2022-2023學(xué)年河北省保定市高一下學(xué)期第三次考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．化簡(jiǎn)后等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算法則及運(yùn)算律計(jì)算即可得解.【詳解】.故選：A2．已知平面向量，且，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：因?yàn)椋?，且，所以，，故選B.【解析】1、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算；2、平行向量的性質(zhì).3．已知向量，其中，且，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得，根據(jù)夾角公式求得與的夾角.【詳解】由于，所以，設(shè)與的夾角為，則，由于，所以.故選：B4．在中，若，則此三角形（

）A．無(wú)解 B．有兩解 C．有一解 D．解的個(gè)數(shù)不確定【答案】B【分析】利用正弦定理求出，再結(jié)合，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所以滿足的有兩個(gè)，所以此三角形有兩解.故選：B.5．在，其內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理可得結(jié)合條件可得，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)樵?，，所以，又，所以，，所以為等腰三角?故選：A.6．若平面向量?jī)蓛傻膴A角相等，且，則（

）A．1 B．1或5 C． D．5【答案】B【分析】?jī)蓛傻膴A角相等，可得夾角為或,再分夾角為時(shí)，和當(dāng)夾角為時(shí)，兩種情況討論，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】.因?yàn)槠矫嫦蛄?，，兩兩的夾角相等，所以?shī)A角有兩種情況，即，，兩兩的夾角為或,當(dāng)夾角為時(shí)，，當(dāng)夾角為時(shí)，=1，所以1或.故選：B．7．在中，角的對(duì)邊分別是向量向量，且滿足則角（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合條件可得，再由正弦定理可得，然后由余弦定理可得答案.【詳解】由已知得再根據(jù)正弦定理有，，即.由余弦定理得，,所以因?yàn)樗怨蔬x：C8．設(shè)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心【答案】C【分析】由得出，結(jié)合三角形的性質(zhì)得出答案.【詳解】則，即，故即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)的垂心故選：C二、多選題9．已知向量，，則（

）A． B．C． D．與的夾角為【答案】ACD【解析】由，的坐標(biāo)，根據(jù)向量模、夾角的坐標(biāo)表示及向量垂直、平行的判定即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】∵，，∴，，∴，故A正確；∵，∴與不平行，故B錯(cuò)誤；又，C正確；∵，又，∴與的夾角為，D正確.故選：ACD10．在中，若，則為（

）A．60° B．150° C．120° D．30°【答案】AC【分析】由大邊對(duì)大角可知，從而得，由正弦定理可得，根據(jù)特殊三角函數(shù)值即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所?大邊對(duì)大角)，由正弦定理可知，∴，又因?yàn)?，∴或．故選:．11．已知是單位向量，且，若向量滿足，則（

）A．與夾角為 B．C．在上的投影向量的模為 D．在上的投影向量為【答案】BCD【分析】由是單位向量，且，推得的夾角為，構(gòu)造三角形為等邊三角形，可判斷A;計(jì)算出，判斷B;根據(jù)投影向量的概念，可求出在上的投影向量，判斷C;求出在上的投影向量，判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以的夾角為，設(shè)，則，由此可得是一個(gè)等邊三角形，所以，故A錯(cuò)誤；，故，故B正確；因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以模為，故C正確；設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，所以在上的投影向量為，故D正確．故選：BCD12．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．的面積為【答案】BC【分析】由題設(shè)得，應(yīng)用正弦定理及邊角關(guān)系確定不為鈍角，進(jìn)而確定，應(yīng)用余弦定理求及，最后由面積公式求的面積，即可判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題設(shè)，則，即，故，所以不為鈍角，否則、都為鈍角，則，又，即，整理得，故，，且為三角形內(nèi)角，則，綜上，的面積，故A、D錯(cuò)誤，B、C正確.故選：BC三、填空題13．已知中.角的對(duì)邊分別是，若，則等于__________.【答案】【分析】利用正弦定理求出即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所?故答案為：.14．在中角，，的對(duì)邊分別為，，，若,，則的外接圓面積為_(kāi)_______【答案】【解析】化簡(jiǎn)得到，根據(jù)余弦定理得，再利用正弦定理得到，得到答案.【詳解】，故，即.根據(jù)余弦定理：，故.根據(jù)正弦定理：，解得，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，余弦定理，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.15．如圖，在中，為的中點(diǎn)，，若，則______.【答案】【分析】先用表示，再用表示，即可得到答案.【詳解】，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的分解、線性運(yùn)算.16．正方形的邊長(zhǎng)為，是正方形的中心，過(guò)中心的直線與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】建立坐標(biāo)系，根據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出的坐標(biāo)分別為，，將，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，即可得其最小值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)且平行于的直線為軸，以過(guò)且垂直于的直線為軸，建立坐標(biāo)系，則，，所以，所以，即點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則，，所以，，所以，當(dāng)且時(shí)，有最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)且平行于的直線為軸建立坐標(biāo)系，則，，利用求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出的坐標(biāo)分別為，，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求最小值.四、解答題17．已知非零向量、，滿足，，且．(1)求向量、的夾角；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）對(duì)化簡(jiǎn)結(jié)合可得，然后利用結(jié)合數(shù)量積的定義可求得答案，（2）先求出，然后平方可得結(jié)果【詳解】（1）∵，∴，即，

又，∴，設(shè)向量、的夾角為，∵，∴，∴，∵，∴，即向量、的夾角為；（2）∵∴．18．平面內(nèi)給定三個(gè)向量，，.（1）求滿足的實(shí)數(shù)，；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）依題意求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量相等得到方程組，解得即可；（2）首先求出與的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得；【詳解】解：（1）因?yàn)?，，，且，，，?，解得，.（2），，，.，，，.，解得.19．如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上.(1)求漁船甲的速度；(2)求的值.【答案】(1)14海里小時(shí)；(2).【分析】（1）由題意知，，，.在△中，利用余弦定理求出，進(jìn)而求出漁船甲的速度.（2）在△中，，，，，由正弦定理，即可解出的值.【詳解】（1）(1）依題意，，，，.在△中，由余弦定理，得.解得.故漁船甲的速度為海里小時(shí).即漁船甲的速度為14海里小時(shí).（2）在△中，因?yàn)椋?，，，由正弦定理，得，?的值為.20．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的三等分點(diǎn).，設(shè).(1)用表示；(2)如果，用向量的方法證明：.【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算即可得解；（2）利用數(shù)量積的運(yùn)算律證明即可.【詳解】（1）由題意，，；（2）由（1）得，所以.21．在中，，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）如果，求的面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，利用正弦定理可得求解．（2）由，利用余弦定理結(jié)合基本不等式得到，再利用三角形面積公式求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得：，即．又∵，∴．?）因?yàn)?，由余弦定理得，而，?dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以.22．在中，角所對(duì)的邊分別