10.2事件的相互獨立性若事件A,B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，那么P(AB)=P(A)P(B)會成立嗎？什么條件下能成立？事件的關(guān)系或運算含義符號表示概率表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?BP(A)≤P(B)并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A+BP(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B)交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B=?P(A∪B)=P(A)+P(B)可推廣互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B=?A∪B=ΩP(A)+P(B)=1P246探究：下面兩個隨機(jī)試驗各定義了一對隨機(jī)事件A和B，問題1：你覺得事件A發(fā)生與否會影響事件B發(fā)生的概率嗎?試驗1：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，

A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.試驗2：一個袋子中裝有標(biāo)號分別是1,2,3,4的4個球，除標(biāo)號外沒有其他差異，

采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.

A=“第一次摸到球的標(biāo)號小于3”，B=“第二次摸到球的標(biāo)號小于3”.問題2：以上試驗中P(AB)與P(A)和P(B)有何聯(lián)系?試驗1中，Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}A={(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)}，AB={(1,0)}.試驗2中，Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，包含16個樣本點.A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}，B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.兩個試驗中，事件A發(fā)生與否并不影響事件B發(fā)生的概率.新知：事件的相互獨立性定義法判斷事件是否相互獨立對任意兩個事件A與B，如果

P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.若事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，則事件A與B相互獨立，從而有P(AB)=P(A)P(B)直接法判斷事件是否相互獨立計算積事件的概率(前提:A,B獨立)直接法：必然事件Ω總會發(fā)生，不會受任何事件是否發(fā)生的影響；

不可能事件?總不會發(fā)生，也不受任何事件是否發(fā)生的影響.注：①必然事件Ω、不可能事件?與任意事件A相互獨立.定義法：P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)、P(A?)=P(?)=P(A)P(?)新知：事件的相互獨立性②若事件A,B相互獨立，則A與B、A與B、A與B也相互獨立.舉例說明：甲、乙各自射靶，結(jié)果互不影響，A=“甲中靶”，B=“乙中靶”③三個事件A、B、C兩兩互斥，則P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，但三個事件A、B、C兩兩獨立時，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.推理證明：P249-練習(xí)2.設(shè)樣本空間Ω={a,b,c,d}含有等可能的樣本點，且A={a,b},B={a,c},C={a,d}.請驗證A,B,C三個事件兩兩獨立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).判斷事件是否相互獨立的方法3.轉(zhuǎn)化法：事件A與事件B是否相互獨立，與事件A與

,

與B,

與

是否具有獨立性可互相轉(zhuǎn)化.

1.直接法：直接判斷一個事件發(fā)生與否是否影響另一事件發(fā)生的概率.2.定義法：判斷P(AB)=P(A)P(B)是否成立.方法小結(jié)鞏固：事件相互獨立性的判斷P248-例1.一個袋子中有標(biāo)號分別為1，2，3，4的4個球，除標(biāo)號外沒有其他差異。采用不放回方式從中任意摸球兩次。記事件A=“第一次摸出球的標(biāo)號小于3”，事件B=“第二次摸出球的標(biāo)號小于3”，那么事件A與B是否相互獨立？解：樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n}，共12個樣本點.A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}，B={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}，AB={(1,2),(2,1)}，定義法鞏固：事件相互獨立性的判斷P249-練習(xí)1.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A是“第一枚為正面”，事件B是“第二枚為正面”，事件C是“兩枚結(jié)果相同”，則下列各組事件中相互獨立的是________.①A，B；②A，C；③B，C.直接法定義法P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5P(AC)＝P(“正正”)=0.25=P(A)P(C)P(BC)＝P(“正正”)=0.25=P(B)P(C)定義法①②③鞏固：事件相互獨立性的判斷【2021年·新高考Ⅰ卷】有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則下列正確的是()A.甲與丙相互獨立

B.甲與丁相互獨立 C.乙與丙相互獨立

D.丙與丁相互獨立B鞏固：相互獨立事件的概率計算P248-例2.甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率:(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶.析：設(shè)A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，則A=“甲脫靶”，B=“乙脫靶”.由于兩個人射擊的結(jié)果互不影響，∴A與B相互獨立，且A與B，A與B，A與B都相互獨立.(1)

“兩人都中靶”=AB，∴P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72(2)“恰有1人中靶”=AB∪AB，且AB與AB互斥，∴P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26(3)

“兩人都脫靶”=AB，∴P(AB)=P(A)P(B)=0.2×0.1=0.02鞏固：相互獨立事件的概率計算P248-例2.甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率:(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶.析：設(shè)A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，則A=“甲脫靶”，B=“乙脫靶”.由于兩個人射擊的結(jié)果互不影響，∴A與B相互獨立，且A與B，A與B，A與B都相互獨立.鞏固：相互獨立事件的概率計算[變式]P249-3.天氣預(yù)報元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，計算在這段時間內(nèi):(1)甲、乙兩地都降雨的概率;(2)甲、乙兩地都不降雨的概率;(3)至少一個地方降雨的概率.=0.2×0.3=0.06=0.8×0.7=0.56(拆分事件)P(M)=________________________(并事件)P(M)=P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)

=0.2+0.3－0.2×0.3=0.44P(A)=0.2P(B)=0.3P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)－－－－事件M(對立事件)P(M)=1－P(AB)－－=1－0.56=0.44=0.2×0.7+0.8×0.3+0.2×0.3=0.44[變式1]甲、乙兩人同時報考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為________鞏固：相互獨立事件的概率計算

鞏固：相互獨立事件的概率計算

即兩輪活動中“甲對1個,乙對2個”或“甲對2個,乙對1個”設(shè)A=“星隊兩輪活動猜對3個成語”，J1=“甲兩輪猜對1個成語”，J2=“甲兩輪猜對2個成語”，Y1=“乙兩輪猜對1個成語”，Y2=“乙兩輪猜對2個成語”，則A=J1Y2∪J2Y1,且J1Y2與J2Y1互斥,且J1,Y2獨立,J2,Y1獨立,∴P(A)=P(J1Y2∪J2Y1)=P(J1Y2)＋P(J2Y1)

=P(J1)P(Y2)＋P(J2)P(Y1)鞏固：互斥與相互獨立的區(qū)分判斷下列各對事件哪些是互斥事件，哪些是相互獨立事件．(1)擲一枚骰子一次，事件M:“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”；事件N:“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”.(2)擲一枚骰子一次，事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點”；事件B：“出現(xiàn)3點或6點”．M＝{1,3,5}，N＝{2,4,6}，MN＝?P(MN)≠P(M)P(N)M、N互斥但不相互獨立M＝{2,4,6}，N＝{3,6}