#2016-2017學(xué)年第二學(xué)期《微積分1-2》期末試卷解答一、討論下列級數(shù)的斂散性.如果收斂，說明是條件收斂，還是絕對收斂？(每小題4分，共12分)1.￡(—1.￡(—Di； 2.n—1n=2^nn—1n=2,.1)?+nsm一；

n,3￡n2[1+2(-1)n]n6nn=1(1分)(1分)3.-(3分)-(4分)-(2分)-(4分)(1分)-(3分)\-(4分)nn解：1.由于limn—i=1且￡-L發(fā)散，級數(shù)￡巨發(fā)散。ntb n n—1-= n=1 n=2nn設(shè)f(x)=五,f(x)=-x—1<0,(x>1),數(shù)列J正「單調(diào)遞減，x—1 26(x-1)2 [n—1J2又lim巨=0，由萊布尼茲判別法，級數(shù)￡(-1)n/收斂。ntbn—1 n—1n=2因此，級數(shù)￡(-1)n'n條件收斂。n—1n=2TOC\o"1-5"\h\z2.由于limnsin1=1中0，級數(shù)￡nsin1發(fā)散，ntbn nn=2因此，級數(shù)￡[*+nsinn]發(fā)散。n=2n21+2(—1)nn n2 < ，6n 2n由比值判別法lim如止2=1<1得級數(shù)￡上收斂，ntb2n+1n2 2 2nn=1■,八、nn2—+(—1)n由比較判別法得￡」2 1絕對收斂。3nn=1二、計算下列各題：(每小題6分，共12分)1.JJ|xyIdxdy,平面區(qū)域D：{(x,y)Ix2+y2<a2},a>0

（2分）2.JJJQD1=412dofap3cos0sin0dp=4f.cos20二4一二PjT0x2+y2（2分）2.JJJQD1=412dofap3cos0sin0dp=4f.cos20二4一二PjT0x2+y2dxdydz，其中Q為z=1,正sin2002d0fap3dp020z=4和z=y2+x2所圍區(qū)域.（4分）（6分）解一:I 1<z<4;利用柱坐標(biāo)截面法,Q:<［（x,y）eD:0<p<%z,0<0<2兀.zJJJx2+y2dxdydz=J4dzJJx2+y2dxdy」4dzJ2兀dofzp3dp（4分）解二利用柱坐標(biāo)投影法:f1<z<4, （x,y）eD:0<p<1,0<0<2兀;Q:\ 1Ix2+y2<z<4, （x,y）eD:1<p<2,0<0<2兀.l 2fffx2+y2dxdydz=ffx2+y2dxdyf4dz+ffx2+y2dxdyf4dz2Di=f2兀d0f1p3dpf4dz+f2兀dof2p3dpf4dz00 101p23兀八21兀=——+9兀= .2 2（6分）（4分）（6分）Q1=-4兀J1drJ2erQ1=-4兀J1drJ2ercosprd(rcosp)0 0=4兀J1r(er-1)dr0r2-4兀rer-er--

2(6分)(2)Jz2ds，

r0曲線r為x2+y2+z2-1與y-X的交線.—Lcost,y=—Lcost,z-sint(0<t<2兀),<2 <2(1分)Jz2ds=J2兀sin21r 0sint+

Jsint+

J(cost)2dt(4分)三、計算下列各題：(每小題6分，共12分)⑴JJJeizidxdydz其中Q：x2+y2+z2<1.Q解：令Q：x2+y2+z2<1,z>0,利用球坐標(biāo)，1Q：x=rsin①cos0,y=rsin①sin0,z=rcos①,0<0<2兀,0<91由三重積分的對稱性可得:(4分)JJJeizidxdydz=2JJJezdxdydz=2J2Kd0J2dpJ1ercos”2sinpd(4分)2兀 2兀1-cos21」(6分)02-Jsin21dt=J——(6分)02四、(1)確定常數(shù)a,b，使得ax+ydx-x-y+bdy為某個二元函數(shù)u(x,y)的全微分;(2)求該二元函數(shù)u(X,y)。 分解：1.設(shè)P(x,y)-e±y,Q(x,y)=-X一y+b則eQ_x2-y2-2xy+2xbePex Q2+y2}x2-y2-2axy

Q2+y2}(2分)(4分)由于QL-"，我們有一2xy+2xb--2axyna=1,b-0.ex (4分)2.解一:u(x,y)-JXP(x,0)d—+JyQ(—,y)dy-JXId—+Jyf」1X0IX2+y2—2+y2J(2分)-ln|—|+Jyf—01—2+y2.一/11dy-InI—I+—In12),y)2+y2)-arctan一XJ(4分)-1ln(X2+y2)-arctan(4分)TOC\o"1-5"\h\z2 —1 11/ 、 x?、d.xdx=—ln(x2+y2)+arctan—+C(yd.x2 y— .a ——+C(y)-Q(—,y)nC(y)-0Sy x2+y2 x2+y2因此，取C(y)=0,貝Uu(x,y)=—ln(x2+y2)+arctan—.2y(2分)(4分)五、用格林公式計算曲線積分I-J(—2-2y)d—-(—+sin2y)dy其中L是點A(0,0)到點LB(2,0)的上半圓周y-；2—3—T 分解：設(shè)從A(0,0)到B(2,0)的有向線段為l.則L-+1為上半球面D:y＜、,成二的正向邊界，由格林公式(2分)I=-J(x2-2y)dx-(x+sin2y)dyL[JL-+1(x2-2y)dx-(x+sin2y)dy-J(x2-2y)dx-(x+sin2y)dy1=-fJJdxdy-J2x2dxID0J(6分)(8分)六、將函數(shù)，展開成（X一3）的冪級數(shù)。（8分）X2—1解：1 1 1,1解： = ——( X2—1 (X+1)(X—1) 2X—1(4(4分)-1-1E(-1)n(=)n—1￡(—1)n(與)n,

4 2 8 4n=0 n=0x—3"T"七、-￡(—1)七、-￡(—1)n(n—02n+2 22n+3)(X—3)n,(1<X<5).(8分)設(shè)r=、,；x2+y2+z2,利用公式計算曲面積分JJ—dydz+――dzdX+—dXdy，其中￡為任意不經(jīng)過原點的閉曲面取外側(cè)。解：當(dāng)(x,y,z)豐(0,0,0)時,3y解：當(dāng)(x,y,z)豐(0,0,0)時,3y2d.x6yr3r51 3z2r3 r5(丫、6-Ir3J+6x(z6-

+Anz=0(2分)設(shè)￡圍成的空間區(qū)域為Q如果Q不包含原點，則利用公式'可得JJ±dydz+±dzdx+土dxdy=0口rrr3(5分)如果Q包含原點，在橢球面內(nèi)作輔助小球面￡:X2+y2+z2=82，取內(nèi)側(cè)，1(7分)由高斯公式，可得jj—dydz+—dzdx+—dxdy=-ff^-dydz+—dzdx+—dxdy-JJ—dydz+—dzdx+—dxdy口Y3 Y3 Y3jj—dydz+—dzdx+—dxdy=-ff^-dydz+—dzdx+—dxdy-JJ—dydz+—dzdx+—dxdy口Y3 Y3 Y3口廠3 廠3 廠3 Q廠3 廠3 廠3+ydzdx+zdxdy□丫3 丫3 丫3—JJxdydz83Q-13dv=4n.-(8分)(10分)八、設(shè)￡是四面體+ 的表面，TOC\o"1-5"\h\z計算/=?——!——dS. 分0z（i+x+y）2解：設(shè)四面體的四個面分別為S:x+y+z=l,￡：z=0,￡:x=0,S:y=0,1 2 3 40 dS(l+x+y)24=JJ Jl+(-1)0 dS(l+x+y)24(l+x+y”" oo(l+x+y”D

xyff dS=ff i Jl+Odxdy=f1公J? dy(l+x+y)2 (l+x+y)2 oo(l+x+y”4?0——!——dS=0—1—Vl+Odydz=[4——i—dy(l+x+y)2 (l+y” oo(l+y” （6分）ff dS=If——-——y11+Odxdz=IdJ-乙——J （6分）(l+x+y)2(l+x)2 o0(l+x)2JJ——!——dS=(褥+1)Jldjj——!——dy+2Jld』i_}_dy□z(l+x+y)2 oo(l+x+y)2oo(1+y)2二￥十（rT）ln2. 一一一（10分）九、求塞級數(shù)￡字上的收斂域以及和函數(shù)s(x)，并由此求￡空1畢<10U+1)! 5+1)!n=0 n=Q分)TOC\o"1-5"\h\z解：設(shè)M=(2/+1弋〃JimLJ=皿3眇2 0,〃 U+1J!……5+2八2〃+1)n1因此事級數(shù)的收斂域為(TO,+00). 分)xG(—00,+00)時，設(shè)5(x)=￡ +,W+1J!n=01&加方￡「(2"+1)-==￡鵬=3￡日0 oU+1)! U+1)!xU+1)!n=0 n=0 n=0」心-1),("0). ——(6分)X等式兩邊同時求導(dǎo)，得S(x)=-L/2—1)+2/2,(xw0).X2由事級數(shù)的表達(dá)式得S(0)=1. 分)令X=2，則￡%：/"=S(2)=_：(e4_l)+2e4=?4+；. (10分)7?=0sinx,十、將函數(shù)/(%)=<0,sinx,十、將函數(shù)/(%)=<0,71工￡［0,—)2nx￡［萬,兀］在Q兀］上展開成正弦級數(shù)，并求該級數(shù)在。兀］上的和函數(shù)SCO.（10分）TOC\o"1-5"\h\z解：將/（X）奇周期延拓為以2兀為周期的周期函數(shù)P（x），R（x）滿足收斂定理的條件，當(dāng)xw（2k+l專左e□時，尸⑴的傅立葉級數(shù)收斂于/⑴。 （1分）由于尸（X）為奇函數(shù)，a=0,〃=0,1,2, （2分）2f 2f工 1b=—J*/（x）sinxdx=—J2sin2xdx=-, （3分）i兀o 兀o 2當(dāng)〃wl時'當(dāng)〃wl時'b=—71y(x)sinnxdx=—J2sinxsinnxdx

=—\2cos[(n-1)x]-cos[(n+1)x]dx=—[([(n-1)x]sin[(n+1)x])八兀sm(n—1)-乙n一1八兀sm(n+1)-n+10,n=2k+