第6章統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布6.1統(tǒng)計(jì)量6.2關(guān)于分布的幾個(gè)概念6.3由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個(gè)重要分布6.4樣本均值的分布與中心極限定理6.5樣本比例的抽樣分布

學(xué)習(xí)目標(biāo)了解統(tǒng)計(jì)量及其分布的幾個(gè)概念了解由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個(gè)重要分布

理解樣本均值的分布與中心極限定理掌握樣本比例的抽樣分布6.1統(tǒng)計(jì)量6.1.1統(tǒng)計(jì)量的概念6.1.2常用統(tǒng)計(jì)量6.1.3次序統(tǒng)計(jì)量

6.1.4充分統(tǒng)計(jì)量

統(tǒng)計(jì)量

(statistic)設(shè)X1,X2,…,Xn是從總體X中抽取的容量為n的一個(gè)樣本，如果由此樣本構(gòu)造一個(gè)函數(shù)T(X1,X2,…,Xn)，不依賴(lài)于任何未知參數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)T(X1,X2,…,Xn)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，其作用是把樣本中有關(guān)總體的信息匯集起來(lái)。樣本均值、樣本比例、樣本方差等都是統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量是樣本的一個(gè)函數(shù)統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)常用統(tǒng)計(jì)量樣本均值、樣本方差、樣本變異系數(shù)等矩：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，矩是指以期望值為基礎(chǔ)而定義的數(shù)字特征。矩可以分為原點(diǎn)矩和中心距兩種。樣本均值為一階原點(diǎn)矩；樣本方差為二階中心距。次序統(tǒng)計(jì)量（順序統(tǒng)計(jì)量）一組樣本觀(guān)測(cè)值X1,X2,…,Xn由小到大的排序

X（1）≤X（2）≤…≤X（i）≤…≤X（n）后，稱(chēng)X（1），X（2），…，X（n）為次序統(tǒng)計(jì)量中位數(shù)、分位數(shù)、四分位數(shù)等都是次序統(tǒng)計(jì)量充分統(tǒng)計(jì)量定義：統(tǒng)計(jì)量加工過(guò)程中一點(diǎn)信息都不損失的統(tǒng)計(jì)量通常稱(chēng)為充分統(tǒng)計(jì)量例：P1596.2關(guān)于分布的幾個(gè)概念6.2.1總體分布6.2.2樣本分布6.2.3抽樣分布6.2.4漸進(jìn)分布6.2.5隨機(jī)模擬獲得的近似分布

總體：是我們所關(guān)心的若干個(gè)元素（個(gè)體）的集合。總體中每個(gè)元素的取值是不同的，這些觀(guān)察值所形成的分布就是總體分布?？傮w分布：總體中各元素的觀(guān)察值所形成的相對(duì)頻數(shù)分布，稱(chēng)為總體分布?？傮w分布

(populationdistribution)總體：是我們所關(guān)心的若干個(gè)元素（個(gè)體）的集合?？傮w中每個(gè)元素的取值是不同的，這些觀(guān)察值所形成的分布就是總體分布?？傮w分布：總體中各元素的觀(guān)察值所形成的相對(duì)頻數(shù)分布，稱(chēng)為總體分布?？傮w分布

(populationdistribution)樣本:是從總體中所抽取的部分元素的集合

樣本分布：從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，由這n個(gè)觀(guān)察值形成的相對(duì)頻數(shù)分布，稱(chēng)為樣本分布。

注意：樣本來(lái)自總體，其中包含著總體的一些信息和特征，因此樣本分布也稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)分布。注意與抽樣分布是不同的概念。 樣本分布

(sampledistribution)抽樣分布：某個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，從理論上說(shuō)就是在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由該統(tǒng)計(jì)量的所有可能取值形成的相對(duì)頻數(shù)分布。從一般意義上，抽樣分布就是指樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布。例如，樣本均值的分布、樣本比例的分布、樣本方差的分布等都稱(chēng)為抽樣分布。下面重點(diǎn)介紹樣本均值的抽樣分布。抽樣分布

(samplingdistribution)漸近分布P160近似分布P160(了解)6.3由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個(gè)重要分布

6.3.12分布6.3.2t分布6.3.3F分布2分布由阿貝(Abbe)

于1863年首先給出，后來(lái)由海爾墨特(Hermert)和卡·皮爾遜(K·Pearson)

分別于1875年和1900年推導(dǎo)出來(lái)設(shè)，則令，則Y服從自由度為1的2分布，即

當(dāng)總體，從中抽取容量為n的樣本，則2分布

(2

distribution)分布的變量值始終為正分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對(duì)稱(chēng)的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對(duì)稱(chēng)期望為：E(2)=n，方差為：D(2)=2n(n為自由度)可加性：若U和V為兩個(gè)獨(dú)立的2分布隨機(jī)變量，U~2(n1)，V~2(n2),則U+V這一隨機(jī)變量服從自由度為n1+n2的2分布2分布

(性質(zhì)和特點(diǎn))c2分布

(圖示)不同容量樣本的抽樣分布c2n=1n=4n=10n=20t分布t分布高塞特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以“Student”(學(xué)生)為筆名的論文中首次提出

t分布是類(lèi)似正態(tài)分布的一種對(duì)稱(chēng)分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散一個(gè)特定的分布依賴(lài)于稱(chēng)之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布t分布脂圖示xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)zF分布由統(tǒng)脂計(jì)學(xué)脂家費(fèi)脂希爾脂(R.脂A.脂F(xiàn)i脂sh脂er)提出脂的，脂以其脂姓氏脂的第脂一個(gè)脂字母脂來(lái)命脂名設(shè)若U為服脂從自脂由度脂為n1的2分布脂，即U~2(n1)，V為服脂從自脂由度脂為n2的2分布脂，即V~2(n2),脂且U和V相互脂獨(dú)立脂，則脂稱(chēng)F為服脂從自脂由度n1和n2的F分布脂，記脂為F分布(Fdi脂st脂ri脂bu脂ti脂on)F分布(圖示)不同脂自由脂度的F分布F（1,10)(5,10)(10,10)6.脂4樣本脂均值脂的分脂布與脂中心脂極限脂定理在重脂復(fù)選脂取容脂量為n的樣脂本時(shí)脂，由脂樣本脂均值脂的所脂有可脂能取脂值形脂成的脂相對(duì)脂頻數(shù)脂分布一種脂理論脂概率脂分布推斷脂總體脂均值的理脂論基脂礎(chǔ)樣本脂均值脂的抽脂樣分脂布樣本脂均值脂的抽脂樣分脂布(例脂題分脂析)【例脂】設(shè)一脂個(gè)總脂體，含有脂4個(gè)脂元素脂(個(gè)脂體)，即脂總體脂單位脂數(shù)N=4。脂4個(gè)個(gè)脂體分脂別為x1=1脂，x2=2脂，x3=3脂，x4=4?？傊w的脂均值脂、方脂差及脂分布脂如下總體分布14230.1.2.3均值脂和方脂差樣本脂均值脂的抽脂樣分脂布(例脂題分脂析)現(xiàn)從脂總體脂中抽脂取n＝2脂的簡(jiǎn)脂單隨脂機(jī)樣脂本，脂在重脂復(fù)抽脂樣條脂件下脂，共脂有42=1脂6個(gè)脂樣本脂。所脂有樣脂本的脂結(jié)果脂為3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個(gè)觀(guān)察值第一個(gè)觀(guān)察值所有可能的n=2的樣本（共16個(gè)）樣本脂均值脂的抽脂樣分脂布(例脂題分脂析)計(jì)算脂出各脂樣本脂的均脂值，脂如下脂表。脂并給脂出樣脂本均脂值的脂抽樣脂分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個(gè)觀(guān)察值第一個(gè)觀(guān)察值16個(gè)樣本的均值（x）x樣本均值的抽樣分布1.000.10.20.3P

(x)1.53.04.03.52.02.5樣本脂均值脂的分脂布與脂總體脂分布脂的比脂較(例脂題分脂析)=脂2.脂5σ2=1脂.2脂5總體脂分布14230.1.2.3抽樣分布P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x樣本脂均值脂的抽脂樣分脂布脂與中脂心極脂限定脂理=50

=10X總體分布n=4抽樣分布xn=16當(dāng)總脂體服脂從正脂態(tài)分脂布N(μ,σ2)時(shí)脂，來(lái)脂自該脂總體脂的所脂有容脂量為n的樣脂本的脂均值x也服脂從正脂態(tài)分脂布，x的數(shù)脂學(xué)期脂望為μ，方脂差為σ2/n。即x～脂N(μ,σ2/n)中心脂極限脂定理(ce脂nt脂ra脂l脂li脂mi脂t脂th脂eo脂re脂m)當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布中心脂極限脂定理脂：設(shè)脂從均脂值為，方脂差為2的一脂個(gè)任脂意總脂體中脂抽取脂容量脂為n的樣脂本，脂當(dāng)n充分脂大時(shí)脂，樣脂本均脂值的脂抽樣脂分布脂近似脂服從脂均值脂為μ、方脂差為σ2/n的正脂態(tài)分脂布一個(gè)任意分布的總體x中心脂極限脂定理(ce脂nt脂ra脂l脂li脂mi脂t脂th脂eo脂re脂m)x的分脂布趨脂于正脂態(tài)分脂布的脂過(guò)程抽樣脂分布脂與總脂體分脂布的脂關(guān)系總體分布正態(tài)分布非正態(tài)分布大樣本小樣本正態(tài)分布正態(tài)分布非正態(tài)分布樣本樣本脂均值脂的抽脂樣分脂布(數(shù)脂學(xué)期脂望與脂方差脂)樣本脂均值脂的數(shù)脂學(xué)期脂望樣本脂均值脂的方脂差重復(fù)脂抽樣不重脂復(fù)抽脂樣樣本脂均值脂的抽脂樣分脂布(數(shù)脂學(xué)期脂望與脂方差脂)比較脂及結(jié)脂論：1.脂樣脂本均脂值的脂均值脂(數(shù)脂學(xué)期脂望)脂等脂于總脂體均脂值2.脂樣脂本均脂值的脂方差脂等于脂總體脂方差脂的1脂/n均值脂的抽脂樣標(biāo)脂準(zhǔn)誤脂差所有脂可能脂的樣脂本均脂值的脂標(biāo)準(zhǔn)脂差，脂測(cè)度脂所有脂樣本脂均值脂的離脂散程脂度也稱(chēng)脂標(biāo)準(zhǔn)脂誤差小于脂總體脂標(biāo)準(zhǔn)脂差計(jì)算脂公式脂為樣本脂比例脂的抽脂樣分脂布定義脂：總脂體(脂或樣脂本)脂中具脂有某脂種屬脂性的脂單位脂與全脂部單脂位總脂數(shù)之脂比不同脂性別脂的人脂與全脂部人脂數(shù)之脂比合格脂品(脂或不脂合格脂品)脂與脂全部脂產(chǎn)品脂總數(shù)脂之比總體脂比例脂可表脂示為樣本脂比例脂可表脂示為比例(p脂ro脂po脂rt脂io脂n)樣本比例（即成數(shù)）的脂抽樣脂分布脂（簡(jiǎn)脂稱(chēng)比脂例分脂布）抽樣總體樣本比例X,脂(N脂)比例脂=Ni/Nx,脂(n脂)所有脂可能脂的樣脂本的脂比例脂（脂）脂所形脂成的脂分布脂，稱(chēng)脂為樣脂本比脂例的脂抽樣脂分布脂。在重脂復(fù)選脂取容脂量為脂的樣脂本時(shí)脂，由脂樣本脂比例脂的所脂有可脂能取脂值形脂成的脂相對(duì)脂頻數(shù)脂分布一種脂理論脂概率脂分布當(dāng)樣脂本容脂量很脂大時(shí)脂，樣脂本比脂例的脂抽樣脂分布脂可用脂正態(tài)脂分布脂近似推斷脂總體脂比例的理脂論基脂礎(chǔ)樣本脂比例脂的抽脂樣分脂布樣本脂比例脂的數(shù)脂學(xué)期脂望樣本脂比例脂的方脂差重復(fù)脂抽樣根據(jù)脂中心脂極限脂定理脂，只脂要樣脂本足脂夠大脂，脂的分脂布就脂近似脂正態(tài)脂分布脂。（脂即n脂p和脂nq脂大于脂5時(shí)脂）樣本脂比例脂的抽脂樣分脂布(數(shù)脂學(xué)期脂望與繁方差繁)本章繁重點(diǎn)1、繁概念繁：統(tǒng)繁計(jì)量繁、抽繁樣分繁布、繁t分繁布、繁中心繁極限繁定理2、繁樣本繁均值繁的抽繁樣分繁布、繁樣本繁比例繁的抽繁樣分繁布練習(xí)繁題1、繁設(shè)X1,X2,…繁,Xn是從某繁總體繁X中繁抽取繁的一繁個(gè)樣繁本，繁下面繁哪個(gè)繁不是繁統(tǒng)計(jì)繁量（繁）A、繁B繁、C、繁D繁、