第十二章動能定理詳解演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有48頁\編輯于星期二優(yōu)選第十二章動能定理現(xiàn)在是2頁\一共有48頁\編輯于星期二力在全路程上作的功等于元功之和：寫成矢量點乘形式：有n個力時，合力為FR：合力在某一路程上作的功等于各分力作功的代數(shù)和現(xiàn)在是3頁\一共有48頁\編輯于星期二幾種常見力所作的功1.重力的功質(zhì)點沿軌道由M1運動到M2，重力P=mg，在直角坐標(biāo)軸上的投影為：X=0,Y=0,Z=-mg重力作功為：重力作功僅與質(zhì)點開始和末了位置的高度差有關(guān)，與運動軌跡的形狀無關(guān)。對于質(zhì)點系，質(zhì)點的質(zhì)量為mi，始末高度差為(Z1i－Z2i)，全部重力作功之和為：由質(zhì)心坐標(biāo)公式：取決于質(zhì)心始末高度差，與路程無關(guān)。質(zhì)心下降作正功，上移作負(fù)功。現(xiàn)在是4頁\一共有48頁\編輯于星期二彈性力F的大小與彈簧變形成正比：，方向與變形方向相反彈性力是變力（大小、方向）稱為彈簧的剛性系數(shù)，單位為N/m或N/mm。物體受到彈性力的作用，作用點A的軌跡如圖曲線A1A2。力的方向總是指向自然位置（彈簧未變形時端點的位置A0）。flash2.彈性力的功現(xiàn)在是5頁\一共有48頁\編輯于星期二彈性力為：設(shè)彈簧原長為l0，沿矢徑方向單位矢r0。彈性力作功為：元功：即：—計算彈性力作功的普遍公式彈性力作的功只與彈簧在初始和末了位置的變形量δ有關(guān)，與作用點A的軌跡形狀無關(guān)?，F(xiàn)在是6頁\一共有48頁\編輯于星期二力F與力作用點A處的軌跡切線之間的夾角為θ，則力F在切線上的投影為：法向、軸向無位移，不作功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)角φ與弧長s的關(guān)系為：R——力作用點A到軸的垂距力F的元功：力偶所作的功仍可用上式計算力F作的功：3.定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功現(xiàn)在是7頁\一共有48頁\編輯于星期二有多個力作用。取剛體的質(zhì)心C為基點，當(dāng)剛體有無限小位移時，任一力Fi作用點Mi的位移為：力Fi在點Mi位移上所作元功：如剛體無限小轉(zhuǎn)角d，則轉(zhuǎn)動位移，大小為：全部力所作元功：力系作功為：F’R為力系主矢，Mc為力系對質(zhì)心的主矩。力系的功為：力系向質(zhì)心簡化所得的主矢和主矩作功之和。=4.平面運動剛體上力系的功現(xiàn)在是8頁\一共有48頁\編輯于星期二作為阻力的摩擦力的方向與作用點位移相反，滑動摩擦阻力作負(fù)功。當(dāng)作用點沒有位移時，不作功只滾不滑，接觸點為速度瞬心，V=0，不作功。滾動摩阻的功可按力偶作功計。5.摩擦力的功現(xiàn)在是9頁\一共有48頁\編輯于星期二例：A、B質(zhì)量分別為m1和m2，繩質(zhì)量不計。質(zhì)量mo、半徑r的圓盤上作用一力偶，力偶矩M=4（隨變化）。求圓盤轉(zhuǎn)動一圈時力偶與重力作功總和。解：力偶作功：重力mog不作功m1g的功：m2g的功：總功：現(xiàn)在是10頁\一共有48頁\編輯于星期二例：繞線輪沿斜面作平面運動，其上受主動力矩M、重力P、繩拉力T、摩擦力F及支反力N。求輪心C沿斜面上升S路程時力系的總功。解：可以利用主矢、主矩作功求和；也可分別計算求和：

力系作的功等于各力的功的代數(shù)和。分別計算，設(shè)輪走了S時轉(zhuǎn)了M：M*=M*S/RP：-PsinSF、N不作功T：既有位移，又有轉(zhuǎn)動效應(yīng)－TsinS－T·r·=－TsinS－TrS/RW=MS/R-PsinS-TsinS-TrS/R=[M/R-Psin-(r/R+sin)T]S現(xiàn)在是11頁\一共有48頁\編輯于星期二1.質(zhì)點的動能設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m、速度為v，則質(zhì)點的動能為：動能是標(biāo)量，恒取正值。動能的量綱為：動能的單位：焦耳2.質(zhì)點系的動能質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點動能的算術(shù)和為質(zhì)點系的動能：(1)平移剛體的動能剛體平移，各點的速度都相同，以質(zhì)心速度為代表，得平移剛體的動能為：12-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能現(xiàn)在是12頁\一共有48頁\編輯于星期二(2)定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能剛體繞定軸z轉(zhuǎn)動，其中任一點mi的速度為：繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體的動能為:繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能，等于剛體對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度平方乘積的一半?，F(xiàn)在是13頁\一共有48頁\編輯于星期二(3)平面運動剛體的動能取剛體質(zhì)心C所在的平面圖形，點p是某瞬時的瞬心，ω是平面圖形轉(zhuǎn)動的角速度。平面運動剛體的動能為：等于隨質(zhì)心平移的動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能的和?！獎傮w對于瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量現(xiàn)在是14頁\一共有48頁\編輯于星期二例：均質(zhì)圓柱體作純滾動，已知質(zhì)量m、質(zhì)心速度Vc及半徑R。求動能。解：圓拄體作平面運動：或看成繞瞬心P的瞬時轉(zhuǎn)動：現(xiàn)在是15頁\一共有48頁\編輯于星期二例：長為l質(zhì)量為m的均質(zhì)桿OA以等角速度繞鉛直線轉(zhuǎn)動，桿與鉛直線的交角為。求桿的動能。解：桿定軸轉(zhuǎn)動：求OA對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，取微元，微元的轉(zhuǎn)動慣量為：桿的動能為：現(xiàn)在是16頁\一共有48頁\編輯于星期二合力在某一路程上作的功等于各分力作功的代數(shù)和1.重力的功2.彈性力的功3.定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功4.平面運動剛體上力系的功功為力系向質(zhì)心簡化所得的主矢和主矩作功之和5.摩擦力的功作為阻力的滑動摩擦力作負(fù)功當(dāng)作用點沒有位移時，不作功在dr位移中力作的功稱元功，記為：力在全路程上作的功等于元功之和：現(xiàn)在是17頁\一共有48頁\編輯于星期二1.質(zhì)點的動能2.質(zhì)點系的動能(1)平移剛體的動能：(2)定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能：(3)平面運動剛體的動能：動能，等于隨質(zhì)心平移的動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能的和現(xiàn)在是18頁\一共有48頁\編輯于星期二例：鼓輪質(zhì)量為m，對其質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量為J。在平行于斜面的F力的作用下沿斜面向上純滾動。已知輪心C的速度為V。求：(1)輪子的動量；(2)輪子對A點的動量矩；(3)輪子的動能；(4)輪子移動距離為S時所有力作的功；(5)所有力的功率。解:(1)沿斜坡向上的動量：或(2)對A點的動量矩：(3)動能：(4)所有力作的功：FsmgFN(5)所有力的功率：現(xiàn)在是19頁\一共有48頁\編輯于星期二12-3動能定理1.質(zhì)點的動能定理定理建立質(zhì)點的動能與作用力的功的關(guān)系，質(zhì)點的運動微分方程的矢量形式：質(zhì)點動能定理的微分形式：即：質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上力的元功。積分得：質(zhì)點動能定理的積分形式：

在質(zhì)點運動的某個過程中，質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功。力作正功，動能增加；力作負(fù)功，動能減小?，F(xiàn)在是20頁\一共有48頁\編輯于星期二質(zhì)點系內(nèi)任一質(zhì)點，質(zhì)量為mi，速度為vi，作用在該質(zhì)點上的力Fi。n個質(zhì)點：質(zhì)點系的動能，以T表示。質(zhì)點系動能定理的微分形式：質(zhì)點系動能的增量，等于作用于質(zhì)點系全部力所作的元功之和。根據(jù)質(zhì)點的動能定理的微分形式，有：2.質(zhì)點系的動能定理現(xiàn)在是21頁\一共有48頁\編輯于星期二積分得：質(zhì)點系動能定理的積分形式：質(zhì)點系在某一段運動過程中，起點和終點的動能的改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所作的功的和。現(xiàn)在是22頁\一共有48頁\編輯于星期二分析力作的功：(1)力與位移方向垂直，不作功；(2)作用點無位移不作功。理想約束：約束反力作功等于零的約束。在理想約束條件下，質(zhì)點系動能的改變只與主動力作功有關(guān)。

光滑鉸鏈、剛體二力桿以及不可伸長的細(xì)繩等作為系統(tǒng)內(nèi)的約束時，其中單個的約束反力不一定不作功，但一對約束反力作功之和等于零，是理想約束。3.理想約束現(xiàn)在是23頁\一共有48頁\編輯于星期二注意：作用于質(zhì)點系的力既有外力，也有內(nèi)力，在某些情形下，內(nèi)力雖然等值反向，但所作功的和并不等于零。距離變化剛體所有內(nèi)力作功的和等于零現(xiàn)在是24頁\一共有48頁\編輯于星期二例12-5：卷揚機(jī)將圓柱體沿斜坡上拉，只滾不滑。已知、M，鼓輪半徑R1，質(zhì)量m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱半徑為R2，質(zhì)量m2，均勻分布。系統(tǒng)開始靜止。求圓柱中心C經(jīng)過路程S時的速度。解：力的功，F(xiàn)ox、Foy、m1g、FN、Ff及內(nèi)力不作功，只有M、m2g作功。動能：T1=0，T2包括鼓輪和圓柱體鼓輪動能：圓柱體的動能：現(xiàn)在是25頁\一共有48頁\編輯于星期二故：有又：得：由：另：即：現(xiàn)在是26頁\一共有48頁\編輯于星期二12-4功率、功率方程、機(jī)械效率1.功率功率(P)：單位時間力所作的功。功率等于切向力與力作用點速度的乘積。作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為：轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率等于該力對轉(zhuǎn)軸的矩與角速度的乘積單位：瓦（W）、千瓦（kW）而：現(xiàn)在是27頁\一共有48頁\編輯于星期二質(zhì)點系動能定理的微分形式，兩端除以dt，得：稱為：功率方程即質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。功率方程常用來研究機(jī)器在工作時能量的變化和轉(zhuǎn)化的問題系統(tǒng)的輸入功率等于有用功率、無用功率和系統(tǒng)動能的變化率的和。動能不變時：2.功率方程現(xiàn)在是28頁\一共有48頁\編輯于星期二機(jī)器需輸入功率，同時一些機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能、聲能將消耗部分功率。有效功率與輸入功率的比值稱為機(jī)械效率：有效功率/輸入功率有效功率=輸入功率的有效利用程度是評定質(zhì)量的指標(biāo)之一=1·2·3··n3.機(jī)械效率現(xiàn)在是29頁\一共有48頁\編輯于星期二12-5勢力場、勢能、機(jī)械能守恒定律物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向由所在位置確定的力，則這空間稱為力場。如：重力場、太陽引力場……物體在某力場內(nèi)運動，作用于物體的力作的功只與力作用點的初始和終了位置有關(guān)，與該點的軌跡無關(guān)，這種力場稱為勢力場，或保守力場。勢力場中，物體受到的力稱有勢力或保守力。

重力、彈性力、萬有引力都是有勢力如：重力場、彈性力場、萬有引力場都是勢力場1.勢力場力場勢力場現(xiàn)在是30頁\一共有48頁\編輯于星期二物體從高處到低處，重力作功使物體動能增加下落高度不同，重力所作的功也不同在勢力場中，質(zhì)點從點M運動到任選點M0，有勢力所作的功稱為質(zhì)點在點M相對于點M0的勢能。以V表示：點M0的勢能等于零，稱為零勢能點。在勢力場中，勢能的大小是相對于零勢能點的。2.勢能現(xiàn)在是31頁\一共有48頁\編輯于星期二幾種常見的勢能：(1)重力場中的勢能重力p在各軸上的投影為：取零勢能點M0，則點M的勢能為(2)彈性力場中的勢能設(shè)彈簧的一端固定，另一端與物體連接，彈簧的剛性系數(shù)為k。取點M0為零勢能點，則質(zhì)點的勢能：和0分別為彈簧端點在M和M0時彈簧的變形量。如取彈簧自然位置為零勢能點，則有0=0，得：現(xiàn)在是32頁\一共有48頁\編輯于星期二(3)萬有引力場的勢能設(shè)質(zhì)量為M1的質(zhì)點受質(zhì)量為M2物體的萬有引力F作用，取點A0為零勢能點，則質(zhì)點在點A勢能：f為引力常數(shù)，r0是質(zhì)點的矢徑方向的單位矢量，r0·dr為矢徑增量dr在矢徑方向的投影。設(shè)r1是零勢能點的矢徑，則：如選取的零勢能點在無窮遠(yuǎn)處，則：萬有引力作功只決定于質(zhì)點運動的初始和終了位置，與點的軌跡無關(guān)，萬有引力場是勢力場。現(xiàn)在是33頁\一共有48頁\編輯于星期二質(zhì)點系有多個質(zhì)點，受多個有勢力作用，各有零勢能點。質(zhì)點系零勢能位置，為各質(zhì)點都處于其零勢能點的位置。質(zhì)點系從某位置到其零勢能位置運動過程中各有勢力作功的代數(shù)和，為此質(zhì)點系在該位置的勢能。

質(zhì)點系重力勢能：取各點坐標(biāo)為z10、z20、…、zn0為零勢能位置，則各點坐標(biāo)z1、z2、…、zn時的勢能：V=mig(zi－zio)=g(mizi－mizio)=g(mzc－mzco)=mg(zc－zco)zc,zco為質(zhì)心在原位置和零勢能位置的坐標(biāo)，對不同的零勢能位置，系統(tǒng)的勢能不同。常見的重力彈力系統(tǒng)，取平衡位置為零勢能位置比較方便。現(xiàn)在是34頁\一共有48頁\編輯于星期二質(zhì)點在勢力場中運動，有勢力的功可通過勢能計算。W12=V1－V2有勢力作的功，等于質(zhì)點系在運動過程的初始與終了位置的勢能的差多個有勢力情況，各有勢力作功的代數(shù)和等于始末位置的勢能差W10=W12+W20W10=V1,W20=V2現(xiàn)在是35頁\一共有48頁\編輯于星期二3.機(jī)械能守恒定律機(jī)械能：質(zhì)點系在某瞬時的動能與勢能的代數(shù)和。設(shè)質(zhì)點系在運動過程初始和終了瞬時的動能分別為T1和T2，所受力在這過程中所作的功為W12，根據(jù)動能定理：如系統(tǒng)運動中只有有勢力作功，而有勢力的功可用勢能計算：質(zhì)點系僅在有勢力的作用運動時，其機(jī)械能保持不變。質(zhì)點系稱為保守系統(tǒng)還受非保守力為非保守系統(tǒng)，非保守系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒。設(shè)保守力作功為W12，非保守力所作的功為W12’，由動能定理：W12’是負(fù)功時，系統(tǒng)對外界作功；W12’是正功時，外界對系統(tǒng)輸入能量。機(jī)械能的變化就是非保守力作的功現(xiàn)在是36頁\一共有48頁\編輯于星期二例：均質(zhì)圓柱重P，半徑R，繞線繩一端固定，從靜止開始運動。求圓柱中心C下落h時的速度和加速度。解：T不作功，機(jī)械能守恒，。取h處為零勢能位置，則有：代入，則有：現(xiàn)在是37頁\一共有48頁\編輯于星期二動能定理質(zhì)點系動能的增量，等于作用于質(zhì)點系全部力所作的元功之和。質(zhì)點系在某一段運動過程中，起點和終點的動能的改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所作的功的和。理想約束：約束反力作功等于零的約束。功率：作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為：功率方程：現(xiàn)在是38頁\一共有48頁\編輯于星期二機(jī)械效率：物體在勢力場中某位置的勢能，等于有勢力從該位置到一任選的零勢能位置所作的功。有勢力的功只與物體運動的起點和終點的位置有關(guān)，而與物體內(nèi)各點軌跡的形狀無關(guān)。若以自然位置為零勢能點，則：重力場中的勢能：彈性力場中的勢能：有勢力的功可通過勢能的差來計算：萬有引力場中的勢能：若以無限遠(yuǎn)處為零勢能點，則：機(jī)械能=動能+勢能=T+V機(jī)械能守恒定律：如質(zhì)點或質(zhì)點系只在有勢力作用下運動，則機(jī)械能保持不變，即現(xiàn)在是39頁\一共有48頁\編輯于星期二例：已知半徑為R的輪A、B質(zhì)量均為m，兩輪視為均質(zhì)圓盤，輪B質(zhì)心在某瞬時的速度為v，繩重量忽略不計。求：(1)系統(tǒng)的動量；(2)系統(tǒng)對A軸的動量矩；(3)系統(tǒng)的動能；(4)當(dāng)輪B質(zhì)心移動距離為S時系統(tǒng)所有力作的功；(5)系統(tǒng)所有力的功率。(1)(2)(3)(4)(5)解：現(xiàn)在是40頁\一共有48頁\編輯于星期二13-6普遍定理綜合運用舉例例：滑輪組成的提升機(jī)構(gòu)，滑輪A、B均為均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為m1和m2，半徑為R和r，R=2r，重物質(zhì)量m3。已知主動力偶矩M。求上升中軸承對A的反力。解：動能和動量矩定理中不出現(xiàn)NX、NY，需用動量定理；計算動量需知速度，可用動能定理或動量矩定理求得。求約束反力，用動量定理系統(tǒng)的動量：由動量定理，知：可見還需求S，如下需要分析A現(xiàn)在是41頁\一共有48頁\編輯于星期二分析A動量矩：外力矩：分析B質(zhì)心運動定理：又：得：由此得：現(xiàn)在是42頁\一共有48頁\編輯于星期二動量矩定理：有：得：解法一：用“動量矩”定理求aD，對A點的動量矩外力對A的矩：加速度的求解現(xiàn)在是43頁\一共有48頁