2022-2023學(xué)年江蘇省常州市田家炳高二下學(xué)期期初數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，可得直線l的方向向量與平面的法向量平行，然后列式計算即可得解.【詳解】因為，所以直線l的方向向量與平面的法向量平行，所以，解得，.故選：B.2．已知函數(shù)和直線，那么“”是“直線與曲線相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)直線與曲線相切，求出，利用充分條件與必要條件的定義即可判斷出結(jié)論．【詳解】設(shè)函數(shù)和直線的切點坐標(biāo)為，則，可得，所以時，直線與曲線相切；直線與曲線相切不能推出．因此“”是“直線與曲線相切”的充分不必要條件．故選：．【點睛】判斷充分條件與必要條件應(yīng)注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.3．若與的夾角為鈍角，則的取值可能是（

）A．5 B．4 C．3 D．6【答案】C【分析】向量夾角為鈍角，則，且不能反向.【詳解】若與的夾角為鈍角，則，解得，當(dāng)時，若與共線，則，解得，故若與的夾角為鈍角，等價于，A、B、D錯誤，C正確.故選：C.4．過原點作曲線的切線，則切線斜率為A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，設(shè)切點，∴，∴，∴，∴，∴．故選：D．5．已知，，，若，，三向量共面，則（

）A．9 B．3 C． D．【答案】C【分析】利用空間向量的共面定理得到，再利用空間向量相等的性質(zhì)及坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】因為，，三向量共面，所以存在實數(shù)，使得，即，所以，解得，所以.故選：C.6．已知空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面對稱點為，點關(guān)于軸對稱點為，則（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】先求點的坐標(biāo)，再根據(jù)空間中兩點間距離公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：點關(guān)于軸對稱點為，故.故選：B.7．如圖，函數(shù)的圖象在點處的切線是l，則（

）A．-3 B．-2 C．2 D．1【答案】D【分析】由題圖求得函數(shù)的圖象在點P處的切線方程，再求得，，從而求得答案.【詳解】解：由題圖可得函數(shù)的圖象在點P處的切線與x軸交于點，與y軸交于點，則切線，，，，故選：D.8．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意分析可得可以理解為點之間距離的平方，在函數(shù)的圖象上作與直線平行的切線，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點坐標(biāo)，故的最小值為點到直線的距離，利用點到直線的距離公式運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：可以理解為點之間距離的平方，即，可知在函數(shù)的圖象上，在直線上，可得，設(shè)函數(shù)在點處的切線與直線平行，則直線的斜率為1，可得，整理得，∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，∴方程有且僅有一個解，則，故的最小值為點到直線的距離，故的最小值為.故選：C.二、多選題9．（多選）已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的為（

）A．實線是的圖象，虛線是的圖象B．實線是的圖象，虛線是的圖象C．不等式組的解集為D．不等式組的解集為【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷AB選項的正誤，根據(jù)圖象可判斷CD選項的正誤.【詳解】結(jié)合圖象，若虛線是的圖象，則當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，與實線中在上不單調(diào)矛盾，不滿足題意，故實線為的圖象，虛線為的圖象，故A不正確，B正確；由圖象知不等式組的解集為，故C正確，D不正確．故選：BC．10．給出下列命題，其中正確的有（

）A．已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底B．是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一組基底，則共面C．若，則點四點共面D．已知是空間向量的一組基底，若，則也是空間一組基底【答案】ABD【分析】根據(jù)空間基底向量的定義結(jié)合四點共面的定理與結(jié)論逐項分析判斷.【詳解】對A：若，則與任何向量均共面，故與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底，A正確；對B：若不能構(gòu)成空間的一組基底，則共面，則共面，B正確；對C：若，則，∵，故點四點不共面，C錯誤；對D：∵是空間向量的一組基底，則不共面，若，則不共面，故也是空間一組基底，D正確.故選：ABD.11．在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A．異面直線與所成的角為 B．是平面的一個法向量C．二面角的正切值為 D．正方體的外接球的體積為【答案】ABD【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成的余弦值及二面角的余弦值，即可判斷AC，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可說明B，根據(jù)正方體外接球的直徑即可體對角線，即可求出外接球的體積；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成的角為，所以，因為，所以，故A正確；在正方體，平面，平面，所以平面，又，，面所以平面，所以是平面的一個法向量，故B正確；設(shè)面的法向量為，則，，所以，令，則，，所以，顯然面的一個法向量可為，設(shè)二面角為，則，因為二面角為銳二面角，所以，所以，故C錯誤；正方體外接球的半徑，故其外接球的體積為，故D正確；故選：．【點睛】本題考查了立體幾何中的線面垂直的判定和異面直線所成的角與二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.12．已知函數(shù)，則（

）A．恒成立 B．是上的減函數(shù)C．在得到極大值 D．在區(qū)間內(nèi)只有一個零點【答案】CD【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可判斷BC，取可判斷A選項的正誤，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及可判斷D.【詳解】，該函數(shù)的定義域為，所以，由，可得，由，可得，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，，故B選項錯誤，C選項正確；當(dāng)時，，此時，A選項錯誤；由題可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，而，故在區(qū)間內(nèi)只有一個零點，D選項正確.故選：CD.三、填空題13．若，則______．【答案】2【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，求出，又，求出即可得到答案.【詳解】因為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得，，即，所以.又，所以.故答案為：2.14．?dāng)€尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖．如圖屬重檐四角攢尖，它的上層輪廓可近似看作一個正四棱錐，若此正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則側(cè)面與底面的夾角為___________．【答案】60°##π3【分析】設(shè)此四棱錐P-ABCD底面邊長為，斜高為，連結(jié)AC、BD交于點O，連結(jié)OP.則以O(shè)為原點，為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求出側(cè)面與底面的夾角.【詳解】設(shè)此四棱錐P-ABCD底面邊長為，斜高為，連結(jié)AC、BD交于點O，連結(jié)OP.則，，．以O(shè)為原點，為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，顯然平面的法向量為．所以，所以側(cè)面與底面的夾角為．故答案為：.15．已知存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【分析】存在，使得成立，即，通過導(dǎo)數(shù)求的最大值．【詳解】令，則令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減∴，即故答案為：．16．已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，，，兩兩互相垂直，且，若球的表面積為，則球心到平面的距離為__________.【答案】【解析】根據(jù)題中條件，可將該三棱錐看作一個長方體的一部分，此長方體內(nèi)接于球O，長方體的體對角線為球的直徑，球心O為長方體對角線的中點，由球的表面積，得出球的半徑，求出的長，以點為坐標(biāo)原點，分別以，，方向為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，空間向量的方法，即可求出點到面的距離.【詳解】因為在三棱錐中，，兩兩互相垂直，所以可把該三棱錐看作一個長方體的一部分，將該三棱錐補(bǔ)形，得到長方體，此長方體內(nèi)接于球，長方體的體對角線為球的直徑，球心為長方體對角線的中點，設(shè)球的半徑為，球的表面積，則，設(shè)，則，解得，即，所以，以點為坐標(biāo)原點，分別以，，方向為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面ABC的一個法向量為，則，即，則，令，得.設(shè)球心到平面的距離為，則.故答案為：.【點睛】方法點睛：求解空間中點到面的距離的常用方法：（1）等體積法：先設(shè)所求點到面的距離，根據(jù)幾何體中的垂直關(guān)系，由同一幾何體的不同的側(cè)面（或底面）當(dāng)作底，利用體積公式列出方程，即可求解；（2）空間向量法：先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，以及平面的一條斜線所對應(yīng)的向量，則點到面的距離即為.四、解答題17．設(shè)曲線在點處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為．(1)求切線l的方程；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程；（2）求出切線與坐標(biāo)的交點坐標(biāo)，計算出三角形面積后，由導(dǎo)數(shù)求得最大值．【詳解】（1），時，所以切線方程為，即．（2）在中，令得，令得，因為，所以，，所以時，，遞增，時，，遞減，所以．18．設(shè)，點是函數(shù)與的圖象的一個公共點，兩函數(shù)的圖象在點P處有相同的切線．(1)用t表示a，b，c；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求t的取值范圍．【答案】(1)，，；(2).【分析】（1）由題意得到，，結(jié)合求出，對兩函數(shù)求導(dǎo)，利用兩函數(shù)的圖象在點P處有相同的切線，得到，結(jié)合表達(dá)出，；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，得到，，求導(dǎo)后因式分解，轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，分與兩種情況，求出的解集，與比較端點，得到不等式組，求出t的取值范圍.【詳解】（1）由題意得：，，因為，所以，即，，，因為兩函數(shù)的圖象點P處有相同的切線，所以，將代入上式，且，解得：，將代入中，，綜上：，，；（2），，則在上恒成立，當(dāng)時，的解集為，當(dāng)時，的解集為，由題意得：函數(shù)在上單調(diào)遞減，則或，所以或，解得：或，所以t的取值范圍是.19．如圖，在四棱錐中，平面為的中點，底面是邊長為2的正方形，且二面角的余弦值為．(1)求的長；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）建系，設(shè)的長，表示點坐標(biāo)，利用空間向量表示二面角的余弦值列方程求解即可；（2）利用空間向量計算點面距即可.【詳解】（1）如下圖所示，以為原點，分別為軸、軸、軸建系.，，設(shè)，則.所以，.容易看出，平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為，則有，即取，則，，即.由題，二面角的余弦值為，解得,故的長為.（2）由（1）得，，.則點到平面的距離為.20．在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，，側(cè)面底面ABCD，，．(1)若PB的中點為E，求證：平面PCD；(2)若PB與底面ABCD所成的角為60°，求平面PCD與平面PBD的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取PC的中點F，連接EF，DF，推導(dǎo)出四邊形ADFE是平行四邊形，，由此能證明平面PCD；（2）△為等邊三角形，是中點，作，以為原點，、、為x、y、z軸建空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】（1）如圖，取PC的中點F，連接EF，DF，，F(xiàn)分別為PB，PC的中點，，，且，且，四邊形ADFE是平行四邊形，，平面PCD，平面PCD，平面PCD．（2）若是中點，作，由底面ABCD為直角梯形且，，，由側(cè)面底面ABCD，面面，面，∴在面ABCD的投影在直線上，又PB與底面ABCD所成的角為60°，∴PB與底面ABCD所成角的平面角，則△為等邊三角形.∴以為原點，、、為x、y、z軸建空間直角坐標(biāo)系，如下圖示：∴、、、，則，，，設(shè)平面BDP的法向量，則，取，得，設(shè)平面PCD的法向量，則，取，得，設(shè)平面PCD與平面PBD的夾角為，則，平面PCD與平面PBD的夾角的余弦值為．21．已知函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【答案】答案見詳解【分析】求導(dǎo)，分類討論判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定最值.【詳解】由題意可得：，則，∵，則有：當(dāng)時，則當(dāng)時恒成立，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時，則當(dāng)時恒成立，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則；當(dāng)時，則，令，解得，令，解得，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，①當(dāng)，即時，則在區(qū)間上的最大值為；②當(dāng)，即時，則在區(qū)間上的最大值為；③當(dāng)，即時，則在區(qū)間上的最大值為；綜上所述：當(dāng)時，則在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)時，則在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)時，則在區(qū)間上的最大值為.22．設(shè)函數(shù)，.（1）若曲線在點處的切線與直