競賽專講－幾個要理《定理》正弦定理△ABC中接圓半徑為R證明概要如圖1-1，圖1-2過B作徑BA'，則∠∠A，∠BCA'=90°故即；同可得當(dāng)∠A為鈍角時，可考慮其補(bǔ)角π-A.當(dāng)∠A為角時，∵sinA=1，無論哪種情況正弦定理成立?！抖ɡ怼酚嘞叶ɡ怼鰽BC中有關(guān)系a=b+c-2bccosA；（*）b=c+a-2cacosB；c=a+b-2abcosC；有時也用它的等價形式a=ccosB+bcosC；b=acosC+ccosA；（**）c=acosB+bcosA.證明簡介余弦定理的證法很多，下面介紹一種復(fù)數(shù)證法如圖建立復(fù)平面，則有（bcosA-c）+(bsin

即a=b+c-2bccosA，同可證*）中另外兩式；至*式，由圖3顯?！独怼纺?Menelaus)勞斯定（氏）線截△的BC，CA，AB或延長線于D、E、F.

則

本題可以添加平行線來證明，也可不添輔助線，僅用正弦定理來證明。

在△FBD、eq\o\ac(△,、)△AEF中由弦定理，分別有

《定理》塞瓦定理Ceva)（瓦點）設(shè)O是ABC內(nèi)任一點AB、CO別交對邊于D，則證法簡介（Ⅰ）本題可利用梅內(nèi)勞斯定理證明：（Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明同理④⑤③×④×⑤得《定理》塞瓦定理逆定理在△三所在直線BC、CA、AB上取一點D、E、F若則AD、BE、CE平行共點。證法簡介（Ⅰ）若AD∥BE如圖畫5-1）則

CE代入已知式：

AFAF于DCBDFB

，故AD∥CF，從而AD∥BE∥CF（Ⅱ若AD交于（圖5-2連交AB于’.據(jù)塞瓦定理，可得BDCE而已知DCEAFFB可見

AFAF則FFBFBAF即《定理6》斯特瓦爾特定理

即F，可見命題成立

在△中若D是BC上點且BD=p，AB=cAC=b，證簡：在ABD和△ABC中由弦理得《定理7》托勒密Ptolemy)定理的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓

四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積AB?CDBC??

的充要條件是

共圓《定理》、西姆松(Simson)定理（西姆松線）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上△ABC的邊BC、AB上有點，則AP、BQ、CR共點的充要條件是

BPCQPCRB

。例題：1．設(shè)AD是的BC上中線，直線CF交AD于。求證：

AE2

。【分析】截ABD→

AEBFFA

（梅氏定理）【評注】也可以添加輔助線證明：過、B之一作的平線2、過△的重心G的線分別交AB、AC于E，交CB于。

例1例2

求證：?！痉治觥窟B結(jié)并延長AG交BC于，則的中。DEG截eq\o\ac(△,→)ABM定理）

（梅氏

DGF截△ACM→

（梅氏定理）∴

【注梅定、E、F分別△ABC的、AB邊上，交eq\o\ac(△,成)。求

eq\o\ac(△,。)LMN【析梅定．以ABC各邊為邊外相的腰BCE、△CAFeq\o\ac(△,、)ABG求：、BF、CG交于點

【分析】塞瓦定理5．已△中∠B=2∠C。證AC=AB2+AB·BC?！疚隼斩ㄟ^ABC的平線eq\o\ac(△,交)ABC的接于D連CD=DA=AB，。由勒定，AC·BD=AD·BC+CD·AB。6．已正七邊形AAAAAA求證：【分析】托勒密定理

。過外一點作的兩條切線和一條割線點為B.所割線交圓于D兩在P,D之間在弦CD上取一點Q,使DBQPAC

.

求證：．的BC上高AD的長交接于P，PE⊥AB于E，長ED交延線于。證BC·EF=BF·CE+BE·CF?！疚鑫魉衫砦魉桑?/p>

．正六形的對角AC、CE分被分M、N分成比為AM：AC=CN：CE=k，且BN共求）【析面法例1如，

ABC內(nèi)一AGBG，CG的延線別對于D，，F(xiàn)

，

，

BGD的面分為40，30，。

ABC的面積

CE

GDA

30FB例2，已ACCE是六行ABCDEF兩對角，MN分別分AC，CE且使

AMkAC

。果B，M，N三共，求的值變，知AC，是正邊ABCDEF的兩對線點MN分別內(nèi)AC，CE且

AMCN求證，M，N三共。AC3例，如圖，過ABC的三個頂點AB，作的外接圓的切線，分別和BCCA，AB的延長線交于，QR。求證P，，三共線。A

B

例。設(shè)，分別是的內(nèi)角平分線，中線和高，且AC=b,AB=c,求AFBE，CD線共點的充要條件是cosA=

(b)

，

ADBADB例，在凸四邊形ABCD，，E和分別是邊CD上點，且滿足

CAE求證：ACBE，DF線共點。變式：在四邊形ABCD，對角線AC平分BAD。CD上取一點EBE與AC相于G延長DGBC于F。求證：EAC。一、

圓外一點P作的兩條切線和一條割線，切點為B.所割線交圓于C,D兩點，C在P,之在弦上一點Q,使PBC.

求證：

.{明}圖ADQ和ABC中∠ABC∠∠PBC=∠CAB，故ADQ△，有BCAB……（分

AB

，即又由切割線定理知△∽△PAD，故同理由∽PBD得

PAAD

；BCPB

…………………分）AC又因，故，得

AB

……30分又由關(guān)于圓內(nèi)接四邊形的托勒密定理知

AC

于是得

DQ，故2即DQ…（分）在△與中

CQ,BCQBADABBCBC

，于是△∽△，

CBQABD

，即得

………………(50分二．如圖⊿ABC中O為外三條高AD、CF交于，直線ED和AB交點M，F(xiàn)D和AC交點N。求證）OBDF，OC⊥DE⊥MN。證明：(1)、、、四共圓∴BDF＝∠又＝

(180－∠)°－∠∴OB⊥DF．

(2)∵CF⊥∴MC－＝－2①∵BE⊥∴NB2

－

＝2

－

②∵⊥∴