傳熱學第四章第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法2§4-0引言求解導熱問題的三種基本方法：(1)理論分析法；(2)數(shù)值計算法；(3)實驗法

三種方法的基本求解過程

(1)所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎(chǔ)上，直接對微分方程在給定的定解條件下進行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；

(2)數(shù)值計算法，把原來在時間和空間連續(xù)的物理量的場，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法3

(3)

實驗法就是在傳熱學基本理論的指導下，采用對所研究對象的傳熱過程所求量的方法3三種方法的特點

(1)分析法a能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數(shù)值計算提供比較依據(jù)；b局限性很大，對復雜的問題無法求解；c分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見

第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法4(2)

數(shù)值法：在很大程度上彌補了分析法的缺點，適應(yīng)性強，特別對于復雜問題更顯其優(yōu)越性；與實驗法相比成本低(3)實驗法:是傳熱學的基本研究方法，a適應(yīng)性不好；b費用昂貴數(shù)值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、邊界元法（boundary-element）、分子動力學模擬（MD）第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法5§4-1導熱問題數(shù)值求解的基本思想

及內(nèi)部節(jié)點離散方程的建立1物理問題的數(shù)值求解過程建立控制方程及定解條件確定節(jié)點（區(qū)域離散化）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程是否收斂解的分析改進初場是否第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法6二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導熱問題2例題條件第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法7xynm(m,n)MN3基本概念：控制容積、網(wǎng)格線、節(jié)點、界面線、步長二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導熱問題第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法84建立離散方程的常用方法：(1)Taylor（泰勒）級數(shù)展開法；(2)多項式擬合法；(3)控制容積積分法；(4)控制容積平衡法(也稱為熱平衡法)第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法9(1)泰勒級數(shù)展開法根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，用節(jié)點(i,j)的溫度ti,j來表示節(jié)點(i+1,j)而溫度ti+1,j用節(jié)點(i,j)的溫度ti,j來表示節(jié)點(i-1,j)的溫度ti-1,j第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法10若取上面式右邊的前三項，并將式①和式③相加移項整理即得二階導數(shù)的中心差分：同樣可得：截斷誤差未明確寫出的級數(shù)余項中的ΔX的最低階數(shù)為2第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法11

對于二維穩(wěn)態(tài)導熱問題，在直角坐標中，其導熱微分方程為：其節(jié)點方程為：第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法12(2)控制容積平衡法(熱平衡法)基本思想：對每個有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導熱定律即可。能量守恒：流入控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝流出控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)能的增量即：單位：第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法13即：從所有方向流入控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝控制體內(nèi)能的增量注意：上面的公式對內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點均適用第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法14穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源時：從所有方向流入控制體的總熱流量＝0內(nèi)部節(jié)點：(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy

(m,n+1)第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法15以二維、穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源的導熱問題為例此時：可見：當溫度場還沒有求出來之前，我們并不知道所以，必須假設(shè)相鄰節(jié)點間的溫度分布形式，這里我們假定溫度呈分段線性分布，如圖所示第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法16(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,n可見，節(jié)點越多，假設(shè)的分段線性分布越接近真實的溫度布。此時：內(nèi)熱源：第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法17時：第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法18無內(nèi)熱源時：變?yōu)椋褐匾f明：所求節(jié)點的溫度前的系數(shù)一定等于其他所有相鄰節(jié)點溫度前的系數(shù)之和。這一結(jié)論也適用于邊界節(jié)點。但這里不包括熱流(或熱流密度)前的系數(shù)。第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法194-2邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解對于第一類邊界條件的熱傳導問題，處理比較簡單，因為已知邊界的溫度，可將其以數(shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。而對于第二類邊界條件或第三類邊界條件的熱傳導問題，就必須用熱平衡的方法，建立邊界節(jié)點的離散方程，邊界節(jié)點與內(nèi)節(jié)點的離散方程一起組成封閉的代數(shù)方程組，才能求解。為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達式。用Φ表示內(nèi)熱源強度。第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法201.邊界節(jié)點離散方程的建立：qwxyqw(1)平直邊界上的節(jié)點第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法21(2)外部角點xyqw第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法22(3)內(nèi)部角點xyqw第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法23qw的情況：(1)第二類邊界條件：將，帶入上面各式即可

絕熱或?qū)ΨQ邊界條件？第三類邊界條件：將，帶入上面各式即可

？課堂作業(yè)：將帶入外部角點的溫度離散方程，并化簡到最后的形式(3)輻射邊界條件：或其他第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法242.節(jié)點方程組的求解寫出所有內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點的溫度差分方程n個未知節(jié)點溫度，n個代數(shù)方程式：代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法25直接解法：通過有限次運算獲得代數(shù)方程精確解;矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對要計算的場作出假設(shè)、在迭代計算過程中不斷予以改進、直到計算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計算已經(jīng)收斂。缺點：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點溫度差分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計算過程中要相應(yīng)地不斷更新）迭代解法有多種：簡單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德爾迭代的特點：每次迭代時總是使用節(jié)點溫度的最新值第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法26在計算后面的節(jié)點溫度時應(yīng)按下式（采用最新值）例如：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值可以求得節(jié)點溫度：第26頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法27判斷迭代是否收斂的準則：k及k+1表示迭代次數(shù)；—第k次迭代得到的最大值當有接近于零的t時，第三個較好第27頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日第四章導熱問題的數(shù)值解法28思考題：1.節(jié)點的概念.2.向前差分,先后差分,中心差分的概念.3.利用能量守恒定律和傅立葉定律,推導