2022-2023學(xué)年河南省洛陽市洛寧縣高二下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知函數(shù)可導(dǎo)，且，（

）A．-3 B．0 C．3 D．6【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的概念對進(jìn)行整理，可得結(jié)論.【詳解】.故選：D.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的概念.屬于基礎(chǔ)題.2．如圖所示是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷中正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)D．函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)>0時單調(diào)遞增，時單調(diào)遞減，依次判斷選項即可.【詳解】由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像知，A：時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故A正確；B：時，或，所以函數(shù)先單調(diào)遞減，再單調(diào)遞增，故B錯誤；C：時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故C錯誤；D：時，或，所以函數(shù)先單調(diào)遞減，再單調(diào)遞增，不是單調(diào)函數(shù)，故D錯誤.故選：A3．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．2 B． C．1 D．0.5【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)化簡求解即可【詳解】解：因為在等差數(shù)列中，，所以，故選：C4．已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】是定義在上的偶函數(shù)，說明奇函數(shù)，若時，，可得為增函數(shù)，若，為增函數(shù)，根據(jù)，求出不等式的解集；【詳解】解：∵是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，∴為增函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，∴在上為增函數(shù)，∵，若，，所以；若，，在上為增函數(shù)，可得，綜上得，不等式的解集是.故選：C.5．已知函數(shù)區(qū)間內(nèi)有唯一零點，則不可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的零點，令，孤立參數(shù)求出的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的端點值，求解函數(shù)的值域，然后求解的范圍即可，即可得答案．【詳解】令，可得，令，可得，令，恒成立，函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)增函數(shù)，所以，所以，在區(qū)間是單調(diào)增函數(shù)，所以有，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點，，則的可能取值為：.故選：D．6．已知按規(guī)律排列的數(shù)列，則該數(shù)列的第72項為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將相同的數(shù)字分為一組，每組數(shù)字的個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，且，由等差數(shù)列求和公式求出前組數(shù)字個數(shù)之和，再檢驗即可求解.【詳解】將相同的數(shù)字分為一組，則每組數(shù)字的個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，且，因為前組數(shù)字個數(shù)之和為，當(dāng)時，，所以前組共有個數(shù)，第組有個數(shù)，而，所以該數(shù)列的第72項位于第組，第72項為，故選：C.7．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么當(dāng)時，的最大值為（

）A．10 B．11 C．20 D．21【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式，即可求解．【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，又，和異號，數(shù)列的前項和有最大值，數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，即，，，，當(dāng)時，的最大值為20．故選：C．8．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，先確定的值，即可得的解析式，從而可得的值.【詳解】因為，所以，則，解得，故，則.故選：C.9．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，用基本量表示，化簡可得，再表示，化簡可得，代入即得解【詳解】設(shè)公比為q，∵，∴q≠1.故選：B10．已知等差數(shù)列{an}的前n項和是Sn，若S15＞0，S16＜0，則Sn的最大值是（

）A．S1 B．S7C．S8 D．S15【答案】C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合題意求出的項，即可求解【詳解】∵等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S15＞0，S16＜0，，∴，，∴，∴，所以在數(shù)列中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)n＝8時，Sn最大，故選：C.11．已知函數(shù).若對任意，都存在滿足，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，所以，即在上恒成立故在上恒成立令，則令，，則即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故所以故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵在于將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而得出參數(shù)的范圍.12．拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微積分學(xué)中的基本定理之一，它反映了函數(shù)在閉區(qū)間上的整體平均變化率與區(qū)間某點的局部變化率的關(guān)系，其具體內(nèi)容如下：若在上滿足以下條件：①在上圖象連續(xù)，②在內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，則在內(nèi)至少存在一點，使得（為的導(dǎo)函數(shù)）．則函數(shù)在上這樣的點的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】用已知定義得到存在點，，使得，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)數(shù)和圖象的交點個數(shù)，作出函數(shù)圖象即可得到答案．【詳解】函數(shù)，則，由題意可知，存在點，，使得，即，所以，，，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，由圖象可知，函數(shù)和的圖象只有一個交點，所以，，只有一個解，即函數(shù)在，上點的個數(shù)為1個．故選：A二、填空題13．直線是曲線的一條切線，則實數(shù)___________．【答案】【詳解】本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法．，令得，故切點為，代入直線方程，得，所以．14．設(shè)數(shù)列{}為等差數(shù)列，其前n項和為，已知，若對任意n∈N*，都有成立，則k的值為______.【答案】20【分析】由題意，轉(zhuǎn)化“對任意n∈N*，都有成立”為Sk為Sn的最大值．可求得d＝－2，an＝41－2n，當(dāng)Sn取得最大值時，對任意n∈N*滿足，求解即可【詳解】對任意n∈N*，都有成立，即Sk為Sn的最大值．因為a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n，當(dāng)Sn取得最大值時，對任意n∈N*滿足解得n＝20.即滿足對任意n∈N*，都有成立的k的值為20.故答案為：20三、雙空題15．?dāng)?shù)列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），則稱為的一個峰值.（1）若，則的峰值為___________（2）若，且不存在峰值，則實數(shù)的取值范圍是___________【答案】

【分析】令，利用數(shù)列的函數(shù)特性，可判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值問題；若，且不存在峰值，即不存在最大值，從而求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】令開口向下，且對稱軸為，但由于，所以時，，所以對于任意的，都有，所以的峰值為；因為，且不存在峰值，令，因為開口向下，所以數(shù)列是滿足且，其中，），故，即，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：；.16．設(shè)函數(shù)已知不等式的解集為，則______，若方程有3個不同的解，則m的取值范圍是________．【答案】

0

【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性和極值，在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與的大致圖象，結(jié)合圖象，由不等式的解集，即可求出的取值；根據(jù)方程有3個不同的解，等價于函數(shù)與直線有三個不同的交點，利用數(shù)形結(jié)合的方法，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得；由得或；由得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時，函數(shù)取得極小值；由可得或；在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與的大致圖象如下，由圖象可得，當(dāng)時，；因為，為使不等式的解集為，結(jié)合圖象可知，只有；所以因為方程有3個不同的解，等價于函數(shù)與直線有三個不同的交點，作出函數(shù)的大致圖象如下：由圖象可得，；故答案為：；.四、解答題17．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足6Sn＋1＝9an(n∈N*)．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列{bn}前n項和Tn．【答案】（1）3n－2；（2）．【分析】（1）利用條件6Sn＋1＝9an，兩式相減，即可明確數(shù)列{an}為等比數(shù)列，從而得到結(jié)果；（2）{bn}是首項為3，公比為的等比數(shù)列，利用公式得答案.【詳解】（1）當(dāng)n＝1時，由6a1＋1＝9a1，得a1＝．當(dāng)n≥2時，由6Sn＋1＝9an，得6Sn－1＋1＝9an－1，兩式相減得6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)，即6an＝9(an－an－1)，∴an＝3an－1．∴數(shù)列{an}是首項為，公比為3的等比數(shù)列，其通項公式為an＝×3n－1＝3n－2．（2）∵bn＝＝，∴{bn}是首項為3，公比為的等比數(shù)列，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝．18．已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的值域．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求、，即可寫出處的切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)討論在上的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)極值、端點值確定區(qū)間值域.【詳解】（1）∵，則，又，∴曲線在處的切線方程為，即．（2）令，得．，的變化情況如下表：-11+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增∴函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，，，，∴函數(shù)在上的值域為．19．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，表示數(shù)列的前項的和，且(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由與的關(guān)系，利用相減法即可求得數(shù)列的通項公式；（2）直接利用裂項相消法求數(shù)列前項和即可.【詳解】（1）∵∴當(dāng)時，當(dāng)時，對時，上式也成立，故（2）因為，所以.20．已知函數(shù)．（I）若是的極值點，求的單調(diào)區(qū)間；（II）求a的范圍，使得恒成立．【答案】（I）的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（II）【分析】（I）根據(jù)題意得出，求出a，進(jìn)而由求得增區(qū)間，由求得減區(qū)間；（II）根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為時恒成立，設(shè)，求出，分類討論參數(shù)a，得到，即可得到a的范圍.【詳解】（I）函數(shù)的定義域為，，因為是的極值點，所以，解得a=3，當(dāng)a=3時，，令，得或；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為.（II）要使得恒成立，即時恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時，由得單調(diào)減區(qū)間為，由得單調(diào)增區(qū)間為，故，得；當(dāng)時，由得單調(diào)減區(qū)間為，由得單調(diào)增區(qū)間為，；此時，不合題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時，不合題意；當(dāng)時，由得單調(diào)減區(qū)間為，由得單調(diào)增區(qū)間為，，此時，不合題意；綜上所述：時，恒成立.21．已知數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，求的前n項和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將變形為即可得數(shù)列為等差數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項公式；（2）由（1）有，所以由錯位相減法可求數(shù)列的前n項和.【詳解】解：（1）由，，可得，所以數(shù)列是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以；（2），前n項和，，兩式相減可得，所以．22．已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)函數(shù)有兩個極值點且.證明：.【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根的判別式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類討論求解即可；（3）根據(jù)極值點的定義，結(jié)合（2）中結(jié)論，構(gòu)造新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，確