第十章.計數(shù)原理與古典概率1.排列組合問題往往以實際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計數(shù)原理，往往是排列組合小綜合題．近三年兩考，難度基本穩(wěn)定在中等.2.二項展開式定理的問題是高考命題熱點之一，近三年三考.關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從Cab；(可以考查rnrr某一項，也可考查某一項的以下幾個方面命題：(1)考查二項展開式的通項公式Tr1n系數(shù))(2)考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；(3)二項式定理的應(yīng)用．近兩年，浙江緊緊圍繞二項展開式的通項公式Tr1Cab命題，考查rnrrn某一項或考查某一項的系數(shù).3.離散型隨機變量的均值與方差是高考的熱點題型，前幾年以解答題為主，常與排列、組合、概率等知識綜合命題．以實際問題為背景考查離散型隨機變量的均值與方差在實際問題中的應(yīng)用，是高考的主要命題方向．近三年浙江卷略有淡化，難度有所降低，主要考查分布列的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望、方差的計算，及二者之間的關(guān)系.同時，考查二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，近三年三考，逐漸形成穩(wěn)定趨勢.一.選擇題1.(2019年9月浙江省嘉興市高三測試)袋中有形狀、大小都相同其中1個白球，2個紅球，2個黃球．從中一次隨機取出2個球，則這2個球顏色不同且編號分別為1，2，3，4，5的5個球，的概率為()3374A．5B．4C．10D．5【答案】D【解析】袋中有形狀、大小都相同且編號分別為1，2，3，4，5的5個球，其中1個白球，2個紅球，2個黃球，從nC102中一次隨機取出2個球，基本事件的總數(shù)為，5這2個球顏色不同的對立事件是兩個球顏色相同，C2C24p1.所以這2個球顏色不同的概率為22C255故選D2nx的展開式中各項的系數(shù)和為243，則該展開式)若二項式x2.(2020屆浙江省高三上學(xué)期百校聯(lián)考中含x項的系數(shù)為()A．1【答案】C【解析】B．5C．10D．202xnn2xn5展開式的通項公式為對x令x1得123243n5.二項式，解得x5r53153r2x2Cx，令r1，故展開式中含x項的系數(shù)為r1，解得2C10.Crxr1rr1152222255故選：C.0x1，隨機變量的分布列如下：3.(2020屆浙江省浙南名校聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)考)設(shè)21200.50.5xxP1則當(dāng)x在內(nèi)增大時()0,2EDB．增大，增大A．減小，減小EDDC．增大，減小EDED．減小，增大【答案】B【解析】1內(nèi)增大時,E增大E00.51(0.5x)2xx0.5,當(dāng)x在0,2D0.5(x0.50)2(0.5x)(x0.51)2x(x0.52)2x22x141增大D(x1)25，當(dāng)在0,x2內(nèi)增大時,D4故答案選B11月適應(yīng)測試)已知隨機變量滿足P(0)1p，P(1)p，其中4.(2020屆浙江省溫州市0p1.，則|E()|令隨機變量()B．E()E()E()E()A．D．D()D()D()D()C．【答案】D【解析】隨機變量滿足P(0)1p,P(1)p,其中0p1.則隨機變量的分布列為:101ppPEp,Dp1p所以|E()|,隨機變量E1p,當(dāng)時,所以當(dāng)時Ep01,p0.5(當(dāng)時,只有一個情況,概率為1):|E()|所以隨機變量的分布列如下表所示1pp1ppPEp1p1pp2p1p則22Dp2p1p1p1p2p1ppp1p2p121.所以當(dāng)EE即p2p1p,解得pA、B錯誤.2DDp1pp1p2p122204p1p恒成立.所以C錯誤,D正確故選:D5125.(2019年10月浙江省金麗衢十二校零模)口袋中有個形狀和大小完全相同的小球，編號分別為0，，，E334，，從中任取個球，以表示取出球的最大號碼，則=()3.55A．3.5B．3.45C．D．3.4【答案】B【解析】依題意知可取2,3,4則11,P(3)C,P(4)C426233P(2)C10C10C10333555E=21+33+46=3.5所以101010故選B56.(2020屆浙江省金麗衢十二校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考)口袋中有個形狀和大小完全相同的小球，編號分E331240，，，，，從中任取個球，以表示取出球的最大號碼，則=()別為3.55A．3.5B．3.45C．D．3.4【答案】B【解析】依題意知可取2,3,4則11,P(3)C,P(4)C426233P(2)C10C10C10333555E=21+33+46=3.5所以101010故選B7.(浙江省寧波市寧波十校2020屆高三11月聯(lián)考)今有男生3人，女生3人，老師1人排成一排，要求老師站在正中間，女生有鄰，則共有多少種不同的C．432D．456且僅有兩人相排法？()A．216B．260【答案】C【解析】由題意，將老師兩邊分別看作三個位置，將學(xué)生分為兩女一男和兩男一女兩組，且兩女相鄰，分組方法有C23C139種，24種，A兩女一男的排列方法為A222A33兩男一女的排列方法有6種，由分步計數(shù)原理，可得總的排列方法有946A2432種，2故選：C．8.(2019·9月浙江省麗水四校高三聯(lián)考)身高從矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相間的一個隊形，不同的排法種數(shù)為()A．12B．16D．18【答案】則甲、丁不相鄰的14C．B1,2,3,4,51,44,5四類：【解析】從矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可記為.要求不相鄰，分①先排AA4種排法3,51時，則只有種排法，在剩余的兩個位上，這樣有12,34；②先排時，則只有種排法，12222AA4種排法1,22,141；③先排時，則只有種排法，在剩余的兩個位上，3,5在剩余的兩個位上，這樣有2222AA4種排法1,321534,43512.綜上共有這樣有222；④先排時，則這樣的排法只有兩種，即2444214種，故選B.p0，19.(2019年9月浙江省超級全能生高三第一次聯(lián)考)已知隨機變量滿足下列分布列，當(dāng)且不斷增大時，()0121p22p1pp2PA．E增大，D增大B．E減小，D減小C．E增大，D先增大后減小D．E增大，D先減小后增大【答案】C【解析】，所以當(dāng)由題意可知，隨機變量滿足二項分布，即，易得Eξ2p，Dξ2p1p~B(2,p)0p1ED且不斷增大時，增大，先增大后減小.故選C.10．(2020屆浙江湖州、衢州、麗水三地市高三上期中)已知隨機變量X,Y的分布列如下:3X21cabP3Y12cabP若a,b,c成等差數(shù)列，則下列結(jié)論一定成立的是()DXDYD．DXDYEXEYEXEYA．B．C．【答案】D【解析】2bac①，另根據(jù)分布1②.由①②得abc列的知識可知由于a,b,c成等差數(shù)列，故b13,c2a.3所以EX3a2bc3aa42a，22333228EYa2b3ca3a2a，3334由于2a2a44a83EX,EY正負無法確定，故大小無法比較.3344343222DX32aa22ab12ac353231122222aa2a2aa，33388383222DY12aa22ab32ac353231122222aa2a2aa，333DXDY故.故選：D.二.填空題11.(2020屆浙江省名校新高考研究聯(lián)盟(Z20聯(lián)盟)高三上學(xué)期第一次聯(lián)考)若(x2)(2x1)7aaxax2axa0a2，則______，_____.80128【答案】–2–154【解析】令x0得：，a20(2x1)7出，出含項，即TxC(2x)(1)6；展開式中含x2項為：(1)當(dāng)(x2)xx171(2x1)7出，出含x項，即T22C(2x)2(1)5；(2)當(dāng)(x2)2272所以a，故填：2；154.2C12C24(1)15427712.(2020屆浙江省名校新高考研究聯(lián)盟(Z20聯(lián)盟)高三上學(xué)期第一次聯(lián)考)某高三班級上午安排五節(jié)課(語文，數(shù)學(xué)，英語，物理，體育)，要求語文與英語不能相鄰、體育不能排在第一節(jié)，則不同的排法總數(shù)是_______(用數(shù)字作答)．【答案】60【解析】體育不能排在第一節(jié)，則從其他4門課中選一門排在第一節(jié)，其余的課任意排，它的所有可能共有A1A496種.44其中，體育不能排在第一節(jié)，若語文與英語相鄰，則種，把語文與英語當(dāng)做一節(jié)，方法有A22AAA236種.則上午相當(dāng)于排4節(jié)課，它的情況有：13332故語文與英語不能相鄰，體育不能排在第一節(jié)，則所有的方法有963660種.13.(2020屆浙江省臺州五校高三上學(xué)期聯(lián)考)一個口袋里裝有大小相同的6個小球，其中紅色、黃色、綠色的球各2個，現(xiàn)從中任意取出3個小球，其中恰有2個小球同顏色的概率是_______.若取到紅球得1分，取到黃球得2分，取到綠球得3分，記變量為取出的三個小球得分之和，則的期望為_____.3【答案】65【解析】根據(jù)題意，紅、黃、綠球分別記為A,A,B,B,C,C，則任取3個小球共有C320種，而其中恰有2個6121212123小球同顏色的有3C2C112，故所求概率為P=20=5；2412C=，P=5=211，C2C122220C由題意得，變量的取值為4，5，6，7，8，P=4=22010522C11=，因此C12C12C21，P=7=2220C21，P=8=C222010C12P=6=2055E=4151627181=6.105551014.(2019年9月浙江省嘉興市高三測試)二項式(6x1)63xx的展開式中，所有有理項(系數(shù)為有理數(shù)，的．．．次數(shù)為整數(shù)的項)的系數(shù)之和為________；把展開式中的項重新排列，則有理項互不相鄰的排法共有____．．．種．(用數(shù)字作答)【答案】32.144.【解析】因為二項式(6x1)6的展開式的通項為(6x16r1r32r)6TCrx6xCrx23x，r1663x2r1rZ，所以r0,2,4,6，因為22故所有有理項的系數(shù)為C0C2C4C611515132；6666把展開式中的項重新排列，則有理項互不相鄰的排法共有A3A4144種.．．．3415.(2019年9月浙江省超級全能生高三第一次聯(lián)考)已知nxnaax1ax12…+ax1nN對任意xR恒成立，則a__________；若*012n0aa0n_________________，則.451【答案】9n【解析】，aC1n5，n5令tx1，則t1aatat2…+atn，則a1，aC1n4nn4n012n04n5n∵aa0，即5，解得n9.CCn54nn，故Cn4C45nn216.(2020屆浙江省高三上學(xué)期百校聯(lián)考)已知隨機變量的分布列如下表，若E(ξ)，則a=________，3D()______.0a1b216P1【答案】529【解析】11，故a,b.所以236依題意12Eb332121215222D012323336.91故填：(1)；(2).52917.(2020屆浙江學(xué)軍中學(xué)高三上期中中)12x5展開式中x3的系數(shù)為___；所有項的系數(shù)和為____．【答案】-80-1【解析】因為TCr(2)rx，令r3，T80x3，rr154所以x3的系數(shù)為-80，12x5aaxax55設(shè)，01x1，則aaa1，所以所有項的系數(shù)和為-1.令015x2n(nN*)的展開式中，18．(2020屆浙江湖州、衢州、麗水三地市高三上期中)已知二項式第二項14的系數(shù)是n，則_______，x含的奇次項的二項式系數(shù)和的值是__________【答案】764【解析】x2n(nN*)的展開式中，式214，解得n71.含的14x依題意二項第二項的系數(shù)是，即C1nCC2C4C612134764.奇次項的二項式系數(shù)和為0777764故答案為：(1)7；(2).19.(2019年9月浙江省超級全能生高三第一次聯(lián)考)將1，2，3，4，5，6，7，8八個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求7與8相鄰，八位數(shù)的個數(shù)是________.且任意相鄰兩個數(shù)字奇偶不同，這樣的【答案】504【解析】AA字分成兩類：“奇偶奇偶奇偶奇偶”與“偶奇偶奇偶奇偶奇”.若是第一類，則1，2，3，4，5，6有3333先將數(shù)AA72504種排列，再將“7，8”或“8，7”插空進前后7個空位中去;第二類同理，數(shù)量一樣，故有3333個.省金麗衢十二校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考)在(x21)9的展開式中，20.(2020屆浙江常數(shù)項為_____，系數(shù)2x最大的項是_____．21【答案】9x1216【解析】(x21)9TCr(x)(1)r=Cr(1)rx的展開式中第1項為29r183r，r2x22r19x9121T=C()=，常數(shù)項為66216791C()r，要使系數(shù)項的系數(shù)為r最大，r顯然為偶數(shù)，29經(jīng)檢驗，當(dāng)r=2時，系數(shù)最大，TC2(1)2x12=9x12最大的項是3即系數(shù)2921故第一空填,第二空填9x12.16121.(2020屆浙江省高三上學(xué)期百校聯(lián)考)某學(xué)校要安排2名高二的同學(xué)，2名高一的同學(xué)和名初三的同學(xué)去參加電視節(jié)目《變形記》，有五個鄉(xiāng)村小鎮(zhèn)A、B、C、D，E(每名同學(xué)選擇一個小鎮(zhèn))由于某種原因高二的同學(xué)不去小鎮(zhèn)A，高一的同學(xué)不去小鎮(zhèn)B，初三的同學(xué)不去小鎮(zhèn)D和E，則共有________種不同的安排方法(用數(shù)字作)32【答案】【解析】C,D,E，故方法數(shù)有CA12種；1如果初三學(xué)生去A，則高二學(xué)生選人去，另外三人去1233BC,D,E，故方法數(shù)有CA12種；1如果初三學(xué)生去，則高一學(xué)生選人去A，另外三人去1233BD,E，故方法數(shù)有C，則高二學(xué)生選人去，高一學(xué)生選人去A，另外兩人去11如果初三學(xué)生去BC1C1A28種.222故總的方法數(shù)有1212832種.32故填：.1aiaR,i為虛數(shù))復(fù)數(shù)(2izai單位)為純虛數(shù),則復(fù)數(shù)的模22.(2019·9月浙江省麗水四校高三聯(lián)考為.已知(1xx2)(x1)n(nN)8n的展開式中沒有常數(shù)項,且n，則.2x3【答案】【解析】zai,即,故的模為由題意設(shè),則,所以.因的通項公式,故當(dāng)時存在常數(shù)項,即,故時為常數(shù)項,所以當(dāng)時沒有常數(shù)項符合題設(shè),故應(yīng)填.寧波市寧波十校2020屆高三11月聯(lián)考)在二項式(x2)5的展開式中，23．(浙江省含x的一次項的系數(shù)為_____．(用數(shù)字作答)各項系數(shù)的和為_____，x110【答案】【解析】在二項式(x2)5x中，取x，可各得項系數(shù)的和為﹣1；1(x2)5二項式x()(2)r(2)53rCxrCrx．2的展開式的通項T5rr155xr53r1由，得r＝1．22C10．∴含x的一次項的系數(shù)為15故答案為：﹣1；﹣10．24.(浙江省寧波市寧波十校2020屆高三11月聯(lián)考)一個袋中裝有10個大小相同的黑球、白球和紅球．已7知從袋中任意摸出2個球，至少得到一個白球的概率是，則袋中的白球個數(shù)為_____，若從袋中任意摸出93個球，記得到白球的個數(shù)為ξ，則隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ＝_____．3【答案】52【解析】72x設(shè)白球個數(shù)為，至少得到一個白球的概率是，則不含白球的概率為，99依題意，2C2(10x)(9x)20x5，，即，解得可得x10C2910353依題意，隨機變量~H(10,5,3)，所以E102．3故答案為：5，．22xax1展開式中25.(2020屆浙江省浙南名校聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)考)已知3所有項的系數(shù)之和a為-4，則________；x項的系數(shù)為_________．210【答案】2【解析】令x1，1a1141a34a2，32x2x12x36x212x8x2x1，322624810．故展開式x項的系數(shù)為33上學(xué)期第一次聯(lián)考)名男同學(xué)、名女學(xué)生和位老師站成一排拍照226.(2020屆浙江省浙南名校聯(lián)盟高三2合影，要求位老師必須站正中間，隊伍左右兩端不能同時是一男學(xué)生與一女學(xué)生，則總共有__________種排．法576【答案】【解析】AA4A2288當(dāng)兩端都是男生時：2342AA4A2288當(dāng)兩端都是女生時：2342576共有種排法576故答案為axax，5656Rxa(1x)aax27.(2