-2023學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試卷高一數(shù)學(xué)考試范圍：必修二第6章，第8章；考試時間：120分鐘；注意事項：1.本試題滿分150分；2.考生作答時，請將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰，超出答題區(qū)書寫的答案無效。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）。1．若某圓錐的軸截面是斜邊長為4的直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．2．已知，，，若，則（

）A．1 B．5 C．－1 D．－53．設(shè)，，若，則的值為（

）A． B． C． D．104．已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．某幾何體底面的四邊形OABC直觀圖為如圖矩形，其中，，則該幾何體底面對角線AC的實際長度為（

）A．6 B． C． D．6．設(shè)?是互不重合的平面，??是互不重合的直線，下列命題正確的是（

）A．若，，，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，則7．如圖，圓柱的底面直徑與母線相等，是弧的中點(diǎn)，則與所成的角為（

）A． B． C． D．8.如圖，圓O是邊長為4的正方形ABCD的內(nèi)切圓，△PQR是圓O的內(nèi)接正三角形，若△PQR繞著圓心O旋轉(zhuǎn)，則AQ?OR的最大值是A．2+42 B．1+22 C?1+22 二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)。9．如圖，用正方體ABCD一A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行10．已知三個內(nèi)角的對邊分別是，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則為鈍角三角形C．若為銳角三角形，則D．若，則為銳角三角形11．如圖，點(diǎn)O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且AB=1，則（

）A．與能構(gòu)成一組基底B．C． D．12．已知正方體的棱長為2（如圖所示），點(diǎn)為線段（含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，由點(diǎn)，，確定的平面為，則下列說法正確的是（

）平面截正方體的截面始終為四邊形B．點(diǎn)運(yùn)動過程中，三棱錐的體積為定值C．平面截正方體的截面面積的最大值為D．三棱錐的外接球表面積的取值范圍為三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)。13．中，，，，則的面積為____.14．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的邊長為2，則半球的表面積為____________.(14題圖)（16題圖）15．一漁船在處望見正北方向有一燈塔，在北偏東方向的處有一小島，漁船向正東方向行駛海里后到達(dá)處，這時燈塔和小島分別在北偏西和北偏東的方向，則燈塔和小島之間的距離為___________海里.16.如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若＝，則的值是．四、解答題(本題共6小題，共70分)。17（10分）．已知平面向量、，若，，.(1)求向量、的夾角；(2)若且，求c.18（12分）．如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點(diǎn)．求證:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．（12分）如圖，在菱形中，.(1)若，求的值；(2)若，，求.20（12分）．在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．(1)求角B的大?。?2)若，求周長的取值范圍．21（12分）．已知中，設(shè)角A，B，C的對邊長分別a，b，c（a>c），已知，(1)求.(2)若D是AC邊上靠近A的三等分點(diǎn)，從下列三個條件中選兩個，使存在且唯一確定，并求BC和BD長度.①②.③22（12分）．如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面，且PO＝OB＝1，(1)若D為線段AC的中點(diǎn)，求證：AC⊥平面PDO；(2)求三棱錐P﹣ABC體積的最大值；(3)若BC＝，點(diǎn)E在線段PB上，求CE+OE的最小值.參考答案1．D【詳解】解：依題意可知圓錐的母線，底面半徑所以圓錐的側(cè)面積2．A【詳解】，由于，所以.3．C【詳解】因為，所以，解得，4．A【詳解】依題意在上的投影向量為.5．B【詳解】根據(jù)四邊形OABC直觀圖將其還有為平面圖形如圖：根據(jù)直觀圖與原圖的關(guān)系可得：，，，則點(diǎn)，，，6．D【詳解】對于A，若，，，，則或或與相交，故A錯誤；對于B，若，，則兩直線平行或或相交或異面，故B錯誤；對于C，若，，，則直線平行或或相交或異面，故C錯誤；對于D，若，則在平面內(nèi)存在直線，又，所以，又，所以，故D正確.7．【答案】C【分析】作出輔助線，找到異面直線形成的夾角，求出各邊長，利用余弦定理求出夾角.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，且，故四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角為與所成角，設(shè)，則，由勾股定理得，，，由余弦定理得，故，所以與所成角為.故選：C8．法1法29．ABC【詳解】由于是的中點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，則是的中點(diǎn)，由于是的中點(diǎn)，所以，C選項正確.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知平面，由于平面，所以，所以，A選項正確.由于，所以，B選項正確.由于，與相交，所以與不平行，D選項錯誤.10．ABC【分析】對于A：結(jié)合大角對大邊及正弦定理即可求解；對于B：由向量夾角公式即可判斷；對于C：由銳角三角形內(nèi)角的性質(zhì)與誘導(dǎo)公式即可求解；對于D：由余弦定理變形式即可求解.【詳解】對于A：由大角對大邊及正弦定理可知：，故A正確；對于B：因為，所以，所以為鈍角，所以為鈍角三角形，故B正確；對于C：因為為銳角三角形，所以,所以，故C正確；對于D：因為，由正弦定理得：，設(shè)，由余弦定理變形式得：，所以為鈍角，故D錯誤.11．BC【分析】對A，由正八邊形性質(zhì)可證與平行，即可由基底定義判斷；對B，由正八邊形性質(zhì)可證，即可由向量數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系判斷；對C，由，利用平行四邊形法則即可計算；對D，由，即可根據(jù)向量數(shù)量積定義計算【詳解】連接BG，CF，由正八邊形的性質(zhì)可知，，，所以，所以與是共線向量，所以與不能構(gòu)成一組基底，A項錯誤；，所以，所以，B項正確；因為，由平行四邊形法則可知，，C項正確；正八邊形的每一個內(nèi)角為，，所以，D項錯誤（或者從正八邊形的性質(zhì)可知與的夾角為銳角，則有可判斷D錯誤）.12．BCD【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，運(yùn)動變化思想，函數(shù)思想，即可分別求解.【詳解】對A選項，當(dāng)與點(diǎn)重合時，平面截正方體的截面為，錯誤；對B選項，∵，又平面，平面，∴平面，又點(diǎn)為線段（含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，∴到平面的距離為定值，又的面積也為定值，∴三棱錐的體積為定值，正確；C選項，當(dāng)由移動到的過程中，利用平面的基本性質(zhì)，延長交于，連接交于，所以，從到之間，平面截正方體的截面為為等腰梯形，且，當(dāng)與重合時，截面為矩形，此時面積最大為，正確；對D選項，如圖，分別取左右側(cè)面的中心，，則垂直于左右側(cè)面，根據(jù)對稱性易知：三棱錐的外接球的球心在線段上，設(shè)到的距離為，則，設(shè)，則，又易知，外接球的半徑，在與中，由勾股定理可得：，兩式相減得：，∴，令，又，則，∴，，設(shè)函數(shù)，，則的對稱軸為，的開口向上，∴在上單調(diào)遞增，最小值為，最大值為，即，∴三棱錐的外接球表面積，正確.13．【解析】根據(jù)正弦定理，易得的面積為，然后代入相關(guān)數(shù)據(jù)計算可得答案.【詳解】在中，，，，的面積為，的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形面積公式，屬于?？碱}.14．【答案】【分析】過正方體與半球底面垂直的對角面作截面，將問題轉(zhuǎn)化為半圓與矩形的內(nèi)接問題，進(jìn)而求出半球的半徑，再利用球的表面積公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)該半球的半徑為，過正方體與半球底面垂直的對角面作截面，則面截半球面得半圓，截正方體得一個矩形，且矩形內(nèi)接于半圓（如圖所示），在矩形中，，,則，所以半球的表面積為.故答案為：.15．【分析】求得，在三角形中利用余弦定理求得.【詳解】依題意，畫出圖象如下圖所示，，，，，在三角形中，由正弦定理得，所以.在中，，所以.在三角形中，由余弦定理得，所以.故答案為：16．217．(1)(2)【分析】（1）在等式兩邊平方，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得向量、的夾角的余弦值，結(jié)合向量夾角的取值范圍即可得解；（2）由已知可得，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求出的值，然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得.【詳解】（1）解：因為，則，所以，，又因為，因此，，即向量、的夾角為.（2）解：因為且，則，解得，因此.18．【分析】(1)設(shè),連接,根據(jù)中位線可得,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明;(2)根據(jù)可得,根據(jù)四邊形為菱形,可得,再根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè),連接,如圖所示:因為O,E分別為,的中點(diǎn),所以,又因為平面,平面,所以平面．（2）連接,如圖所示:因為,為的中點(diǎn),所以,又因為四邊形為菱形,所以,因為平面,平面,且,所以平面,又因為平面,所以平面平面．19．(1)(2)【分析】（1）由題意可知，即可求解；（2），從而即可求解.【詳解】（1）因為在菱形中，.故，故，所以.（2）顯然，所以①，因為菱形，且，，故，.所以.故①式.故.21．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理、正弦的兩角和公式可求解；（2）由正弦定理、輔助角公式及三角函數(shù)求范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1）由于（2a﹣c）cosB＝bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosB＝sin（B+C），可得：2sinAcosB＝sinA，因為sinA≠0，所以，因為，所以．（2）因為，，由正弦定理可得，于是，＝＝，因為△ABC為銳角三角形，且，所以，，所以，可得：，所以△ABC周長的取值范圍為：．21．(1)；(2)選擇②③，，.【分析】（1）先用正弦定理，再利用和角的正弦公式化簡即得解；（2）首先分析確定選擇②③，再求出，再求出，對其平方即得解.【詳解】（1）由正弦定理得，，，即因為..（2）①由余弦定理知，又，，即.不合題意，所以選擇②③..由余弦定理，所以.因為，所以解得..∴.22．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由題意可證AC⊥DO，又PO⊥AC，即可證明AC⊥平面PDO.（2）當(dāng)CO⊥AB時，C到AB的距離最大且最大值為1，又AB＝2，即可求△ABC面積的最大值，又三棱錐P﹣ABC的高PO＝1，即可求得三棱錐P﹣ABC體積的最大值.（3）可求，即有PB＝PC＝BC，由OP＝OB，，可證E為PB中點(diǎn)，從而可求，從而得解.【詳解】（1）在△AOC中，因為OA＝OC，D為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥DO，又PO垂直于圓O所在的平面，所以PO⊥AC，因為DO∩PO＝O，平面，所以AC⊥平面PDO.（2）因為