數學試題（文科）一、選擇題（共12小題）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|0＜x≤4}，則A∪B＝（）A．[﹣1，4] B．（0，3]C．（﹣1，0]∪（1，4] D．[﹣1，0]∪（1，4]2．設復數z滿足z?i＝﹣1+i，則＝（）A．1 B． C． D．3．命題“?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2”的否定形式為（）A．?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2 C．?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2 D．?x∈R，?n∈N*，使得n＞x24．函數f（x）＝﹣lnx的零點所在的區(qū)間為（）A．（0，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）5．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是（）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．有解但解的個數不確定6．已知函數f（x）＝log3x，將函數y＝f（x）的圖象向右平移1個單位長度，再將所得的函數圖象上的點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，然后將所得的圖象上的點的縱坐標伸長為原來的3倍，橫坐標不變，得到函數y＝g（x）的圖象，則函數g（x）的解析式為（）A．g（x）＝3log3（x﹣1） B．g（x）＝log3（x﹣） C．g（x）＝3log3（2x﹣1） D．g（x）＝3log3（2x﹣2）7．若函數f（x）＝log（3x2﹣ax+5）在區(qū)間（﹣1，+∞）上是減函數，則實數a的取值范圍是（）A．（﹣8，+∞） B．[﹣6，+∞） C．（﹣8，﹣6] D．[﹣8，﹣6]8．已知曲線在點（1，f（1））處的切線的傾斜角為α，則＝（）A． B．2 C． D．9．函數f（x）的導函數f'（x）滿足f'（x）＞f（x）在R上恒成立，且f（1）＝e，則下列判斷一定正確的是（）A．f（0）＜1 B．f（﹣1）＜f（0） C．f（0）＞0 D．f（﹣1）＞f（0）10．已知函數f（x）＝﹣2sin（2x+φ）（|φ|＜π），若f（x）在區(qū)間（）上單調遞增，則φ的取值范圍是（）A．[﹣] B．[] C．[] D．[﹣]∪（）11．已知函數，若函數f（x）在R上有兩個零點，則實數a的取值范圍是（）A．（0，1] B．[1，+∞） C．（0，1） D．（﹣∞，1]12．已知f（x）是定義域為（﹣∞，+∞）的奇函數，滿足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50二、填空題（每小題5分）.13．記Sn為等差數列{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則an＝________。14．設a∈R，若函數y＝ex+ax有大于零的極值點，則實數a的取值范圍是________。15．2019年7月，中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產名錄，標志著中華五千年文明史得到國際社會認可．良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實證了中華五千年文明史．考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質因衰變而減少“這一規(guī)律．已知樣本中碳14的質量N隨時間T（單位：年）的衰變規(guī)律滿足表示碳14原有的質量），經過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質量約是原來的，據此推測良渚古城存在的時期距今約年．（參考數據：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48）16．設點P為函數f（x）＝lnx﹣x3上任意一點，點Q為直線2x+y﹣2＝0上任意一點，則P，Q兩點距離的最小值為．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．（1）求A；（2）若BC＝3，求△ABC面積的最大值．18．如圖，在三棱錐V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分別為AB，VA的中點．（1）求證：VB∥平面MOC；（2）求證：平面MOC⊥平面VAB；（3）求三棱錐V﹣ABC的體積．19．某高校共有學生15000人，其中男生10500人，女生4500人．為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數據（單位：小時）．（1）應收集多少位女生的樣本數據？（2）根據這300個樣本數據，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據的分組區(qū)間為：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率．（3）在樣本數據中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：K2＝．每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表男生女生總計不超過4小時超過4小時總計20．已知橢圓C：+＝1的右焦點為（1，0），且經過點A（0，1）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設O為原點，直線l：y＝kx+t（t≠±1）與橢圓C交于兩個不同點P、Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N．若|OM|?|ON|＝2，求證：直線l經過定點．21．已知函數f（x）＝x3﹣kx+k2．（1）討論f（x）的單調性；（2）若f（x）有三個零點，求k的取值范圍．選考題：共10分．請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數方程]22．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝6cosθ．（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）已知點P（1，0），若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求的值．[選修4-5：不等式選講]23．設函數f（x）＝|x﹣2|+|x﹣a|．（Ⅰ）若f（x）≥4對于x∈R恒成立，求實數a的取值范圍；（Ⅱ）當a＝﹣4時，函數f（x）的最小值為t，且正實數m，n滿足m+n＝t，求的最小值．

參考答案題號123456789101112答案ABCBCCDCACAC13.2n-514.a<-115.687616.-2-217．解：（1）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，因為sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC，由正弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝bc，即為b2+c2﹣a2＝﹣bc，由余弦定理可得cosA＝＝﹣＝﹣，由0＜A＜π，可得A＝；（2）由題意可得a＝3，又B+C＝，可設B＝﹣d，C＝+d，﹣＜d＜，由正弦定理可得＝＝＝2，可得b＝2sin（﹣d），c＝2sin（+d），則△ABC周長為a+b+c＝3+2[sin（﹣d）+sin（+d）]＝3+2（cosd﹣sind+cosd+sind），＝3+2cosd，當d＝0，即B＝C＝時，△ABC的周長取得最大值3+2．另解：a＝3，A＝，又a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴9＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc≥（b+c）2﹣（b+c）2，由b+c＞3，則b+c≤2（當且僅當b＝c時，“＝”成立），則△ABC周長的最大值為3+2．18．（1）證明：∵O，M分別為AB，VA的中點，∴OM∥VB，∵VB?平面MOC，OM?平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC＝BC，O為AB的中點，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC?平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC?平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB＝，∵OC⊥平面VAB，∴VC﹣VAB＝?S△VAB＝，∴VV﹣ABC＝VC﹣VAB＝．19．解：（1）300×＝90，所以應收集90位女生的樣本數據．（2）由頻率分布直方圖得1﹣2×（0.100+0.025）＝0.75，所以該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為0.75．（3）由（2）知，300位學生中有300×0.75＝225人的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時，又因為樣本數據中有210份是關于男生的，90份是關于女生的，所以每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表如下：每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表男生女生總計每周平均體育運動時間不超過4小時453075每周平均體育運動時間超過4小時16560225總計21090300結合列聯(lián)表可算得K2＝＝≈4.762＞3.841所以，有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”．20．解：（Ⅰ）橢圓C：+＝1的右焦點為（1，0），且經過點A（0，1）．可得b＝c＝1，a＝＝，則橢圓方程為+y2＝1；（Ⅱ）證明：y＝kx+t與橢圓方程x2+2y2＝2聯(lián)立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），△＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，AP的方程為y＝x+1，令y＝0，可得x＝，即M（，0）；AQ的方程為y＝x+1，令y＝0，可得x＝．即N（，0）．（1﹣y1）（1﹣y2）＝1+y1y2﹣（y1+y2）＝1+（kx1+t）（kx2+t）﹣（kx1+kx2+2t）＝（1+t2﹣2t）+k2?+（kt﹣k）?（﹣）＝，|OM|?|ON|＝2，即為|?|＝2，即有|t2﹣1|＝（t﹣1）2，由t≠±1，解得t＝0，滿足△＞0，即有直線l方程為y＝kx，恒過原點（0，0）．21.解：（1）f（x）＝x3﹣kx+k2．f′（x）＝3x2﹣k，k≤0時，f′（x）≥0，f（x）在R遞增，k＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，∴f（x）在（﹣∞，﹣）遞增，在（﹣，）遞減，在（，+∞）遞增，綜上，k≤0時，f（x）在R遞增，k＞0時，f（x）在（﹣∞，﹣）遞增，在（﹣，）遞減，在（，+∞）遞增；（2）由（1）得：k＞0，f（x）極小值＝f（），f（x）極大值＝f（﹣），若f（x）有三個零點，只需，解得：0＜k＜，故k∈（0，）．22．解：（Ⅰ）曲線C1的參數方程為（t為