2021年山西省陽(yáng)泉市南坳中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)的定義域?yàn)?且奇函數(shù).當(dāng)時(shí),=--1,那么,當(dāng)時(shí),的遞減區(qū)間是(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C2.在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，則AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用．【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC?BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故選：A．3.若長(zhǎng)方體的三個(gè)面的對(duì)角線長(zhǎng)分別是，則長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為（

）A

B

C

D

參考答案：C略4.一次選拔運(yùn)動(dòng)員，測(cè)得7名選手的身高(單位：cm)分布莖葉圖為記錄的平均身高為177cm，則這7名選手身高的方差為

()A．； B．14； C．； D．.參考答案：D5.直線l：y=x+6與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A.2或1

B.1

C.0

D.2參考答案：D略6.設(shè)，且（其中）則的范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A.(1,0)

B.(0,1)

C.

D.參考答案：B8.一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（

）A．至多有一次中靶B．只有一次中靶C．兩次都中靶

D．兩次都不中靶參考答案：D略9.已知函數(shù)，則（

）A．

B．

C．

D． 參考答案：C略10.用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，從推證時(shí)，左邊增加的代數(shù)式是（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)題設(shè)中的等式，當(dāng)時(shí)，等式的左邊為，當(dāng)時(shí)，等式的左邊為，即可求解．【詳解】由題意，可得當(dāng)時(shí)，等式的左邊為，當(dāng)時(shí)，等式的左邊為，當(dāng)時(shí)，等式的左邊為，所以從到時(shí)，左邊需增加的代數(shù)式是，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，其中解答中熟記數(shù)學(xué)歸納法的基本形式，合理、準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知拋物線方程為，直線的方程為，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為，P到直線的距離為，則的最小 參考答案：略12.設(shè)a、b是非零向量，給出平面向量的四個(gè)命題：①|(zhì)a·b|＝|a||b|；②若a⊥b，則|a＋b|＝|a－b|；③存在實(shí)數(shù)m、n使得ma＋nb＝0，則m2＋n2＝0；④若|a＋b|＝|a|－|b|，則|a|≥|b|且a與b方向相反．其中真命題是________．(將所有真命題的序號(hào)都填上)參考答案：②④13.有紅心1，2，3和黑桃4，5這5張撲克牌，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張，則抽到的牌為紅心的概率是

▲

.參考答案：

略14.已知在上是增函數(shù)，則的取值范圍是

.參考答案：

15.若數(shù)列{an}滿足a1=3，a2=4，且（n≥3），則a2007的值為

．參考答案：16.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的零點(diǎn)為，其中.若，則的值是______．參考答案：17.拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】先化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可得到p的值，即可確定答案．【解答】解：由題意可知∴p=∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.△ABC在內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，求出tanB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；（Ⅱ）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把sinB的值代入，得到三角形面積最大即為ac最大，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，∴sinB=cosB，即tanB=1，∵B為三角形的內(nèi)角，∴B=；（Ⅱ）S△ABC=acsinB=ac，由已知及余弦定理得：4=a2+c2﹣2accos≥2ac﹣2ac×，整理得：ac≤，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立，則△ABC面積的最大值為××=××（2+）=+1．19.（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)（1）求的值；

（2）若，求參考答案：解：（1）因?yàn)?，所?/p>

……4分

（2）

ⅰ）若，則，即，

而，所以的值不存在；

……10分

ⅱ）若,綜上得……14分20.（1）在的展開(kāi)式中，若第項(xiàng)與第項(xiàng)系數(shù)相等，且等于多少？（2）的展開(kāi)式奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)。參考答案：解：（1）由已知得（2）由已知得，而展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是。略21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)，其中．（1）若=2，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且①求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②證明．參考答案：(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=xlnx﹣x2-x，f′（x）=lnx﹣2x，∴f（1）=﹣2，f′（1）=﹣2，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=﹣2x；

……………4分(Ⅱ)①f′（x）=lnx﹣ax，函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，即f′（x）=lnx﹣ax=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）單調(diào)遞增，f′（x）=0不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根；當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)h（x）=lnx﹣ax，，若時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，若時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，∴＞0，∴0．

……………8分②

由①知，f(x1)是極小值，f(x2)是極大值∵f′（x）=lnx﹣ax=0

∴l(xiāng)nx1﹣ax1=0，-

………………12分

（其他方法酌情給分）22.已知函數(shù)f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．（Ⅰ）設(shè)g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論g（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】創(chuàng)新題型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域，把函數(shù)f（x）求導(dǎo)得到g（x）再對(duì)g（x）求導(dǎo)，得到其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)得到函數(shù)g（x）的單調(diào)期間；（Ⅱ）由f（x）的導(dǎo)函數(shù)等于0把a(bǔ)用含有x的代數(shù)式表示，然后構(gòu)造函數(shù)φ（x）=x2，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理得到x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用導(dǎo)數(shù)求得a0∈（0，1），然后進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明當(dāng)a=a0時(shí)，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解．【解答】解：（Ⅰ）由已知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），g（x）=，∴．當(dāng)0＜a＜時(shí)，g（x）在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)a時(shí)，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（Ⅱ）由=0，解得，令φ（x）=x2，則φ（1）=1＞0，φ（e）=．故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由知，函數(shù)u（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．∴．即a0∈（0，1），當(dāng)a=a0時(shí)，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0．由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，f′（x）＜0，從而f（x）＞f（x0）=0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，