|a|= |(aij)n×n|

(?1)i+jMij

··

··

(?1)τ(i1i2

. i1i2.為

1i12i2···anin ·· 式行列式|(aij)n×n|在第m行第k列的位置(m,k)處的式Mmk是矩陣(aij)n×n劃去m行與第k列后剩下的元素按原來的相對位置排成的n?1階行列式。代數(shù)Amk=(?1)m+ki1i2···ik···in1nikτk為排在數(shù)ik之前比ik大的數(shù)的個數(shù)。=|(aij)n×n|ai,(n?i+1)i=12n ·· ·· . . ·· ·· ·· . . ·· ·· ·· . . ·· ·· ··

·· ..

n

··

akixki=bii=12m

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2..x1a1+x2a2+···+xnan= ai

,b A

AX=····....··. ,x ,b mnaij(i=12···m,j=12···n)mn ··· A ·· ... .. ... ·· =jnA=(aij)m×n，mn1nn1列的矩陣。由于排版原因常記作(a1a2···an)T形如 ·· ·· ... .. ... ·· diag(a11a22···a11a12·· a22·· ... .. ... ·· ·· . ·· 10·· 01·· . . 00···

,. ·· A ·· ... .. ...

··

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=,.

··· . . ·· 滿足全零行位于非零行的下方，非零行的非零首元(··a1,j1····0··0····..................0··00··0··0··00··00··0..................0··00··00··0A,A0=E,An+1=AAn=Ann階方陣f(xamxmam?1xm?1···a1xa0 f(An)=amAm+am?1Am?1+···+a1An+ 置,i12···mj12···nAAT。AT=AA若矩陣AT=?A,則稱A為稱矩陣AB=BA=ABAB=A?1設(shè)n階方陣A=(aij)n×n，行列式detA的每個元素的代數(shù)式Aij所構(gòu)成的如下矩A?=(A

··· ·· an2ijn×n .

. ... ·· 把一個矩陣看成(子矩陣的矩陣，把參與運算的每個小矩陣在運算過程中如同數(shù)值一樣Am×nk行，k列(km,knk2個元素，按原有的位置次序所構(gòu)成的k階行列式，稱為Ak階子式。AAr(A)=rAm×n,r(A)=m,AAm×n,r(A)=n,A?α,β,γ∈V,?λ,μ∈α+β=β+(α+β)+γ=α+(β+?0∈V,s.t.0+α=α+0=?α∈V,?β∈V,s.t.α+β=β+α=(λ+μ)α=λα+λ(α+β)=λα+(λμ)α=λ(μα)=?1∈V,s.t.1α=k1α1+k2α2+···+}η可以由α1α2αs線性表示。}}SRna1a2an)TSRn的一個子As×nAx0K(A)={x∈Rn|Ax=As×n,R(A)={η∈Rs|?x∈Rn,η=α1α2αs∈RnL(α1,α2,...,αs)={k1α1+k2α2+...+ksαs|ki∈,,{α1α2αs}k1k2···ks0時{αi1αi2αirI{α1α2αs}{αi1αi2αir}I{αi1αi2αir}}I={α1α2αs}基α1α2αsV的一個基。α1α2αsV的一個基βVβ=x1α1+x2α2+···+ ·· (β,β,...,β)=(α,α,...,

·· .. n..

.. ·· αβRn,α,β ,····a1b1+a2b2+···+模

√ √ 設(shè)α ,稱∥α∥ <α,α> ·· cosθ=<α,β∥α∥αβRn,αβ>=0αβ

AAT=ATA=Ax=0K(A的一組基稱為這個線性方程組的基礎(chǔ)解Ax0Ax=b=Ax0x=γ+c1ξ1+c2ξ2+···+cn?rξn?r,ci∈Aη=A為方陣，f(λ)f(A)=0,f(λ)AABnPP?1AP=BAP相似。記為A～B.P為相似變換矩陣。nx1···xn1f(x1,···,xn)=a11x2+2a12x1x2+···+12+a22x2+2a23x2x3+···+2n+···+annxn ···A

··

... .. ... ·· Af(x1xn)=xTAxA,BP,PTAP=B,ABA?q分別稱為該二次型（A）的正慣性指數(shù)和負慣性指數(shù)。f(x1xn)r,p,y2···y2? ?···?y2,1

f(xxTAxRnxf(x0A為正定矩陣。Rnxf(x0,A ··· A ·· ... .. ...

··

?1=A11,?2

,...,?n= ··

··

(?1)τ(i1i2···in)+τ(j1j2n) 1 1

. i1i2.為

i i2j2···ainjn ·· |AT|=

)(列)的每個元素都是兩個數(shù)之和，則此行列式等于兩個行列式之 ·· ··

··· ··

··· ·· . .

..

. .

.. .....b1+ ·· ·· ·· .. .. .. ·· ·· ·· |AB|==設(shè)Aij為行列式|A|在(i,j)處的代數(shù)式，

|A|i= i?=

·· a22·· =aa···. .

11

·· a11a12·· a22·· =aa···. .

11 ·· ·· a22·· =aa···. .

11

·· ·· ·· aan ·· aan ..

(aj—

·· A+B=B+(A+B)+C=A+(B+A+O=O+A=A+(?A)=(?A)+A=(kl)A=(k+l)A=kA+k(A+B)=kA+1A=0A=(AB)C=k(AB)=(kA)B=A(B+C)=AB+(B+C)A=BA+EA=AE=AmAn=(Am)n=)(AT)(A+B)T=AT+(kA)T=(AB)T=AA?=A?A=(A1A2)?=2(A?)?=|A?|=(|A|=0時亦適用，注意證明(A1A2)?1= (A?1)?1=|A?1|=(AT)?1=A可逆時，ABACB=Lace定 ..

1AA2..AAsr(A)=rArAr1Am×nr(A)=r,A( 0陣 設(shè)矩陣A×n的)r(A)=n<m,則經(jīng)過一系列初等行變換，可以得到與矩陣A等 0Am×nr(A)=mn,A價的矩陣( 0為單位陣Enr(Ar(B)PQBr(AT)= max{r(A),r(A)}≤

))≤r(A)+r(A r(A+B)≤r(A)+r(AB)≤min{r(A),r(AB)≥r(A)+r(B)?{α1α2···αs}{β1β2···βt}(α1α2···αs)(β1β2···βt)如果向量組{α1α2···αs}與{β1β2···βt}t=mnmn設(shè)向量組{α1α2···αs}線性無關(guān)，而向量組{βα1α2···αs}線性相關(guān)，則向β一定能用{α1α2···αs}唯一地線性表示如果向量組{α1α2···αs可以由向量組{β1β2···βt線性表示，則r{α1α2···αsr{β1,β2,···,0≤r{α1,α2,···,αs}≤r{α1α2···αs}=0a1=a2=···=as=r{α1α2···αs}=sα1α2···αsr{α1α2···αs}sα1α2···αs

|<α,β>|≤∥α∥∥α+β∥≤∥α∥+{α1α2···αrα1α2···αr{α1α2···αm}nRn的一組線性無關(guān)的向量組，則存在一個正{β1β2···βm},β1β2···βmα1α2···αm線性表示A|A|=ABABAx=0,Ar(A)=r時，dim(K(A))=n?A=(aij)n×n,|λEA|nn|λE?A|A=(aij)n×nλ1λ2λn, λi=

λi= =,AηληAkηλ0A的特征值，f(λ)f(A)=O,Af(λ0,=Af(λ)=0～A～B,ff(A)～fA～B,|A|=ABr(AA?A?BB?A?B,B?CA?f(x1···xn)=xTAxx=Qyλ1y2···λny2, λ1···λnAf(x1xn)=xTAx f(x1,...,xn)=k1y2+···+ k1knrr(f)pq(pqr都是可1PTAP

..

1..

0..0

p個(rp)個(n?r)個|(aij)n×n|)Cramera11x1+a12x2+...+a1nxn=a21x1+a22x2+...+a2nxn=,. ·· ·· .... ··D Di為將D的第i列替換為方的常數(shù)項，那么原方的解xi=D,i=1,2,...,Ax=b,x=通過對方進行換位變換(互換兩個方程的位置)、倍乘變換(用一個非零的數(shù)同AX=B(A,B)(BC)（ ）(A(B),X=C ）a11x1+a12x2+...+a1nxn=a21x1+a22x2+...+a2nxn=,.am1x1+am2x2+...+amnxn=,r(A)<r(A,r(A)=r(A,b)=r(A)=r(A,b)<當(dāng)s<n時，必有非零解=αβ=(1),(βα)n=β(αβ)n?2αA=BC,BC=CB,An=(BC)n

nCkBn?kn

A?1=1AEn(2n的矩陣(A:E)對(A:E實施初等行變換，若干次后，(A:E)→(E:A?1)。

(A

(E

次后和E列，構(gòu)造一個(2n)×n的矩 ;

E

|An|?=r(An)=nAA2?2A+3E=0,(A+ (A+E)(A?3E)=?6E,(A+E)(?6A?2E)=(A+E)?1=?1A?1 已知A是二階方陣，x是二零列向量，若A2x+Ax=6x,B=(x,Ax),求一矩CABAB=A(x,Ax)=(Ax,A2x)=(Ax,6x? =(x, 1 故可取C 1ABAX=0BX=0A=(α1α2αs).β{α1α2αsAXβ{β1β2βs{α1α2αsAX=A=(α1α2αs),B=(α1α2{β1β2βs{α1α2αsr(A)=r(AB)=記A=(α1,α2,...,αs),則向量組是否線性相關(guān)等價于方AX=0是否有非零解α1α2αn和β1β2βn是V中兩組基，記Aα1α2αn),Bβ1β2ABC= 由如下給出:β1=β=

—<α2,β1> <β1,β1>β=

—<α3,β2>

—<α3,β1> ··

<β2,β2>

<β1,β1>β=α

<αn,βn?1>

<αn,βn?2>

—···

<αn,β1>β <

,βn?1

<

<β1,β1 , , 設(shè)A為m×n型矩陣，r(A)=r<n,則齊次線性方Ax=0的基礎(chǔ)解系的求法是:將矩陣A通過初等行變換，變換成行最簡型··c1,j10c1,j1··0c1,jr··0··0.c2,j2.··.0.c2,jr.··.................0··000··0cr,jr··0··00.0.··0.0.0.··0.................0··000··000··0i個自i,ξii行為1j(j?ij12nr0.ξir個元素未填充，我們選?c1,j1001.ξ1 ,···,ξj1?20,···.100.00.0第j110←第j1+1.0←第j31ξn?r0.0←第jn10.01化成行最簡型以后，可以以方形式求出其通解：(設(shè)xr1,xr2,...,xrn?r為自由未x1=t11xr1+t12xr2+···+x2=t21xr1+t22xr2+···+ ··需要取相反數(shù)設(shè)A為m×n型矩陣，r(A)=r<n,則非齊次線性方Ax=b的一般解的求法是:將增廣矩陣(A,b)通過初等行變換，變換成行最簡型c11·· c1,j1 c1,j1 ·· c1,j