#1984年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷〔理科〕及其參考答案〔這份試題共八道大題，總分值120分第九題是附加題，總分值10分，不計(jì)入總分〕一.〔此題總分值15分〕此題共有5小題，每題都給出代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的?把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi).每一個(gè)小題：選對(duì)的得3分;不選，選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過一個(gè)的〔不管是否都寫在圓括號(hào)內(nèi)〕，一律得負(fù)1分..數(shù)集X=｛〔2n+1〕n,n是整數(shù)｝與數(shù)集Y=｛〔4k土1〕n,k是整數(shù)｝之間的關(guān)系是 〔C〕〔A〕XuY 〔B〕XnY〔C〕X=Y〔D〕XWY.如果圓X2+y2+Gx+Ey+F=0與x軸相切于原點(diǎn)，那么〔C〔A〕F=0,GW0,EW0. 〔B〕E=0,F=0,GW0.〔C〕G=0,F=0,EW0. 〔D〕G=0,E=0,FW0..如果n是正整數(shù)，那么1[1-(-1)n](n2.1)的值〔B8〔A〕一定是零, 〔B〕一定是偶數(shù).〔C〕是整數(shù)但不一定是偶數(shù) 〔D〕不一定是整數(shù).TOC\o"1-5"\h\z.arccos(-x)大于arccosx的充分條件是 〔A〕〔A〕xe(0,1] 〔B〕xe(-1,0)〔C〕xe[0,1] 〔D〕xe[0,-]2.如果e是第二象限角，且滿足cos￡-sin?=.,那么￡2 2 2〔A〕是第一象限角 〔B〕是第三象限角 〔B〔C〕可能是第一象限角，也可能是第三象限角

〔D〕是第二象限角二.〔此題總分值24分〕此題共6小題，每一個(gè)小題總分值4分只要求直接寫出結(jié)果〕.已知圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為2與4的矩形，求圓柱的體積答：4或8.兀兀.函數(shù)log(x2+4X+4)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？0.5答：x<-2..求方程(sinx+cosX)2—2的解集.答：{x|x答：{x|x—7兀12?！?n兀,ne12Z}.求(IxI+±-2)3的展開式中的常數(shù)項(xiàng).\ II/IxI答：-2011??5.求lim1z21的值.nis3n+1答：06．要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，問有多少種不同的排法〔只要求寫出式子，不必計(jì)算〕.答：P4-6!7三.〔此題總分值12分〕此題只要求畫出圖形..設(shè)H(x)-10,當(dāng)x-0,畫出函數(shù)y=H(x-1)的圖象.〔1,當(dāng)x>0,.畫出極坐標(biāo)方程(p-2)(0-：)-0(p>0)的曲線.解:2.1.四.〔此題總分值12分〕已知三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線,求證這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.證：設(shè)三個(gè)平面為。，8,丫，且ac0=c,acy=b,0cy=a.,/ac0=c,acy=b,;.cua,bua.從而c與b或交于一點(diǎn)或互相平行..假設(shè)c與b交于一點(diǎn)，設(shè)ccb=尸.由Pec,且cup,有Pep;又由Peb,buy,有Pey.于是Pe0cy=a???所以a,b,C交于一點(diǎn)〔即P點(diǎn)〕ba2.假設(shè)c〃b,則由buy,有c//y.又由cu0,且0cy=,.所以a,b,C互相平行，五.〔此題總分值14分〕設(shè)c,d,x為實(shí)數(shù)，cW0,x為未知數(shù)討論方程log況下有解有解時(shí)求出它的解.解：原方程有解的充要條件是:d(cx+)xTOC\o"1-5"\h\zX>0, ⑴ex+d>0, (2)一一ex+—w0, (3)d(ex+—)-i=x (4)〔x由條件〔4〕知x(ex+d)=1，所以ex2+d=L再由cW0,可得xi-dx2= .e又由x(ex+d)=1及x〉0,知ex+d>0，即條件〔2〕包含在條件〔1〕xx及〔4〕中.再由條件〔3〕及x(ex+d)=1，知x豐1.因此，原條件可簡(jiǎn)化為以下的xxx>0,<XH1,1-dx2=—.1e由條件〔1〕(1)〔6〕知匕d>0.這個(gè)不等式僅在以下兩種情形下成立：e①c〉0,1-d〉0,即c〉0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d〉1.再由條件〔1〕〔5〕及〔6〕可知e豐1-d從而，當(dāng)?！?4<1且e豐1-d時(shí)，或者當(dāng)。<04〉1且e豐1-d時(shí)，原方程有解，它的解是x二口.\e六．〔此題總分值16分〕.設(shè)pH0，實(shí)系數(shù)一元二次方程z2-2pz+q=0有兩個(gè)虛數(shù)根z1,z2.再設(shè)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Z1，Z2.求以Z1，Z2為焦點(diǎn)且經(jīng)過原點(diǎn)的橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng),〔7分〕.求經(jīng)過定點(diǎn)M〔1,2〕，以y軸為準(zhǔn)線，離心率為1的橢圓的左頂2點(diǎn)的軌跡方程.〔9分〕解：1.因?yàn)閜,q為實(shí)數(shù)，p豐0，z,z為虛數(shù)，所以12(-2p)2-4q<0,q>p2>0由z1,z2為共軛復(fù)數(shù)，知Z1，Z2關(guān)于x軸對(duì)稱，所以橢圓短軸在x軸上.又由橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，可知原點(diǎn)為橢圓短軸的一端點(diǎn).根據(jù)橢圓的性質(zhì)，復(fù)數(shù)加、減法幾何意義及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得橢圓的短軸長(zhǎng)=2b=|z1+zJ=2|p|,焦距離=2c=|z-z|=1(z+z)2-4zzI=2、q-p2,1 2V1 2 12Y長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a=2而+c2=2A.q.2.因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)M〔1,2〕，且以丫軸為準(zhǔn)線，所以橢圓在y軸右側(cè)，長(zhǎng)軸平行于x軸.設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為A〔x,y〕，因?yàn)闄E圓的離心率為1，2所以左頂點(diǎn)A到左焦點(diǎn)F的距離為A到y(tǒng)軸的距離的1，2從而左焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(U,y).2設(shè)d為點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離，則d=L根據(jù)IMF1=1及兩點(diǎn)間距離公式，可得d23x 1(-—1)2+(y-2)2=(—)2,即9(x-3)2+4(y-2)2=1這就是所求的軌跡方程.

七．〔此題總分值15分〕在4ABC中，NA,NB,NC所對(duì)的邊分別為a,卜的且。二10,出上=4,P為△ABC的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A,B,C的cosBa3距離的平方和的最大值與最小值.cosAsinBcosBsincosAsinBcosBsinA:.sinAcosA=sinBcosB:.sin2A=sin2B.因?yàn)锳WB,所以2A二n-2B,即A+B二三2'由此可知AABC是直角三角形.由c=10，—=—,a2+b2=c2以及a>0,b>0可得a=6,b=8.a3如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為0,，切點(diǎn)分別為D,E,F,則AD+DB+EC=2(10+8+6)=12.但上式中AD+DB=c=10,所以內(nèi)切圓半徑r=EC=2.如圖建立坐標(biāo)系,則內(nèi)切圓方程為:(x-2)2+(y-2)2=4設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為S=1PA|2+|PB|2+|PC|2=(X-8)2+y2+X2+(y—6)2+x2+y2(x,y),則=3X2+3y2-16X-12y+100 因?yàn)镻點(diǎn)在內(nèi)切圓上，所以=3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76=3x4-4x+76=88-4x.S最大值=88-0=88,S最小值=88-16=72.解二：同解一，設(shè)內(nèi)切圓的參數(shù)方程為x=2+2cosa(0<a<2兀),y=2+2sina從而S=1PA|2+|PB|2+|PC|2=(2cosa-6)2+(2+2sina)2+(2+2cosa)2+(2sina-4)2+(2+2cosa)2+(2+2sina)2=80-8cosa因?yàn)?<a<2兀，所以S最大值=80+8=88,S最小值=80-8=72.八.〔此題總分值12分〕設(shè)a〉2,給定數(shù)列{x},其中x=a…=X (n=1,2…)求證：n 1 n+12(x-1)n?x>2,且土+i<1(n=1,2…)；nxn.如果a<3,那么x<2+—(n=1,2…)；n 2n-1a1g不.如果a>3,那么當(dāng)n>-4時(shí),必有x<3.i4 n+11g3.證：先證明xn〉2(n=1,2，…〕用數(shù)學(xué)歸納法.由條件a〉2及x1=a知不等式當(dāng)n=1時(shí)成立.假設(shè)不等式當(dāng)n=k(kN1)時(shí)成立.當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)橛蓷l件及歸納假設(shè)知x>2ox2-4x+4>0o(x-2)2>0,k+1 kk k再由歸納假設(shè)知不等式(x-2)2>0成立，所以不等式x>2也成立.從k k+1而不等式xn〉2對(duì)于所有的正整數(shù)n成立.(歸納法的第二步也可這樣證：TOC\o"1-5"\h\z1 11x=[(x-1)+ +2]>(2+2)=2k+12kx-1 2k所以不等式x>2(n=1,2，…〕成立〕n再證明二<1(n=1,2…).由條件及x>2(n=1,2，…〕知xn n工<1= xn <1=x>2,因此不等式X+1<1(n=1,2…).也成立.x 2(x-1)n xnn n〔也可這樣證：對(duì)所有正整數(shù)n有x1 1 1 1n+1=(1+ )<(1+ )=1.x2x-1 2 2-1nn還可這樣證：對(duì)所有正整數(shù)n有x-xn n+1臺(tái)>0，所以4<1(nx-xn n+1.證一：用數(shù)學(xué)歸納法由條件x1=〃W3知不等式當(dāng)n=1時(shí)成立假設(shè)不等式當(dāng)n=k(kN1)時(shí)成立.當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件及x>2知kx<1+—=x2<2(x-1)(2+—)k+1 2kk k 2k=x2-2(2+-1)x+2(2+-1)<0k 2kk 2k=(x-2)[x-(2+J)]<0,k k 2k-1再由x>2及歸納假設(shè)知，上面最后一個(gè)不等式一定成立，所以不等k式x<2+1也成立，從而不等式x<2+X對(duì)所有的正整數(shù)n成立.k+1 2k n 2n-1

證二：用數(shù)學(xué)歸納法證不等式當(dāng)n=k+1時(shí)成立用以下證法:TOC\o"1-5"\h\z由條件知x=1（x+1+，）再由X>2及歸納假設(shè)可得k+1 2kx—1 kk/1“ 1、11x<-(2+ )+1+1k+1 2 2k-13.證：先證明假設(shè)xk>3,則+3,這是因?yàn)閗x1 1 1 13-^■+1=—(1+ )<—(1+ )=—.x2X—1 2 3—1 4kklgalga然后用反證法,假設(shè)當(dāng)n>-1時(shí)，有x>3,則由第1小題知k+1x>x>…>x>x>3.1 2 n n+1因此，由上面證明的結(jié)論及X1=a可得xxx33<xn+1二x?—2--—3- —n+1<3<xn+11xxx412 n這與假設(shè)矛盾所以本小題的結(jié)論成立,九．〔附加題，此題總分值10分，不計(jì)入總分〕如圖，已知圓心為0、半徑為1的圓與直線L相切于點(diǎn)A,一動(dòng)…點(diǎn)P自切點(diǎn)A沿直線L向右移動(dòng)時(shí)，取弧AC的長(zhǎng)為2ap,直線PC3與直線AO交于點(diǎn)M又知當(dāng)AP二四時(shí)，點(diǎn)P的速度為V求這時(shí)點(diǎn)M的- 4 '速度.

解：作CDLAM,并設(shè)AP二x,AM=丫，/8口=9由假設(shè)，AC的長(zhǎng)為2ap=2%,3 3半徑OC=1,可知。=2%.3考慮％e（0,兀）?二△APMs^DCM,?AM=DMc2、c2、y-(1-cos3%)sm—%322DM=y一(1一cos3%)，DC=sin3%,「?c2、%(1一