2022-2023學年湖南省常德市臨澧縣高一下學期3月第一次階段性考試數(shù)學試題一、多選題1．下列結(jié)論是否正確有（

）A．若與都是單位向量，則B．方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量C．直角坐標平面上的x軸?y軸都是向量D．若用有向線段表示的向量與不相等，則點M與N不重合【答案】BD【分析】根據(jù)題意，由平面向量的相關(guān)定義，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對于A，因為與的方向可能不同，故錯誤；對于B，因為這兩個向量的方向是相反的，所以是共線向量，故正確；對于C，因為軸與軸只有方向沒有大小，所以都不是向量，故錯誤；對于D，假設(shè)點與點重合，則向量，與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，即點M與N不重合，故正確；故選:BD二、單選題2．，是兩個單位向量，則下列四個結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A．分析方向；B．分析夾角；C．根據(jù)數(shù)量積計算結(jié)果進行判斷；D．根據(jù)模長運算進行判斷.【詳解】A．可能方向不同，故錯誤；B．，兩向量夾角未知，故錯誤；C．，所以，故錯誤；D．由C知，故正確，故選：D.【點睛】本題考查向量的模長和數(shù)量積運算以及向量相等的概念，主要考查學生對向量的綜合理解，難度較易.3．設(shè)向量，且，則（

）A．1 B．-1 C． D．【答案】D【分析】利用向量數(shù)量積坐標公式列出方程，求出答案.【詳解】，解得：.故選：D4．若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】先求得的值，根據(jù)數(shù)量積的運算法則求得以及的模，再根據(jù)向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故，，，故，由于，故，故選：C5．已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】由正弦定理得，化簡即得解.【詳解】由正弦定理得.故選：D【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.6．若平面向量兩兩的夾角相等，且，則（

）A．2 B．5 C．2或5 D．或【答案】C【分析】分類討論，再由向量求模公式，即可求解.【詳解】當兩兩的夾角均為0°時，顯然；當兩兩的夾角均為120°時，，故選：C.7．在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】由余弦定理得到，，從而，代入中，得到，由勾股定理逆定理得到為直角三角形.【詳解】由題意得：，即，故，因為，所以，故，即因為，所以，即，故，故，故，所以為直角三角形.故選：A8．設(shè)點是給定所在平面內(nèi)一點，則下列說法不正確的是（

）A．若，則點是邊的中點B．若，且，則的面積是面積的C．若為直線上的動點，則為定值D．若，則點在邊的延長線上【答案】D【分析】A選項，由條件得到，A正確；B選項，由條件得到在的中位線上，得到的面積是面積的；C選項，設(shè)，推導出，進而利用向量數(shù)量積得到，為定值；D選項，由條件得到，故點在邊的延長線上，D錯誤.【詳解】A選項，若，則，即，點是邊的中點，A正確；B選項，若，且，故，所以，設(shè)的中點為，則，即點在過的中點且平行于的直線上，即在的中位線上，所以的面積是面積的，B正確；C選項，因為為直線上的動點，所以設(shè)，故，所以，因為，所以，故，故，為定值，C正確；D選項，若，則，即，故點在邊的延長線上，D錯誤.故選：D三、多選題9．已知非零向量，若，且，又知，則實數(shù)的值為（

）A．-2 B．-3 C．3 D．2【答案】AD【分析】由，，則，.后由數(shù)量積運算律可得答案.【詳解】因，則.又，則.故選：AD10．在中，，則角可以為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)正弦定理可計算出或，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為即可得出角為或.【詳解】由正弦定理可得，又，，所以或；所以或，即角可以為或.故選：AC11．已知為坐標原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標，應用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC12．如圖.為內(nèi)任意一點，角的對邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（

）A．若是的重心，則有B．若成立，則是的內(nèi)心C．若，則D．若是的外心，，，則【答案】AB【分析】對于A：利用重心的性質(zhì)，代入即可；對于B：利用三角形的面積公式結(jié)合與可知點到的距離相等.對于C：利用將表示出來，代入，化簡即可表示出的關(guān)系式，用將表示出來即可得處其比值.對于D：利用三角形的圓心角為圓周角的兩倍，再將兩邊平方，化簡可得，結(jié)合的取值范圍可得出答案.【詳解】對于A：如圖所示：因為分別為的中點，所以，，同理可得、，所以，又因為，所以.正確；對于B：記點到的距離分別為，，因為，則，即，又因為，所以，所以點是的內(nèi)心，正確；對于C：因為，所以，所以，所以，所以，化簡得：，又因為不共線，所以，所以，所以，錯誤；對于D：因為是的外心，，所以,，所以，因為，則，化簡得：，由題意知同時為負，記，，則，因為，所以，所以，所以，錯誤.故答案為：AB.四、填空題13．在Rt△ABC中，，，則______【答案】【分析】本題是一個求向量的數(shù)量積的問題，解題的主要依據(jù)是直角三角形中的垂直關(guān)系和一條邊的長度，解題過程中有一個技巧性很強的地方，就是把變化為兩個向量的和，再進行數(shù)量積的運算．【詳解】∵∠C＝90°，∴0，∴（）42＝16故答案為16【點睛】啟發(fā)學生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運算律，引導學生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點，以熟練地應用數(shù)量積的性質(zhì)．14．已知向量，向量與向量夾角為，且，則向量__________.【答案】1【分析】先求出，再利用平面向量數(shù)量積的定義求出.【詳解】，，所以，所以.故答案為：1.15．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，的面積為5，則c＝________．【答案】【分析】根據(jù)三角形面積公式求得角C，再由余弦定理求得c．【詳解】解：由三角形面積公式得×4×5sinC＝5，即sinC＝．又b>c，所以C為銳角，于是C＝60°．由余弦定理得c2＝42＋52－2×4×5cos60°，解得c＝．故答案為：．16．《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖，這是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形—八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH所在平面內(nèi)的一點，則的最小值為______．【答案】【分析】以為原點建立直角坐標系，設(shè)，將表示為關(guān)于的關(guān)系即可求出.【詳解】如圖，以為原點建立直角坐標系，則，過作軸，因為正八邊形ABCDEFGH，所以是等腰直角三角形，所以,同理，過作軸，則,過作，則，所以，設(shè)，則，所以，，則，所以，其中表示點到點的距離的平方，因為點在正八邊形ABCDEFGH內(nèi)，所以的最小值為0，所以的最小值為.故答案為：.五、解答題17．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且a＝1，c＝.(1)若，求A；(2)若求b.【答案】(1)A＝(2)b＝2或b＝1【分析】（1）依據(jù)正弦定理即可求得A；（2）依據(jù)正弦定理即可求得b.【詳解】（1）由正弦定理得，又a<c，∴，∴A（2）由正弦定理得，得，則C＝或C＝.當C＝時，B＝，∴b＝；當C＝時，B＝A＝，∴b＝1.綜上，b＝2或b＝1.18．已知.(1)若，求證：；(2)設(shè)，若，求的值.【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）求出，利用模長公式列出方程，求出，證明出；（2）根據(jù)得到，平方相加后得到的值.【詳解】（1），故，即，化簡得：，故；（2），所以，兩式平方相加得：，故.19．已知的坐標分別為.(1)若三點共線，求角的值；(2)若，且四邊形為平行四邊形，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三點共線可得，化簡求得，結(jié)合即可求解；（2）由四邊形為平行四邊形，可得，采用坐標運算進行代換，可得關(guān)于的表達式，再結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解的范圍【詳解】（1）∵三點共線，∴，又，，∴，，又，∴.（2）∵四邊形為平行四邊形，∴，而，∴，，∴，，所以，因為，所以，則，所以，即的取值范圍為.20．如圖，在中，，，點在線段上，且.（1）求的長；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用和表示，然后利用平面向量數(shù)量積的運算律可計算出的長；（2）利用平面向量數(shù)量積計算出的值，即可得出的值.【詳解】（1）設(shè)，，則，，故；（2）設(shè)，則為向量與的夾角.，，即.【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求模和夾角，解題的關(guān)鍵就是選擇合適的基底來表示向量，考查計算能力，屬于中等題.21．已知向量，函數(shù).(1)求函數(shù)的最大值及相應自變量的取值；(2)在中，角的對邊分別為，若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】(1)利用向量坐標運算，二倍角公式和輔助角公式表示出，即可求出其最大值以及相應自變量的取值；(2)結(jié)合(1)中的，求出，再利用余弦定理和基本不等式變形即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題知，，所以當，即時，最大，且最大值為；（2）由(1)知，，則，解得或，所以中，，又，則，整理得，則，當且僅當時，等號成立，整理可得，又在中，所以，即的取值范圍為.22．如圖，正方形的邊長為是的中點，是邊上靠近點的三等分點，與交于點.(1)求的余弦值.(2)若點自點逆時針沿正方形的邊運動到點，在這個過程中，是否存在這樣的點，使得？若存在，求出