莫興德廣西大學數(shù)信學院Email:moxingde@微積分第1頁第1頁鏈接目錄第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導數(shù)與微分第四章中值定理,導數(shù)應用第五章不定積分第六章定積分第七章

無窮級數(shù)(不要求)第八章多元函數(shù)第九章微分方程復習第2頁第2頁參考書[1]趙樹嫄.微積分.中國人民出版社[2]同濟大學.高等數(shù)學.高等教育出版社第3頁第3頁第五章

幾種特殊類型函數(shù)積分第4頁第4頁幾種特殊類型函數(shù)積分一、有理函數(shù)積分有理函數(shù)定義：兩個多項式商表示函數(shù)稱之.第5頁第5頁假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項式除法,假分式能夠化成一個多項式和一個真分式之和.例難點將有理函數(shù)化為部分分式之和.第6頁第6頁（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和普通規(guī)律：特殊地：分解后為第7頁第7頁注關于部分分式分解如對進行分解時一項也不能少，由于通分后分子上是多項式，可得到k個方程，定出k個系數(shù)，不然將會得到矛盾結(jié)果。比如第8頁第8頁但若矛盾第9頁第9頁（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為第10頁第10頁真分式化為部分分式之和待定系數(shù)法例1第11頁第11頁代入特殊值來擬定系數(shù)取取取并將值代入例2第12頁第12頁例3整理得第13頁第13頁例4求積分解第14頁第14頁例5求積分解第15頁第15頁例6求積分解令第16頁第16頁第17頁第17頁闡明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項式；討論積分令第18頁第18頁則記第19頁第19頁這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)原函數(shù)都是初等函數(shù).第20頁第20頁第21頁第21頁第22頁第22頁第23頁第23頁第24頁第24頁第25頁第25頁注意以上簡介雖是有理函數(shù)積分普遍辦法，但對一個詳細問題而言，未必是最簡捷辦法，應首先考慮用其它簡便辦法。如使用湊微分法比較簡樸基本思緒盡也許使分母簡樸——降冪、拆項、同乘等化部分分式，寫成份項積分可考慮引入變量代換第26頁第26頁三角有理式定義：由三角函數(shù)和常數(shù)通過有限次四則運算構(gòu)成函數(shù)稱之．普通記為二、三角函數(shù)有理式積分第27頁第27頁令（萬能置換公式）第28頁第28頁例7求積分解由萬能置換公式第29頁第29頁第30頁第30頁例8求積分解（一）第31頁第31頁解（二）修改萬能置換公式,令第32頁第32頁解（三）能夠不用萬能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最佳辦法,故三角有理式計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.如第33頁第33頁若用萬能代換，則化部分分式比較困難但若是湊微分，則比較簡樸基本思緒第34頁第34頁盡也許使分母簡樸——分子分母同乘，或使分母變成一項等盡也許使冪次減少萬能代換例9求積分解第35頁第35頁第36頁第36頁第37頁第37頁第38頁第38頁第39頁第39頁第40頁第40頁討論類型處理辦法作代換去掉根號.例10求積分解

三、簡樸無理函數(shù)積分第41頁第41頁第42頁第42頁例11求積分解令闡明無理函數(shù)去根號時,取根指數(shù)最小公倍數(shù).第43頁第43頁例12求積分解先對分母進行有理化原式第44頁第44頁例13解一令第45頁第45頁解二第46頁第46頁令第47頁第47頁簡樸無理式積分.有理式分解成部分分式之和積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式積分