2023屆江蘇省宿遷市泗陽中學高三下學期3月階段模擬測試數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意列舉法表示集合，再根據(jù)并集的運算求解即可.【詳解】解：由題，，，則.故選：D.2．當時，的值等于（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知先求出的值，然后代入化簡可得答案【詳解】解：由，得，所以故選：D3．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為A． B． C． D．【答案】B【分析】先將指數(shù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為對數(shù)結(jié)構(gòu)可得，再利用對數(shù)的性質(zhì)即可比較大小.【詳解】解：由，則，又，則有，即，故選：B.【點睛】本題考查了對數(shù)的運算，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.4．已知實數(shù)m，n滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】先通分化簡，分子分母同除以，原式化為，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】因為，則，當且僅當時取等號，此時的最大值為.故選：D.【點睛】方法點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.5．已知橢圓的短軸長為6，離心率為，，為橢圓的左右焦點，為橢圓上的動點，則面積的最大值為（

）A．9 B．12 C．15 D．20【答案】B【分析】由橢圓的性質(zhì)得出的值，再由點為橢圓的短軸的端點時，面積取最大值，求出最大面積.【詳解】由題意可知，，因為，所以，即當點為橢圓的短軸的端點時，面積取最大值，面積為故選：B6．在三棱錐中，和為等邊三角形，二面角的余弦值為，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)外接球的球心O在平面內(nèi)的射影為，在平面內(nèi)的射影為，由三棱錐的體積為求得等邊三角形的邊長，結(jié)合圖形求得，，進而求得外接球的半徑，即可求得球的體積.【詳解】如圖所示，設(shè)外接球的球心O在平面內(nèi)的射影為，在平面內(nèi)的射影為是BC中點，則二面角的平面角為，設(shè)，三棱錐的高為h，因為和是等邊三角形，則，，而，則，即，解得，則，根據(jù)正弦定理可得，則，，設(shè)，因為，則則，所以，所以外接球O的半徑，故所求外接球O的體積為.故選：A【點睛】方法點睛：求多面體的外接球的面積和體積問題，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果涉及幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心.7．已知點P（－1，0），設(shè)不垂直于x軸的直線l與拋物線y2＝2x交于不同的兩點A、B，若x軸是∠APB的角平分線，則直線l一定過點A．（，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（-2，0）【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的對稱性，分析得出直線過的頂點應該在x軸上，再設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)出兩交點的坐標，根據(jù)角分線的特征，得到所以AP、BP的斜率互為相反數(shù)，利用斜率坐標公式，結(jié)合韋達定理得到參數(shù)所滿足的條件，最后求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，直線的斜率不等于零，并且直線過的定點應該在x軸上，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消元得，設(shè)，因為x軸是∠APB的角平分線，所以AP、BP的斜率互為相反數(shù)，所以，結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系，整理得出，即，，解得，所以過定點，故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)直線過定點問題，涉及到的知識點有直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達定理，角平分線的性質(zhì)，兩點斜率坐標公式，思路清晰是正確解題的關(guān)鍵.8．如圖1四邊形與四邊形分別為正方形和等腰梯形，,沿邊將四邊形折起，使得平面平面，如圖2，動點在線段上，分別是的中點，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，表示出相應的點的坐標，利用向量夾角公式求解。【詳解】解：如圖以為坐標原點建立空間直角坐標系，由題意可得，，，，，動點在線段上，則可設(shè)，，令則則當時取最大值故選：【點睛】本題考查利用空間向量法求異面直線的夾角的余弦值，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題9．如圖為函數(shù)的導函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．是的極小值點C．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增D．是的極小值點【答案】BC【分析】根據(jù)導函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系，逐一分析選項，即可得答案.【詳解】當時，，當時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴是的極小值點，故A錯誤，B正確；當時，，在上單調(diào)遞減，∴是的極大值點，故C正確，D錯誤．故選：BC．10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最小正周期為 B．直線是圖象的一條對稱軸C． D．為奇函數(shù)【答案】ACD【分析】利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律得出，利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項；計算的值可判斷B、C選項；利用奇函數(shù)的定義可判斷D選項.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象.對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，A選項正確；對于B、C選項，，B選項錯誤，C選項正確；對于D選項，函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，D選項正確.故選：ACD.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)基本性質(zhì)的判斷，同時也考查了三角函數(shù)圖象變換，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.11．（多選）中國古代數(shù)學專著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗．禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人應分別償還升、升、升粟，1斗為10升，則（

）A．，，依次成公比為2的等比數(shù)列 B．，，依次成公比為的等比數(shù)列C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前項和公式計算后判斷．【詳解】由條件，知，，依次成公比為的等比數(shù)列，又，所以，所以．故選：BD．12．設(shè)，非零向量，，則（

）.A．若，則 B．若，則C．存在，使 D．若，則【答案】ABD【分析】A選項，驗證即可；B選項，驗證；C選項，由題可得，，據(jù)此可判斷選項正誤；D選項，由題可得，據(jù)此可判斷選項【詳解】A選項，，則，故A正確；B選項，，則，故，故B正確；C選項，假設(shè)存在，使，則，，則可得，故可得，則假設(shè)不成立，故C錯誤；D選項，因，則，又由題可得，則，故D正確.故選：ABD三、填空題13．已知是定義在上的偶函數(shù)，且，．若，則______．【答案】【分析】根據(jù)可得到，又因為故得到，又因為可得到，函數(shù)周期為8，故可得到結(jié)果.【詳解】由可得，又，所以．由可得，故，故的一個周期為8，則．故答案為：.14．在中，為上兩點且，若，則的長為_____________.【答案】【分析】分別在與中利用余弦定理表示出與，根據(jù)可得，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】由題意，在中，由余弦定理得,在中，由余弦定理得.又，即.又，.易知.在中，由余弦定理得，.故答案為:.15．的展開式中含項的系數(shù)為___________.【答案】【分析】利用乘法分配律得到，則來自于的展開式，根據(jù)二項式定理即可求解.【詳解】，的展開式中項為：，的展開式中沒有項，故的展開式中含項的系數(shù)為，故答案為：.16．等腰三角形頂角的余弦值為，則一個底角的正切值為______.【答案】【分析】首先利用倍角公式的應用求出三角函數(shù)的頂角的半角三角函數(shù)值，進一步利用切化弦思想求出結(jié)果．【詳解】設(shè)三角形的頂角為，一個底角為B則B與互余，由于等腰三角形頂角的余弦值為，所以，所以，所以，解得．則，故答案為：【點睛】本題考查的知識要點：同角三角函數(shù)的關(guān)系，二倍角的余弦公式，三角函數(shù)值的求法，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．四、解答題17．已知的內(nèi)角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大?。?2)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及兩角和的正弦公式化簡，再由特殊角的余弦值求解；（2）由正弦定理及輔助角公式可得，由三角函數(shù)求出范圍即可.【詳解】（1）由和正弦定理得，即.由得.，.又，，，即.（2）由（1）知，，.根據(jù)正弦定理得，.，.，，周長的取值范圍為.18．設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，是正項等比數(shù)列，且.在①，②，③這三個條件中任選一個，回答下列問題：(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)如果，寫出的關(guān)系式，并求的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)，【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)所選條件得到方程，求出、，即可求出通項公式；（2）由（1）可得，即可得到、的關(guān)系，從而得到，再利用分組求和法及等比數(shù)列求和公式計算可得.【詳解】（1）若選①，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，解得或（舍去），則，.若選②，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)的公比為.因為，所以，解得，所以.又因為，所以，解得，所以.若選③，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.因為，則，解得，則，.（2）因為，所以，即，即，所以.19．如圖，四棱錐的底面為矩形，平面平面，是邊長為2等邊三角形，，點為的中點，點為上一點（與點不重合）．(1)證明：；(2)當為何值時，直線與平面所成的角最大？【答案】(1)證明見解析；(2)2.【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，可得，結(jié)合條件可得，然后利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即得；（2）利用坐標法，表示出平面的法向量，利用向量夾角公式結(jié)合基本不等式即得.【詳解】（1）因為三角形是等邊三角形，且E是中點，所以，又因為平面，平面平面，平面平面，所以平面，又因為面，所以，因為，，所以，，所以，即，因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以；（2）設(shè)F是中點，以E為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，由已知得，設(shè)，則、設(shè)平面的法向量為，則，令，有，設(shè)直線與平面所成的角，所以，當且僅當時取等號，當時，直線與平面所成角最大．20．古人云:“腹有詩書氣自華.”習近平總書記倡導全民閱讀，建設(shè)書香中國.現(xiàn)在校園讀書活動熱潮正在興起，某校為統(tǒng)計學生一周課外讀書的時間，從全校學生中隨機抽取200名學生，獲得了他們一周課外讀書時間（單位:）的數(shù)據(jù)如表所示:組號分組頻數(shù)頻率140.02260.033100.0540.065140.0760.127500.258460.239340.17合計2001(1)求的值;如果按讀書時間分組，用分層抽樣的方法從這200名學生中抽取20人，再從這20人中隨機選取3人，求恰有2人一周課外讀書時間在內(nèi)的概率.(2)若將樣本頻率視為概率，從該校學生中隨機選取3人，記為一周課外讀書時間在內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望，并估計該校一周人均課外讀書的時間.【答案】(1)；讀書時間在內(nèi)的概率為；(2)分布列見解析，；該校一周人均課外讀書的時間為12.32h.【分析】（1）由頻數(shù)總數(shù)頻率可得的值；由分層抽樣可知20人中，在中的有7人，在中的有13人，據(jù)此可得答案；（2）由題可得的可能取值為0，1，2，3，且，由此可得分布列及期望；結(jié)合表格數(shù)據(jù)可估計該校一周人均課外讀書的時間.【詳解】（1）由頻數(shù)總數(shù)頻率可得.由題意知，從樣本中抽取20人，抽取比例為，所以從三組中抽取的人數(shù)分別為2，5，13，從這20人中隨機抽取3人，恰有2人一周課外讀書時間在內(nèi)的概率.（2）由題意得，總?cè)藬?shù)為200，一周課外讀書時間在內(nèi)的人數(shù)為130，因此從該校任取1人，一周課外讀書時間落在區(qū)間內(nèi)的概率是.的可能取值為0，1，2，3，且，所以，所以的分布列為0123數(shù)學期望.該校一周人均課外讀書時間的估計值為.21．在平面直角坐標系中，已知雙曲線的離心率為，直線與雙曲線C交于兩點，點在雙曲線C上.(1)求線段中點的坐標;(2)若，過點D作斜率為的直線與直線交于點P，與直線交于點Q，若點滿足，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由離心率為，可得雙曲線C的方程為，后將與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理可得答案；（2）結(jié)合（1），由題可得直線的方程為，，R為外心，設(shè)，通過聯(lián)立OP，OQ中垂線方程可得，通過聯(lián)立與及可得，.則，由此結(jié)合可得答案.【詳解】（1）依題意，雙曲線C的離心率，則，故雙曲線C的方程為，聯(lián)立，得，且，設(shè)，則，設(shè)線段的中點為，故，將代入直線，得，故線段的中點坐標為；（2）依題意，，則雙曲線C的方程為，直線，又點在雙曲線C上，所以，故直線的方程為，由題可知，點均不重合，由易知為的外心，設(shè)，則，即，即，線段的垂直平分線的方程為，線段的垂直平分線的方程為，聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，同理可得，故，故，即，則.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及直線與雙曲線方程的綜合運用，難度較大.（1）雖然雙曲線方程帶有參數(shù)，但聯(lián)立雙曲線與直線方程后可發(fā)現(xiàn)，據(jù)此可得答案；（2）關(guān)鍵為從中得到為外心，從而得到m，n表達式.22．已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的極值點；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)是的極大值點，無極小值點(2)【分析】（1）首先利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再確定函數(shù)的極值點；（2）解法一，首先