2025屆高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)．考試時(shí)間：120分鐘分值：150一、單選題1.“”是“”成立的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由題意分別考查充分性和必要性即可求得最終結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，一定有，即必要性滿足；當(dāng)時(shí)，其正切值不存在，所以不滿足充分性；所以“”是“”成立的必要不充分條件，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題主要考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷，正確解題的關(guān)鍵是要注意正切值不存在的情況.2.若，則下列不等式中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)判斷.【詳解】由，得，即，故A錯(cuò)誤；則，則，即，故B錯(cuò)誤；則，，所以，故C正確；則，所以，故D錯(cuò)誤；故選：C3.下列函數(shù)中，同一個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出各選項(xiàng)中函數(shù)的定義域與值域，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?；?duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)，定義域?yàn)?，值域?yàn)椋粚?duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，有，可得，該函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，，故函數(shù)的值域?yàn)?；?duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋涤蛞矠?故選：D.4.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)琢磨函數(shù)圖象的特征，如函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先研究函數(shù)的奇偶性，排除選項(xiàng)BD，再通過(guò)計(jì)算確定答案.【詳解】解：設(shè)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除選項(xiàng)BD.當(dāng)時(shí)，，所以排除C，選擇A.故選：A5.已知點(diǎn)是第三象限的點(diǎn)，則的終邊位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)即可求出．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是第三象限的點(diǎn)，所以，故的終邊位于第四象限．故選：D．6.已知函數(shù)滿足，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，依題意恒成立，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.【詳解】解：因?yàn)榍?，又單調(diào)遞減，在定義域上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞減，因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以恒成立，所以，解得，即；故選：C7.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、冪函數(shù)的單調(diào)性比較即可求解.【詳解】是增函數(shù)，，是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故選：B8.已知函數(shù)，若互不相等，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出和y=m,根據(jù)有三個(gè)交點(diǎn)，判斷0<m<1，分析出的范圍.詳解】如圖示，由的圖像關(guān)于對(duì)稱，知，而由，得：，所以.故選：C【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．二、多選題9.下列各式中，值可取的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)可判斷A；由兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)可判斷BC；.由正切的兩角和的展開公式化簡(jiǎn)可判斷D.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，由得可得B正確；.，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：BD.10.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.函數(shù)的最小值為C.函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是D.若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增.【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)利用差比較法判斷；B選項(xiàng)利用換元法以及函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；C選項(xiàng)利用判別式進(jìn)行判斷；D選項(xiàng)根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.【詳解】A選項(xiàng)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，令，則，函數(shù)在區(qū)間上遞增，沒有最小值.所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，值域?yàn)?，符合題意.當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)椋项}意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，函數(shù)，定義域是，，是偶函數(shù)，在上遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，D選項(xiàng)正確.故選：ACD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 B.函數(shù)的值域是C.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 D.不等式的解集是【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，值域，對(duì)稱性，及解對(duì)數(shù)不等式，依次判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)A：令，解得或，故的定義域?yàn)?，∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；對(duì)B：∵，即的值域，∵，故函數(shù)的值域是，B正確；對(duì)C：∵，即，故函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，C正確；對(duì)D：，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可得，解得或，故不等式的解集是，D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)圖象為軸對(duì)稱圖形B.函數(shù)在單調(diào)遞減C.存在實(shí)數(shù)，使得有三個(gè)不同的解D.存在實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的不等式的解集為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、方程的解、不等式的解等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】，，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，A選項(xiàng)正確.由于函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞減，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，B選項(xiàng)正確.由上述分析可知：圖象關(guān)于直線對(duì)稱，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以不存在實(shí)數(shù)使得有三個(gè)不同的解，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.有上述分析可知：的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，令，解得，此時(shí)不等式的解集為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD三、填空題13.已知命題p：，若命題P為假命題，則實(shí)數(shù)a取值范圍是___．【答案】[0，4]【解析】【分析】命題P為假命題，則為真命題，進(jìn)而求出a的范圍.【詳解】根據(jù)題意，恒成立，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)的最小正周期為，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正切型三角函數(shù)確定最小正周期的表達(dá)式，即可求的值.【詳解】解：函數(shù)的最小正周期為，所以.故答案為：.15.已知，滿足，，，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到的值，然后由正弦的和差角公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，所以，，則故答案為:16.定義為，中的最大值，函數(shù)的最小值為，如果函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖象，將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，分析可得其最小值，即可得的值，進(jìn)而可得，由減函數(shù)的定義可得，解得的范圍，即可得答案．【詳解】由題意，在同一坐標(biāo)系下畫出的圖象，可知，且則，因?yàn)闉闇p函數(shù)，必有，解可得：，即m的取值范圍為；故答案為．四、解答題17.計(jì)算下列各式的值．（1）．（2）．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)恒等式及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)求解；（2）利用同角關(guān)系式、輔助角公式得到，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式，化簡(jiǎn)求解．【小問(wèn)1詳解】解：，，，；【小問(wèn)2詳解】，，，，，．18.已知，函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為1.（1）求的最小值；（2）解關(guān)于的不等式【答案】（1）10（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)可得，又，結(jié)合基本不等式即可求得的最小值；（2）解含參一元二次不等式不等式，由方程的兩根，，比較兩根大小，即可求得不等式的解集.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為1，得即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為10；【小問(wèn)2詳解】由整理得，因?yàn)?，方程的兩根，①?dāng)時(shí)，原不等式為，則其解集為；②當(dāng)時(shí)，則，所以不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，則，原不等式的解集為.19.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”作函數(shù)（，，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，見下表：000（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，直接寫出函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的最小正周期和在上的單調(diào)遞減區(qū)間.（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）答案見解析（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）直接利用五點(diǎn)法的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式；（2）利用（1）的結(jié)論,進(jìn)一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域,進(jìn)一步求出最大值和最小值.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)五點(diǎn)法的表格，所以所以的最小正周期令，解之得又，所以或即在上的單調(diào)遞減區(qū)間為，【小問(wèn)2詳解】由于所以所以所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的最小值為;當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的最大值為.20.設(shè)．（1）求使不等式成立的的取值集合；（2）先將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變；再向右平移個(gè)單位；最后向下平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象．若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用降冪公式和輔助角公式可得，因此等價(jià)于，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求不等式的解集.（2）根據(jù)圖象變換可得，從而原不等式可化為在，換元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍.【詳解】解：.（1）即：，所以原不等式的解集為：.（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變,得；再向右平移個(gè)單位，得；最后向下平移個(gè)單位得到函數(shù)，∴.設(shè)，由可得：，則原不等式等價(jià)于：在上恒成立；設(shè)，，則在遞增，在遞減，所以，所以．【點(diǎn)睛】形如的函數(shù)，可以利用降冪公式和輔助角公式將其化為的形式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求與相關(guān)的不等式或方程的求解問(wèn)題．另外，含的二次式的恒成立問(wèn)題，常通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為一元二次不等式在相應(yīng)范圍上的恒成立問(wèn)題.21.在新型冠狀病毒感染的肺炎治療過(guò)程中，需要某醫(yī)藥公司生產(chǎn)的某種藥品．此藥品的年固定成本為200萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件需另投入成本，當(dāng)年產(chǎn)量不足60千件時(shí)，（萬(wàn)元），當(dāng)年產(chǎn)量不小于60千件時(shí)，（萬(wàn)元）．每千件商品售價(jià)為50萬(wàn)元，在疫情期間，該公司生產(chǎn)的藥品能全部售完．（1）寫出利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；（2）該公司決定將此藥品所獲利潤(rùn)的10%用來(lái)捐贈(zèng)防疫物資，當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，在這一藥品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？此時(shí)可捐贈(zèng)多少萬(wàn)元的物資款？【答案】（1）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為80千件時(shí)所獲利潤(rùn)最大為640萬(wàn)元，此時(shí)可捐64萬(wàn)元物資款.【解析】【分析】（1）分、兩種情況討論，結(jié)合利潤(rùn)銷售收入成本，可得出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)、基本不等式可求得函數(shù)的最大值及其對(duì)應(yīng)的值，由此可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故有；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，,因?yàn)?，所以時(shí)，，答：當(dāng)產(chǎn)量為80千件時(shí)所獲利潤(rùn)最大為640萬(wàn)元，此時(shí)可捐64萬(wàn)元物資款.22.已知，函數(shù)（1）若函數(shù)過(guò)點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)1，求的取值范