1313e1=(2,-3),e2=(-,-?專題--平面向量向向量的相關(guān)概念、向量的線性運(yùn)算二?向量的表示方法：1?幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2?符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如a,b,C等；3坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a=xi+yj=(x，y),稱(x，y)為向量a的坐標(biāo)，a=(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三.平面向量的基本定理：如果e和e是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線12向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九、x，12使a二xe+xe。女口1122(1 )若a=(1，1)b= (1,-1),c=(-1,2)， 貝V c= (答：1a-3b);2—>—?(2)下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A?e=(0,0),e=(1,-2) B?e=(-1，2),e=(5,7)1212c?一e=13,5),e=(6,10)一 一D?12(答：B);(3)已知AD,BE分別是AABC的邊BC,AC上的中線，且AD=a,BE=b,貝VBC可用向量a,b表示為 (答：—a+-b);3（4）已知AABC中，點(diǎn)d在BC邊上，且CD=2DB,CD=r~AB+sAC , 貝V r+s 的值是（答：0）四.實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)九與向量a的積是一個(gè)向量，記作九a,它的長度和方向規(guī)定如下：（1）卜a卜悶（2）當(dāng)九>0時(shí)，九a的方向與a的方向相同，當(dāng)九〈0時(shí)，九a的方向與a的方向相反，當(dāng)九=TOC\o"1-5"\h\z0時(shí)，九a=0,注意：九a工0。五?平面向量的數(shù)量積：—? —A兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量a,b，作OA二a,OB二b,ZAOB=0（0<0<兀）稱為向量a,b的夾角，當(dāng)0=0時(shí)，a,b同向，當(dāng)0=兀時(shí)，a,b反向，當(dāng)0=—時(shí)，a,b垂直。2平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量a,b,它們的夾角為0,我們把數(shù)量IaIIbIcos0叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作:a?b，即a?b=abcos0。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如（1） △ABC中，IAAB1=3,IACI=4,I麗1=5，則AB-BC= （答：一9）；（2） 已知a=（1丄）,b=（0,-）,c=a+kb,d=a-b,c與d的夾角為叟,2 4則k等于—（答：1）;—? —? —?—?—?>—?—?_（3）已知悶=2,b=5,ab=-3，貝U|a+b\等于 （答:莎）;—? —> —?—? —?—?（4）已知a,b是兩個(gè)非零向量，且a=b=|a-，則a與a+b的夾角為 （答：30）-?-?————b在a上的投影為IbIcos0，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如

已知丨aI二3,ibI二5，且方?方二12，則向量方在向量方上的投影為（答：12）54?a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的模IaI與b在a上的投影的積。5?向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，其夾角為6，貝I」：a丄boa?b=0；當(dāng)a,b同向時(shí)，a?b=ab,特另I」地，a2=a?a=a2,a=da2；—A —> —A —A■*■*■*當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b=—ab；當(dāng)6為銳角時(shí)，a?b>0,且a、b不同向，a?b>0是6為銳角的必要非充分條件；當(dāng)6為鈍角時(shí),a?―?―? —>―?③非零向量ab夾角6的計(jì)算公式：cos6④Ia?bI<IaIIbI。b<0,且a③非零向量ab夾角6的計(jì)算公式：cos6④Ia?bI<IaIIbI。（1） 已知a=（九,2九）,b=（3九,2）,如果a與方的夾角為銳角，則九的取值范圍是 （答：X<——或九〉0且九北丄）；3（2） 已知AOFQ的面積為S，且前?砲=1，若上<S<=，則22亦,F0夾角6的取值范圍是 （答:（4,3））；3六.向量的運(yùn)算：1?幾何運(yùn)算：①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法a+b=AB+BC=AC；則”：設(shè)AB=a,BCa+b=AB+BC=AC；向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)AB=a,AC=b,那么a-b=AB-AC=CA，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如 ?—??—? —?—????TOC\o"1-5"\h\z化簡：①AB+BC+CD=___；②AB—AD—DC= ；③(AB-CD)-(AC-BD)二 (答飛A—②CB‘③0)；若正方形ABCD的邊長為1,AB=a,BC=b,AC=c，則 . ? ―?a+b+cI= (答：2^2)； A ? —? ?(3)若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足—?—?—?OB—OC=OB+OC—2OA,貝I」ABC的形狀為 △(答：直角三角形)；△(4)若D為AABC的邊BC的中點(diǎn)，AABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足PA+BP+CP=0,設(shè)=九,則九的值為—TOC\o"1-5"\h\zIPDI —(答：2)； 一(5)若點(diǎn)O是△ABC的外心，且OA+OB+CO=0，則△ABC的內(nèi)角C為 (答：120); > > >—>2.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=(x,y),b=(x,y)，則:1122①向量的加減法運(yùn)算：a士b=(x士x,y±y)。如1212已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個(gè)力F二(3,4),F二(2,—5),F二(3,1)，則合力123F二F+F+F1 2 3的 終點(diǎn)坐標(biāo)是(答：(9,1)) > > > >實(shí)數(shù)與向量的積：九a=X(x,y)=(九x,九y)。1111若A(x,y),B(x,y)，則AB=(x—x,y—y)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如1122-2121標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)A(2,3),B(-1,5)，且AC=1AB,AD二3AB，則C、D的坐標(biāo)分別是 (答：(1,y),(-7,9))；平面向量數(shù)量積：a?b=xx+yy。1212向量的模：Ial=p'x2+y2,a2=1a|2=x2+y2。如Ca)?b=九C?b)=a?Cb)；3 ?分配律：(九+p)a=Xa+pa,九C+b)=Xa+九bC+b)?c=a?c+b?c。已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60，那么丨a+3bI= F列命題中：①a-（方一（?）=方?方一方；②a-（方?<?）=（方?方）?（?；③(答:后);—?—? >—>⑥兩點(diǎn)間的距離：若A(x,y),B(x,y),則1122IABI=(x~—x)2+(y~—y)2。2121（方一方）2=|方|2—2IaI?IbI+1bI2；④若a?b=0,貝I」a=0或b=0；⑤若a?b=c?b,2=a2;⑦ =—;⑧(a?b)2=a2?b2;⑨a2a七?向量的運(yùn)算律七?向量的運(yùn)算律:（a—b）2=a2—2a-b+b2。其中正確的是 （答：①⑥⑨）1?交換律：a+b=b+a,九=(九卩)a,a?b=b?a；提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)2?結(jié)合律:a+b+c=+b)+c,a—b—c=a—(+c)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊————)。如4AB-AC一不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(b?c)豐(a?b)c，為什么？八?向量平行(共線)的充要條件：a//boa=Xbo(a-b)2=(IaIIbl)2oxy—yx=0o如1212TOC\o"1-5"\h\z—?—> —>—>—?—? —> —>(1)若向量a=(x,l),b=(4,x)，當(dāng)x= 時(shí)a與b共線且方向相同(答：2)；f f 一(2)已矢知a=(1,1)b=(4,x),u=a+2b,v=2a+b，且u//v，貝0x=九.向量垂直的充要條件：a丄boa-b=0oIa+b1=1a—bIoxx123(1)已知OA=(—1,2),OB=(3,m),若OA丄OB,則m=「 (答：一);以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB,ZB=90。，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 (答：(1,3)或(3,—1))；已知n=(a,b),向量n丄m，且n=m，則m的坐標(biāo)是 (答：(b,-a)或(—b,a))一時(shí),時(shí),A,B,C共(答：4)；(3)設(shè)PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k)，貝0k=線(答：一2或11)十?線段的定比分點(diǎn)：1?定比分點(diǎn)的概念:設(shè)點(diǎn)P是直線PP上異于P、的任意一點(diǎn)，1212若存在一個(gè)實(shí)數(shù)X，使PP=XPP，則X叫做點(diǎn)P分有向線段PP所1212

成的比，p點(diǎn)叫做有向線段pp的以定比為入的定比分點(diǎn);122.入的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)卩點(diǎn)在線段P1P2上時(shí)P1P2的中點(diǎn)公式Ix成的比，p點(diǎn)叫做有向線段pp的以定比為入的定比分點(diǎn);122.入的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)卩點(diǎn)在線段P1P2上時(shí)P1P2的中點(diǎn)公式Ix+x—1 2-2兒+y22。在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明段PP的延長線上時(shí)0-1＜九＜0；若點(diǎn)P分有向線段PP所成的2112比為入，則點(diǎn)P分有向線段P所成的比為+。如若點(diǎn)p分AB所成的比為4，叫分Bp所成的比為(答：-3)3?線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)P(x,y)、P(x,y),P(x,y)分有向111222線段PP所成的比為九,則線段PP所成的比為九,則彳12x=T21+九 二x一x ix一x2線段yx一x ix一x2線段確(x,y),(x,y)、(x,y)的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的1122坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比九。如若M(-3，-2)，N(6，-1)，且一一卩二一1W，則點(diǎn)P的坐標(biāo)3為 (答：(-6,—3))；已知A(a,0),B(3,2+a)，直線y=-ax與線段AB交于M，且2AM=2MB，則a等于 (答：2或一4)卜一?平移公式：如果點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x：y則a=需,]x'=x+h；曲線f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移得曲線 1a+b曰a1+1b1y，=y+kf(x-h,y-k)=0?注意：(1)函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”—>有何聯(lián)系？(2)向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！如按向量a把(2,-3)平移到(1,-2)，則按向量a把點(diǎn)(-7,2)平移到點(diǎn) (答:(—8,3))；函數(shù)y=sin2x的圖象按向量方平移后，所得函數(shù)的解析式是y=cos2x+1 , 貝V 方 = (答：(-?,1))412、向量中一些常用的結(jié)論：一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；IIa1-1b11<1a土bIVaI+IbI，特別地，當(dāng)a、b同向或有0O乙IIaI-1bII=Ia-bI；當(dāng)a、b反向或有0OIa-bI=IaI+IbI>TOC\o"1-5"\h\zIIaI-1bII=Ia+bI；當(dāng)a、b不共線OIIaI-1bIIvIa土bI<IaI+IbI(這些和實(shí)數(shù)比較類以).~ ~ ~~~~在AABC中,若A(x,y),B(x,y),C(x,y),則其重心的坐標(biāo)為1 1 2 2 3 3dx+x+xy+y+y)斗I3 3丿若/ABC的三邊的中點(diǎn)分別為(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),則/ABC的重心的坐標(biāo)為 (答：(-2,4));33PG=|(PA+PB+PC)oG為AABC的重心，特另U地PA+PB+PC=0OP為AABC的重心；PA?PB=PB?PC=PC-PAoP為AABC的垂心；

④向量九（^B+ 0）所在直線過AABC的內(nèi)心（是ABACIABIIACI的角平分線所在直線｝;（4）向量PA、PB、PC中三終點(diǎn)A、B、C共線o存在實(shí)數(shù)a、P使得PArPB+卩PC且a+P=1?如平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3,l）,B（-1,3），右點(diǎn)c滿足or=xot+xob，其中九，九gr且九+九二1，則點(diǎn)c的121212軌跡是 （答：直線AB）12、向量與三角形外心.三角形外接圓的圓心，簡稱外心.是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)?重心三角形三條中線的交點(diǎn)，叫做三角形的重心.掌握重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.（上右圖）三、 垂心三角形三條高的交點(diǎn)，稱為三角形的垂心.（下左圖）四、 內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心，簡稱為內(nèi)心.是三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn).三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.（上右圖）下左圖）題型一：共線定理應(yīng)用

下左圖）例一：平面向量a,b共線的充要條件是（）a.a,b方向相同b.a,b兩向量中至少有一個(gè)為零向量C.存在XgR,b=九aD存在不全為零的實(shí)數(shù)X,X,X方+九方=01212變式一：對(duì)于非零向量a,方，“方+方=0”是“方〃方”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件變式二：設(shè)0,0是兩個(gè)非零向量（ ）A.若0+0=0_0則0丄0 B.若0丄0，則a+b=abC.若，則存在實(shí)數(shù)X，使得0=X0DC.若，則存在實(shí)數(shù)X，使得0=X0D若存在實(shí)數(shù)a+b=a_b

例二：設(shè)兩個(gè)非零向量0與孑，不共線，12( 1 ) 如 果AB=e—e,BC=3e+2e,CD=—8e—2e,求證：A,C,D二點(diǎn)共線;121212( 2 ) 如 果AB=e+e,BC=2e—3e,CD=2e—ke,且A,C,D三點(diǎn)共線，求實(shí)121212數(shù)k的值。變式一：設(shè)e與e兩個(gè)不共線向量，12F F1 ] ] I P1 ] AB=2e+ke,CB=e+3e,CD=2e—e,若三點(diǎn)A,B,D共線，求實(shí)1 21 21 2數(shù)k的值。變式二：已知向量a,b，且AB=a+2b,BC=—5a+2b,CD=7a+2b,則一定共線的三點(diǎn)是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

題型二：線段定比分點(diǎn)的向量形式在向量線性表示中的應(yīng)用例一:設(shè)P是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，2BP=BC+BA,則（）P f■￥A.0二PA+PB B.0二PC+PAC.0二PB+PCD.0二PC+PA+PB變式一：已知O是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn),且0二2OA+OB+OC，那么（ ）A.A0二ODB.A0二2ODC.A0二3OD D.2A0二ODb+c,TOC\o"1-5"\h\z3 3變式一：（高考題）在三角形ABC中，點(diǎn)D在邊AB上,CD平分角亠—ta.「ACB,CB二a，CA二b,a=1,b=2，則CD二（）1-2、A.■a+b,3 3? 3；a+b,5C.D.變式二：設(shè)D,E,F分別是三角形ABC的邊BC,CA,AB上的點(diǎn)，且C.D. 卜 ] ] °DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,則AD+BE,+CF與BC()變式二：在平行四邊形abcd中AB二a，AD二b，AN二3NC』為—PBC的中點(diǎn)，則MN二（用a,b表示）例二：在三角形ABC中，AB二c，AC二b，若點(diǎn)D滿足bD二2DC,則AD=（）2—1+ 5一2- 2^1—A.b+c,B.c一b, C.b一c,D.3 3 3 3 3 3A.反向平行B.同向平行C.互相垂直 D.既不平行也不垂直變式三：在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),若AC=九AE+卩AF,其九,R,貝V九+卩=變式四：在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),AE的延長線與CD交于點(diǎn)F,若AC=a,BD=b,則AF=（)A.題型四：向量與三角形四心內(nèi)心內(nèi)心1一1_2_1_1—1_1_2_4a+b，B.3a+3b‘C.2a+4b, D.3a+3b'題型三：三點(diǎn)共線定理及其應(yīng)用

例一：O是AABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足例一：點(diǎn)P在AB上，求證：OP=kOA+pOB且九+卩=1（九,gR,） tHABACOP=OA+九（百釘+廳m）‘九&【0+只），則點(diǎn)p的軌跡一lABACI變式：在三角形ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交

定通過aABC的（）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M和N，若AB=mAM,AC=nAN,則m+n=例二：在平行四邊形ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，DE與AF交于點(diǎn)H,設(shè)AB=a,BC=b,則AH=變式一:AB且2- 47A.a一b5 52- 4,―a―b,5 5C.D.AB已知非零向量AB與AC滿足（|亠|AC12，則aABC為（）AC P一-*AB+竺)?BC=0ABACA.等邊三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形 D.變式：在三角形ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N是邊AC上一點(diǎn)且三邊均不相等的三角形OOp為aABC的AN=2NC,AM與BN相交于點(diǎn)P,若AP=九PM,求九的值。變式二：|AB-PC+BC-PA+\CA\-PB=0內(nèi)心內(nèi)心變式一：O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),占八、、二、重心OP=OA+九(例一：是AABC內(nèi)一點(diǎn)，OC+OA+OB二0，則為aABC的（）AB+A^\COSBAC■AC時(shí)），仁R，則點(diǎn)P軌跡一定通過軌跡一定通過AABC的（A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心變式一：在AABC中，G為平面上任意一點(diǎn)，證明：A.外心B.內(nèi)心C.重心 D.垂心四外心四外心]1■]]GO=3(GA+GB+GC)oo為AABC的重心變式二：在AABC中，G為平面上任意一點(diǎn)，證明：例一：若O是AABC的外心，H是AABC的垂心，GO=3(AB+AC)Oo為AABC的重心三垂心：OH=OA+OC+OB變式一：已知點(diǎn)O，|OA|二|ob]二|oc|,N，P在AABC所在平面內(nèi)，0二NA+NB+NC例一：求證：在AABC中，OA-OB=OB-OC=OC-OAnPA-PB二PB-PC二PC-PA，貝yO，N，P依次是AABC變式一：變式一：A.重心、外心、垂心B.重心、外心、內(nèi)心C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、內(nèi)心題型五：向量的坐標(biāo)運(yùn)算例一：已知A(-2,4),B(3, -1), C(-3, -4)，且CM=3CA,CN=2CB，試求點(diǎn)M,N和mn的坐標(biāo)。已知平面向量a二G./3,-1),b二(2，￥)，向量d=(x,y)滿足(d—c)//(a+b)且d—c=1，求d。題型六：向量平行(共線)、垂直充要條件的坐標(biāo)表示例一：已知兩個(gè)向量a=(1.2),b=(—3,2)，當(dāng)實(shí)數(shù)k取何值時(shí)，向量ka+2b與2a—4b平行？變式一：設(shè)向量a,b滿足|a|二2j5，b=(2,1)，且a與b反向，則a坐標(biāo)為 x=a+(t—3)b,y=—ka+tb,其中t和k為不同時(shí)為零的實(shí)數(shù),(1)若x丄y，求此時(shí)k和t滿足的函數(shù)關(guān)系式k=f(t);⑵―—F若x〃y，求此時(shí)k和t滿足的函數(shù)關(guān)系式k=g(t).例二：已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(—k,10)且A,B,C三點(diǎn)共線，則k=變式一:變式一:變式二：平面內(nèi)給定3個(gè)向量a=(3,2),b=(—1,2),c=(4，1)，回答下列問題。(1)求3a+b—2c；(2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n;⑶若(a+kc)//(2萬—a)，求實(shí)數(shù)k；(4)設(shè)3 1已知a=(二sina),b=(cosa,§),且a//b，則銳角a為變式二：AABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長分別為a,b,c設(shè)向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p//q，則ZC的大小為()變式二：在厶ABC中，AB=1,BC=f2,AC二爲(wèi)，若OABC的重A:-B:--A:-B:--C:-D:TOC\o"1-5"\h\z兀 n 兀 2nA: B: C: D:—3 2 3題型七：平面向量的數(shù)量積例一：（1）在RtAABC中，ZC=90°，AC=4，則AB?AC=（）A：-16 B:-8 C:8 D:16（2）（高）已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DDE-CB的值為 ；龐.CB的最大值為 （3）在厶ABC中，M是BC中點(diǎn),AM=1,點(diǎn)P在AM上滿足AP二2PM,則PA-（PB+PC）等于（ ）變式一：（高）如圖所示，平行四邊形ABCD中，AP丄BD,垂足為P,且AP=3，則AP-AC= 心，則AO-AC的值為 例二：(高)在矩形ABCD中，AB^/2,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若AB-AF=41，則AE-BF的值是 變式一：(高)在厶ABC中，ZA=900,AB=1,AC=2?設(shè)點(diǎn)P,Q滿足TOC\o"1-5"\h\zAP=XAB,AQ=(1-X)AC,XgR，若BQ-CP=-2,貝V九=( )A:|4B:土C: D:23例三：已知向量a,b,c滿足a+b+c=0,a=1,b=2,”=J2,則—F-—?—?-?―?a-b+b-c+c-a= 變式一：在△ABC中，若AB=3,BC=4,AC=6,則AB-BC+BC-CA+CA-AB= 變式二：已知向量a,b,c滿足a+b+c=0,且a丄b,a=1,b=2,則變式三已知向量 a,b,c 滿變式三：若向量a與b不共線，a-b豐0,且c=a-(-―r)b,則a與c的夾a-b角是 a+b+c=0,且(a-b)丄c,a丄b,若a=1,貝U+lc2=題型八：平面向量的夾角例一：已知向量a=(1,J3),b=(-2,0),則a與b的夾角是 例二：已知a,b是非零向量且滿足(a-2b)丄a,(b-2a)丄b,則a與b的夾角是 、亠 , , II-9- -9- -r- ■ |?| — ■ * — ■ 十"f變式一:已知向量a,b,c滿足a=1,b=2,c=a+b,a丄c,則a與b的夾角是 變式二：已知a,b是非零向量且滿足a=b=a-b,則a與a+b的夾角是 I *L * * ] *II變式四：(高)若向量a與卩滿足a=1,卩＜1,且以向量a與卩為鄰邊

的平行四邊形的面積為o.5,則a與p的夾角的取值范圍是 例二：已知a=邁,閆=1,a與b的夾角為450，求使向量a+九b與

九a+b的夾角為銳角的九的取值范圍。變式一：設(shè)兩個(gè)向量e,e，滿足12=2,e=1,e與e的夾角為上,2-12若向量2te+7e與e+te的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的范圍。1212變式二：已知a與b均為單位向量,其夾角為0，有下列4個(gè)命題:竺)?3)；p:a一b>1O0w[0,—);p:a一b>1o' 3 4p:a+b>1O0w[0,題是( )A.P1'P4B.p1,p32兀 “3 J；0G(扌,兀]；其中的真命p:a+b>1O0w(——,兀];C.p2,p3D.p2,p4題型九：平面向量