(diǎn)的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示.(2)依題意得，eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝4＋16＋36＋64＋100＝220，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(272－5×6×,220－5×62)＝1.1，所以eq\o(a,\s\up6(^))×6＝1，所以線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))x＋1，故當(dāng)x＝20時，eq\o(y,\s\up6(^))＝23.(3)可以判斷，落在直線2x－y－4＝0右下方的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足2x－y－4＞0，所以符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值為1,2,3.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，故ξ的分布列為ξ123Peq\f(3,10)eq\f(3,5)eq\f(1,10)E(ξ)＝1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(9,5).eq\a\vs4\al(考法三概率與函數(shù)、方程、不等式的交匯命題)[典例]為了引導(dǎo)居民合理用電，國家決定實(shí)行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅為單位(一套住宅為一戶).階梯級別第一階梯第二階梯第三階梯月用電范圍/度(0,210](210,400](400，＋∞)某市隨機(jī)抽取10戶同一個月的用電情況，得到統(tǒng)計表如下：居民用電戶編號12345678910用電量/度538690124132200215225300410(1)若規(guī)定第一階梯的電價為每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元，試計算A居民用電戶用電410度時應(yīng)交電費(fèi)多少元？(2)現(xiàn)要在這10戶家庭中任意抽取3戶，求抽到用電量為第二階梯的戶數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)以表中抽到的10戶作為樣本估計全市的居民用電，現(xiàn)從全市中抽取10戶，若抽到k戶的用電量為第一階梯的可能性最大，求k的值.[解](1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元).(2)設(shè)抽到用電量為第二階梯的戶數(shù)為ξ.由題意知，用電量為第二階梯的用戶有3戶，則ξ的所有可能取值為0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,24)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,7)C\o\al(1,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,40)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,7)C\o\al(2,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,40)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,120).故ξ的分布列為ξ0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)所以E(ξ)＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(21,40)＋2×eq\f(7,40)＋3×eq\f(1,120)＝eq\f(9,10).(3)由題意知，從全市中抽取10戶，用電量為第一階梯的戶數(shù)X滿足X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(3,5)))，可知P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))10－k(k＝0,1,2,3，…，10).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,10)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))10－k≥C\o\al(k＋1,10)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))k＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))10－k＋1，,C\o\al(k,10)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))10－k≥C\o\al(k－1,10)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))k－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))10－k－1，))解得eq\f(28,5)≤k≤eq\f(33,5)，k∈N*.所以當(dāng)k＝6時，概率最大，即抽到6戶的用電量為第一階梯的可能性最大.eq\a\vs4\al([變式發(fā)散])1.(變設(shè)問)其他條件不變，求居民一個月應(yīng)交電費(fèi)關(guān)于用電量n(n∈N)的函數(shù)解析式f(n).解：因?yàn)楫?dāng)0＜n≤210時，f(nn；當(dāng)210＜n≤400時，f(n)＝210×0.5＋(n－210)×n－21；當(dāng)n＞400時，f(n)＝210×0.5＋(400－210)×0.6＋(n－400)×n－101，所以f(n)＝eq\n，0＜n≤n－21，210＜n≤n－101，n＞400.))p.(1)[考查不等式]如果甲一共投球4次，甲恰好投中2次的概率不大于其恰好投中3次的概率，試求p的取值范圍.解：由Ceq\o\al(2,4)·p2·(1－p)2≤Ceq\o\al(3,4)·p3·(1－p)，0＜p＜1，解得eq\f(3,5)≤p＜1，故p的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，1)).(2)[考查基本不等式]如果甲一共投球6次，那么甲恰好命中3次的概率可能是eq\f(1,3)嗎？解：不可能.P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,6)·p3·(1－p)3≤20eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋1－p,2)))2))3＝eq\f(5,16)＜eq\f(1,3).(3)[與導(dǎo)數(shù)交匯]記甲3次投球中恰有2次投中的概率為q，則當(dāng)p取何值時，q最大？解：由題意知q＝Ceq\o\al(2,3)·p2·(1－p)＝－3p3＋3p2,0＜p＜1，則q′＝－9p2＋6p＝－3p(3p－2)，易知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))上q＝－3p3＋3p2為增函數(shù)，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))上q＝－3p3＋3p2為減函數(shù)，故當(dāng)p＝eq\f(2,3)時，q取得最大值.[過關(guān)訓(xùn)練]X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)，求T的均值.解：(1)當(dāng)X∈[100,130)時，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.當(dāng)X∈[130,150]時，T＝500×130＝65000.所以T＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(800X－39000，100≤X＜130，,65000，130≤X≤150.))(2)由(1)知利潤T不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150時.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P所以E(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])1.(2019·湖北七市協(xié)作體聯(lián)考)甲、乙兩家銷售公司擬各招聘一名產(chǎn)品推銷員，日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪80元，每銷售一件產(chǎn)品提成1元；乙公司規(guī)定底薪120元，日銷售量不超過45件沒有提成，超過45件的部分每件提成8元.(1)請將兩家公司各一名推銷員的日工資y(單位：元)分別表示為日銷售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；(2)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名推銷員，對他們過去100天的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下條形圖：若將該頻率視為概率，請回答下列問題：①記乙公司一名員工的日工資為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②某大學(xué)畢業(yè)生擬到兩家公司中的一家應(yīng)聘推銷員工作，如果僅從日均收入的角度考慮，請你利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為他作出選擇，并說明理由.解：(1)由題意得，甲公司一名推銷員的日工資y(單位：元)與銷售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為y＝80＋n(n∈N*)；乙公司一名推銷員的日工資y(單位：元)與銷售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(120n≤45，n∈N*，,8n－240n＞45，n∈N*.))(2)①記乙公司一名員工的日工資為X(單位：元)，由條形圖得X的可能取值為120,128,144,160，P(X＝120)＝eq\f(10＋10,100)＝0.2，P(X＝128)＝eq\f(30,100)＝0.3，P(X＝144)＝eq\f(40,100)＝0.4，P(X＝160)＝eq\f(10,100)＝0.1，所以X的分布列為X120128144160P所以E(X)＝120×0.2＋128×0.3＋144×0.4＋160×0.1＝136.②由條形圖知，甲公司一名員工的日均銷售量為42×0.2＋44×0.4＋46×0.2＋48×0.1＋50×0.1＝45(件)，所以甲公司一名員工的日均工資為125元.由①知乙公司一名員工的日均工資為136元.故應(yīng)該應(yīng)聘乙公司.2.(2019·西安質(zhì)檢)基于移動互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一，短時間內(nèi)就風(fēng)靡全國，帶給人們新的出行體驗(yàn).某共享單車運(yùn)營公司的市場研究人員為了解公司的經(jīng)營狀況，對該公司最近六個月內(nèi)的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計，結(jié)果如下表：月份月份代碼x123456市場占有率y(%)111316152021(1)請在給出的圖中作出散點(diǎn)圖，并用相關(guān)系數(shù)說明能否用線性回歸模型擬合市場占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系；(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測該公司2019年2月份的市場占有率.參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,6,)(xi－eq\x\to(x))2＝17.5，eq\i\su(i＝1,6,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝35，eq\r(1330)≈36.5.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))；回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解：(1)作出散點(diǎn)圖如下.eq\x\to(y)＝eq\f(11＋13＋16＋15＋20＋21,6)＝16，∴eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\x\to(y))2＝76，∴r＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,6,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,6,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(35,×76))＝eq\f(35,\r(1330))≈eq\f(35,36.5)≈0.96.∴兩變量之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，故可用線性回歸模型擬合市場占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系.(2)由已知得，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,6,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(35,17.5)＝2，eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6,6)＝3.5，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝16－2×3.5＝9，∴y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋9.又2019年2月的月份代碼為x＝7，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝2×7＋9