1上頁下頁返回§5

二次型及其標準形一、二次型的基本概念在平面解析幾何中，對于中心在原點的二次曲線ax2+bxy+cy2=d

(1)把方程（1）化為標準形作變換(2)(3)(1),(3)式左邊都是二次齊次多項式,稱為二次齊式.2定義1:若aij∈R,(i,j=1,2,…,n;j≥i),則含有n個變量x1,x2,…,xn的二次齊次函數(shù)(4)稱為實二次型.取aij

=aji,則2aijxixj=aijxixj+ajixjxi,(5)上頁下頁返回3(5)式用矩陣可表示為上頁下頁返回4記則二次型可記為(6)其中A為對稱矩陣（aij

=aji）上頁下頁返回5即二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系.稱對稱矩陣A為二次型f的矩陣

.也把f稱為對稱矩陣A的二次型.對稱矩陣A的秩稱為二次型f的秩.

當系數(shù)aij為復(fù)數(shù)時，f稱為復(fù)二次型;上頁下頁返回任給一個二次型f,就唯一地確定一個對稱矩陣A;反之,任給一個對稱矩陣A,也可唯一地確定一個二次型f.

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例1:將下面的二次型化為矩陣形式.

解:

上頁下頁返回7二、二次型的標準形問題:尋求一個可逆線性變換x=Cy

(7)能使二次型只含平方項,即上頁下頁返回即8定義2:

只含平方項的二次型(8)稱為二次型的標準形(或法式).

此時二次型的矩陣Λ是對角形的.上頁下頁返回=yTΛy

(8)若標準型的系數(shù)只在三個數(shù)中取值,即稱上式為二次型的規(guī)范型.9定義3:設(shè)A,B為n階方陣，若存在可逆陣C，使則稱A與B合同，其中C稱為合同因子陣.定理2:任一n元二次型經(jīng)可逆變換后變?yōu)樾露涡托途仃嘊與A合同.且兩個二次上頁下頁返回將(7)代入(6),有10定理3:合同矩陣有相同的秩.注:

由上節(jié)定理4知,對任一實對稱矩陣A,總存在正交矩陣C，使為對角陣，即實對稱矩陣總合同于對角陣.也就是說任何一個實二次型

都可經(jīng)可逆變換化為標準形.上頁下頁返回11上頁下頁返回三、正交變換法化二次型為標準型要將二次型經(jīng)可逆變換x=Cy化為標準形,即使已知二次型的標準形所對應(yīng)的矩陣是對角陣.因此化二次型為標準形的問題就成為尋找可逆矩陣C，使

為對角陣.由上節(jié)定理4知,對于實對稱矩陣A,總有為對角陣.

正交矩陣P,使

12上頁下頁返回定理4(主軸定理):總有正交變換使f化為標準形其中是f的矩陣A的特征值.任給實二次型推論：任給n元二次型總有可逆變換使為規(guī)范型.13上頁下頁返回例2:

求一個正交變換

把二次型解:二次型的矩陣為A的特征多項式為化為標準形.14上頁下頁返回由得對應(yīng)于得特征向量對應(yīng)于得特征向量對應(yīng)于得特征向量15上頁下頁返回單位化，得使16上頁下頁返回即得正交變換使17上頁下頁返回例3:

用正交變換將二次型

化為標準形.解:二次型的矩陣為A的特征多項式為18上頁下頁返回可得A的特征值為對應(yīng)于可得三個線性無關(guān)的特征向量為對其先正交化.取19上頁下頁返回對應(yīng)于可得特征向量為的三個單位正交向量再單位化,即得A的對應(yīng)于特征值20上頁下頁返回單位化后即得A的對應(yīng)于特征值的單位特征向量即得正交變換二次型的標準型為21上頁下頁返回§6用配方法化二次型為標準形設(shè)二次型至少含有一個交叉相乘項.1.同時含有和的情形:例1:把二次型化為標準形，并求所用變換矩陣.解:

f中含有平方項及交叉項(拉格朗日配方法)

22上頁下頁返回23上頁下頁返回取線性變換即即x=Cy,則得f的標準形所用變換矩陣為24上頁下頁返回2．不含平方項只含交叉項此時二次型中沒有平方項，必須要配出平方項才能化f為標準形.若可作線性變換使f化為含平方項的二次型，用再例1的方法解.解決這類問題的方法是：

25上頁下頁返回例2:

化二次型

為標準形,并求變換矩陣.解:

令代入f，得26上頁下頁返回令則已知所以27上頁下頁返回即故28上頁下頁返回5.3.2初等變換法

已知實二次型與實對稱矩陣一一對應(yīng)，而實對稱陣又都合同于對角陣，即存在可逆陣P，使

(1)由于其中Pi(i=1,2,…,m)為初等陣.由(1)有又(2)29上頁下頁返回即由此即得此方法稱為化二次型為標準形的初等變換法或合同變換法.

注:

用初等變換法化二次型為標準型的時,在矩陣中對A做了一次行變換后,必須對做了一次完全相同