四招破解求導(dǎo)方法高中數(shù)學(xué)增加的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容拓展了學(xué)習(xí)和研究的領(lǐng)域，它易與數(shù)學(xué)各分支的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯，但這些題目都與求導(dǎo)有關(guān)，如何求導(dǎo)呢？本文就專門談?wù)勄髮?dǎo)的的方法以供參考．一．定義法用定義法求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般步驟是：（1）求函數(shù)的改變量；（2）求平均變化率；（3）取極限得導(dǎo)數(shù)＝．例1．求y=x2在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù).分析：根據(jù)求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法的三個(gè)步驟，先求Δy，再求，最后求．解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2，=2+Δx∴=(2+Δx)=2.∴y′|x=1=2．注意：(Δx)2括號(hào)別忘了寫．說(shuō)明：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也主要是求極限的值，所以極限是求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，求極限的一些基本方法不能忘掉．例2．已知y=x3－2x+1，求y′，y′|x=2．解：Δy=(x+Δx)3－2(x+Δx)+1－(x3－2x+1)=x3+3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3－2x－2Δx+1－x3+2x－1=(Δx)3+3x(Δx)2+(3x2－2)Δx，=(Δx)2+3xΔx+3x2－2，∴y′==［(Δx)2+3xΔx+3x2－2］=3x2－2．方法一：∵y′=3x2－2，∴y′|x=2=3×22－2=10．方法二：Δy=(2+Δx)3－2(2+Δx)+1－(23－2·2+1)=(Δx)3+6(Δx)2+10Δx=(Δx)2+6Δx+10，∴y′|x=2==［(Δx)2+6Δx+10］=10．說(shuō)明：求函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，與求函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)，方法是一樣的，也是三個(gè)步驟，只是把x0換成x．如果題目中要求y′，那么求y′|x=2時(shí)用方法一簡(jiǎn)便，如果只要求y′|x=2，用方法二比較簡(jiǎn)便．例3．設(shè)f(x)=，問(wèn)f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)是否存在？解：∴0，即f(x)在x=0處的左右導(dǎo)數(shù)相等，∴f(x)在x=0處導(dǎo)數(shù)存在，且f′(0)=0.說(shuō)明：對(duì)于分段函數(shù)分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般是求其左右兩側(cè)處的極限，看它們是否相等，如果相同就表示導(dǎo)數(shù)存在，否則就表示導(dǎo)數(shù)不存在．二．運(yùn)用四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則求導(dǎo)仔細(xì)觀察和分析各函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，緊扣求導(dǎo)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)公式，不具備求導(dǎo)法則條件的可適當(dāng)進(jìn)行恒等變形，步步為營(yíng)，使解決問(wèn)題水到渠成．乘法法則可推廣至有限個(gè)函數(shù)的乘積的情形，即每次只對(duì)一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)并乘以其余函數(shù)，然后累加．例4．已知，求．解：．說(shuō)明：理解和掌握求導(dǎo)法則和公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律是靈活進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算的前提條件，運(yùn)算過(guò)程出現(xiàn)失誤，原因是不能正確理解求導(dǎo)法則，特別是商的求導(dǎo)法則．求導(dǎo)過(guò)程中符號(hào)判斷不清，也是導(dǎo)致錯(cuò)誤的因素．從本題可以看出，深刻理解和掌握導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，再結(jié)合給定函數(shù)本身的特點(diǎn)，才能準(zhǔn)確有效地進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，才能充分調(diào)動(dòng)思維的積極性，在解決新問(wèn)題時(shí)舉一反三，觸類旁通，得心應(yīng)手．四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則除了直接應(yīng)用公式外，有時(shí)需要將表達(dá)式適當(dāng)變形后再應(yīng)用公式．求一些較復(fù)雜的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)．例5．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）解：.（3）因?yàn)?，所以．點(diǎn)評(píng)：在可能的情況下，求導(dǎo)時(shí)應(yīng)盡量少用甚至不用乘法的求導(dǎo)法則，先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)，可減少運(yùn)算量．三．運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：(1）適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；（2）分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)）；（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。也就是說(shuō)，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說(shuō)明函數(shù)關(guān)系y=f(μ)，μ=f(x)；然后將已知函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)，中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)．整個(gè)過(guò)程可簡(jiǎn)記為分解——求導(dǎo)——回代．熟練以后，可以省略中間過(guò)程．若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量．例6．求的導(dǎo)數(shù)．解：設(shè)，，則．例7．求的導(dǎo)數(shù).解：令y=，u=ax2+bx+c，∴=()′u·(ax2+bx+c)′x=·(2ax+b)=(ax2+bx+c)(2ax+b)=，即y′x=．說(shuō)明：在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)后，要把中間變量換成自變量的函數(shù)．有時(shí)復(fù)合函數(shù)可以由幾個(gè)基本初等函數(shù)組成，所以在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先要弄清復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要注意將哪一部分看作一個(gè)整體，然后按照復(fù)合次序從外向內(nèi)逐層求導(dǎo)．四．利用取對(duì)數(shù)的的方法巧求導(dǎo)例8．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解：∵且，∴．兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得，∴說(shuō)明：這里所給的函數(shù)是100個(gè)因式的積，對(duì)于這種結(jié)構(gòu)形式的函數(shù)，直接應(yīng)用乘積的導(dǎo)數(shù)法則求導(dǎo)比較繁瑣．如果先對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)后再求導(dǎo)，就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化，但必須注意取對(duì)數(shù)時(shí)真數(shù)應(yīng)為正實(shí)數(shù)．例9．求y=ln|x|的導(dǎo)數(shù)．解：當(dāng)x＞0時(shí)，y=lnx.y′=(lnx)′=；當(dāng)x＜0時(shí)，y=ln(－x)，y′=［ln(－x)］′=(－1)=，∴y′=說(shuō)明：常見錯(cuò)誤解法：y′=(ln|x|